2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第8讲 1 圆锥曲线的综合问题课件 文 新人教版PPT
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[解析] 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x ＝0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的 直线(非直线 x＝0)．
[答案] 3
第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系(重点保分题、共同探讨) 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b ＞0)的左焦点为 F1(－1,0)，且点 P(0,1)在 C1 上． (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程．
(5)过点(2,4)的直线与椭圆x42＋y2＝1 只有一条切线．(
)
(6)满足“直线 y＝ax＋2 与双曲线 x2－y2＝4 只有一个公共点”
的 a 的值有 4 个．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√
2．若直线 y＝kx 与双曲线x92－y42＝1 相交，则 k 的取值范围是
[解] (1)根据椭圆的左焦点为 F1(－1,0)，知 a2－b2＝1，又根据 点 P(0,1)在椭圆上，知 b＝1，所以 a＝ 2，所以椭圆 C1 的方程为x22＋ y2＝1.
(2)因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切， 所以其斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程得x22＋(kx＋m)2＝1，
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ， 则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C 相离 . (2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲 线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双 曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛 物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 .
2．过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共 点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一 条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一 条与对称轴平行或重合的直线．
所以k＝ 22， 或k＝－ 22， m＝ 2， m＝－ 2，
所以直线 l 的方程为 y＝ 22x＋ 2或 y＝－ 22x－ 2.
方法感悟 直线与圆锥曲线位置关系的 2 种判定方法及 2 个关注点 (1)判定方法 ①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的 方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数， 方程组的解即为交点坐标． ②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点 个数．如“题组练透”第 1 题．
即12＋k2x2＋2kmx＋m2－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解， 此时 Δ＝4k2m2－412＋k2(m2－1)＝0， 即 m2＝2k2＋1.① 把 y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得4ky2－y＋m＝0，由题意可知 此方程有唯一解，此时 Δ＝1－km＝0，
即 mk＝1.② 联立①②得mm2k＝＝21k，2＋1， 解得 k2＝12，
()
A.0，23
B.－23，0
C.－23，23
D.－∞，－23∪23，＋∞
[解析] 双曲线x92－y42＝1 的渐近线方程为 y＝±23x，
若直线与双曲线相交，数形结合，得 k∈－23，23. [答案] C
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这 样的直线有________条．
2．弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋k12·|y1－y2|＝
1＋k12· y1＋y22＋4y1y2 .
[知识感悟] 1．辨明两个易误点 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事 实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相 交于一点． (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直 线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且 只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条 切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条 与渐近线平行的直线．
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与抛物线 y2＝2px 只有一个公共点，则 l 与抛物线相 切．( ) (2)直线 y＝kx(k≠0)与双曲线 x2－y2＝1 一定相交．( ) (3)与双曲 线的渐 近线 平行的 直线 与双曲 线有 且只有 一个 交 点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( )
第八章 解析几何
•第8讲 圆锥曲线的综合问题
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位 圆锥曲线问题是高考的
置关系的思想方法．
重点与热点，多以压轴
2.了解圆锥曲线的简单应用．
题出现，是高考的难点，
3.理解数形结合的思想.
占 13 分.
[知识梳理] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0， 消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程． 即AFxx＋，Byy＋＝C0 ＝0， 消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
[答案] 3
第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系(重点保分题、共同探讨) 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b ＞0)的左焦点为 F1(－1,0)，且点 P(0,1)在 C1 上． (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程．
(5)过点(2,4)的直线与椭圆x42＋y2＝1 只有一条切线．(
)
(6)满足“直线 y＝ax＋2 与双曲线 x2－y2＝4 只有一个公共点”
的 a 的值有 4 个．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√
2．若直线 y＝kx 与双曲线x92－y42＝1 相交，则 k 的取值范围是
[解] (1)根据椭圆的左焦点为 F1(－1,0)，知 a2－b2＝1，又根据 点 P(0,1)在椭圆上，知 b＝1，所以 a＝ 2，所以椭圆 C1 的方程为x22＋ y2＝1.
(2)因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切， 所以其斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程得x22＋(kx＋m)2＝1，
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ， 则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C 相离 . (2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲 线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双 曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛 物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 .
2．过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共 点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一 条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一 条与对称轴平行或重合的直线．
所以k＝ 22， 或k＝－ 22， m＝ 2， m＝－ 2，
所以直线 l 的方程为 y＝ 22x＋ 2或 y＝－ 22x－ 2.
方法感悟 直线与圆锥曲线位置关系的 2 种判定方法及 2 个关注点 (1)判定方法 ①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的 方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数， 方程组的解即为交点坐标． ②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点 个数．如“题组练透”第 1 题．
即12＋k2x2＋2kmx＋m2－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解， 此时 Δ＝4k2m2－412＋k2(m2－1)＝0， 即 m2＝2k2＋1.① 把 y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得4ky2－y＋m＝0，由题意可知 此方程有唯一解，此时 Δ＝1－km＝0，
即 mk＝1.② 联立①②得mm2k＝＝21k，2＋1， 解得 k2＝12，
()
A.0，23
B.－23，0
C.－23，23
D.－∞，－23∪23，＋∞
[解析] 双曲线x92－y42＝1 的渐近线方程为 y＝±23x，
若直线与双曲线相交，数形结合，得 k∈－23，23. [答案] C
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这 样的直线有________条．
2．弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋k12·|y1－y2|＝
1＋k12· y1＋y22＋4y1y2 .
[知识感悟] 1．辨明两个易误点 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事 实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相 交于一点． (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直 线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且 只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条 切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条 与渐近线平行的直线．
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与抛物线 y2＝2px 只有一个公共点，则 l 与抛物线相 切．( ) (2)直线 y＝kx(k≠0)与双曲线 x2－y2＝1 一定相交．( ) (3)与双曲 线的渐 近线 平行的 直线 与双曲 线有 且只有 一个 交 点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( )
第八章 解析几何
•第8讲 圆锥曲线的综合问题
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位 圆锥曲线问题是高考的
置关系的思想方法．
重点与热点，多以压轴
2.了解圆锥曲线的简单应用．
题出现，是高考的难点，
3.理解数形结合的思想.
占 13 分.
[知识梳理] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0， 消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程． 即AFxx＋，Byy＋＝C0 ＝0， 消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.