基础算法(一)枚举法

基础算法（一）枚举（穷举）法
无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。

在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。

一、枚举法的基本思想:
从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。

这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。

二、枚举法解题思路：
1、对命题建立正确的数学模型；
2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；
3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。

三、枚举法的特点：
算法简单，但运算量大。

对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。

1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。

2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到
20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）
3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公
鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）
4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）
5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29
厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？
6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。

打算从中选出一个大王。

经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。

要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。

参考程序：
7、变形猴子选大王：有M个人围成一圈，每人有一个编号，从编号为1的人开始，每隔N个出圈，按出圈次序排成一列，其编号刚好按顺序从1到M。

要求：从键盘输入M，N，编程计算并输出这M个人原来在圈中的位置。

8、求数串的原始排列：前N个自然数排成一串:X1,X2,X3.....Xn，先取出x1,将x2,x3移到数串尾,再取出x4,将x4,x6移到数串尾,.......类推直至取完．
取出的序列恰好是:1,2,3......n．要求输入N,求原来的数串的排列方式.
var a:array[1..1000]of word;
n,i,j,dep:word;
begin
write('N(1-1000)=');
readln(n);
if(n=0)or(n>1000)then begin
writeln('Input error.');
readln;
halt;
end;
fillchar(a,sizeof(a),0);
a[1]:=1;
dep:=1;
for i:=2to n do begin
j:=3;
while(j>0)do begin
dep:=dep mod n+1;
if a[dep]=0then dec(j);
end;
a[dep]:=i;
end;
for i:=1to n do write(a[i]:5);
writeln;
readln;
end.
9、狐狸捉兔子问题：围绕着山顶有１０个洞，狐狸要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，?我就藏身于这十个洞中，你从１０号洞出发，先到１号洞找，第二次隔１个洞找，第三次隔２个洞找，以后如此类推，次数不限。

”但狐狸从早到晚进进出出了１０００次，仍没有找到兔子。

问兔子究竟藏在哪个洞里？【答案】２，４，７，９
【参考程序１】
【参考程序２】
四、在用枚举法时，问题必须满足两个条件：
1、能够预先确定可能解的个数；
2、对每个解变量的取值，其变化范围（连续的值域）也能预先确定。

如果我们无法确定各个解变量的值域或者值域是无序和非线性的，则不适合用枚举法。

五、枚举算法的优化：
1、减少枚举变量；
2、缩小枚举变量的取值范围（枚举变量的值域）。