角动量

第五章角动量.关于对称性

一 章节小结：

（一） 力矩：力对转动的效应可用力矩来描述。

1．力对一参考点的力矩：
大小： ：从 沿小于 的角转到F的角

方向：和 、 满足右手螺旋关系。

其中 为：力 的作用点（即受力质点）相对参考点的位置矢量。

2．力对轴（z轴）的力矩：
力对轴（z轴）上一点的力矩在z轴上的投影叫力 对轴（z轴）的力矩。

若 和 均在与z轴垂直的平面内，则

其中 角为：面对z轴观察从 沿逆时针转到 的角。

3．对一参考点的诸力矩的矢量和等于合力对该参考点的力矩，即
（二） 质点的角动量

1．质点对参考点的角动量： 其中 ：质点相对参考点的位置矢量。

2．质点对轴的角动量：质点对轴上任一点的角动量在轴上的投影叫质点对轴的角动量。

若 和 均在与z轴垂直的平面内，则
角为：面对z轴观察从 沿逆时针转到 的角。

3．质点对参考点的角动量定理：
4．质点对参考点的角动量守恒定律：若 ，则 恒矢量

5．质点对轴的角动量定理：
6．质点对轴的角动量守恒定律：若 ，则 恒量

（三） 质点系的角动量

1．质点系对参考点的角动量：

2．质点系对参考点的角动量定理： 外
3．质点系对参考点的角动量守恒定律：若 外=0，则 恒矢量

4．质点系对轴的角动量：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）

：面对z轴观察从 沿逆时针转到 的角

5．质点系对轴的角动量定理：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）

外z=
6．质点系对轴的角动量守恒定律：（几个质点均分别在与z轴垂直的平面内运动）

若 外z=0时，则 =恒矢量。

二 例题：

1 试用角动量定理推导单摆的动力学方程。

分析：单摆的摆球受重力和摆线拉力作用，绕悬点在平衡位置附近往返运动。在任一位置时，摆球具有一定的相对悬点的角动量，同时有受到相对悬点的力矩作用，其角动量要发生变化。由角动量定理出发，再利用摆角很小的条件，便可推导出单摆的动力学方程。

解：研究对象：《摆球m》

y

z











O

受力分析：重力 、拉力
参考系：地，以悬点O为参考点

坐标系：建立坐标系O—xyz，轴O-x垂直纸面指向读者。 设摆长为
单摆受到对O点的力矩：


单摆在图示运动状态下对O点的角动量为：

依据角动量定理： ，



在O-X轴上的投影： ，

当 角很小时， 即单摆的动力学方程。

2 光滑水平面上的弹簧经度系数为k，其一端连结质量为M的木块，另一端固定在O‘点，质量为m的子弹以速度 沿水

平方向垂直弹簧的方向射向木块并嵌入其中。弹簧原长为

，当木块被射中并由A到达B时，弹簧长度变为 。已知O‘A ，求木块到B时的速度。

分析：子弹m射入木块M的时间非常短，可以认为木块仍在原位置就完成了此过程。该过程中子弹和木块在与O‘A垂直的方向上不受外力作用，因此动量沿此方向守恒。

O

X





O‘

A

B

在木块和子弹共同由A到B的过程中，它们所受外力对O‘点的力矩为零，因此它们对O‘点的角动量守恒。对于它们与弹簧共同组成的系统来说，在由A到B的过程中，仅内部保守力（弹性力）作功，系统的机械能守恒。

解：研究对象：《m，M》，可视为质点

参考系：地

坐标系：如图所示。

设子弹射入木块后，其共同速度为 ，则


此式在O-X轴上的投影为：

---------------------（1）

《m，M》获同一速度后由A到B的过程中，水平方向仅受弹簧的弹性力作用，竖直方向所受重力与支承力矢量和为零。弹性力过O‘点，故以此点为参考点时，质点所受力矩为零，质点对O’的角动量为零，即：


设 和 间的夹角为 ，则： --------------（2）

《m,M》由A到B过程中，仅内部保守力作功，系统的机械能守恒，以弹簧自由伸展状态为弹性势能的零点，则： -------------（3）

解（1）、（2）和（3）得：

3质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，弹簧的经度系数为k，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度
m

m

V0

V0

o

解：以初始时刻两球连线中点为定点来考察体系的角动量

初始时，
体系水平方向不受力，竖直方向外力的合力为零，体系角动量守恒，当弹簧达到最大伸长时，小球无径向速度，体系的角动量为：

，

由于 ，即： ---------------------------------------（1）

体系机械能也守恒，所以： ------（2）

由（1）和（2）消去 得：
4 轻绳跨过半径为R的轻滑轮，一端系一重物质量为m/2，另一端被质量为m的人抓住。人从静止开始上爬，为使自己不往下降，人必须以多大的加速度 相对绳上爬？

O

x

y

解：以滑轮中心O为定点考察人与重物体系的角动量。

设重物（绳）上升的速度为 （相对地面），人上升速度为 （相对地面），人相对绳的速度为 ，

则：
建立如图的坐标系。

则：
体系相对O点的角动量均沿z轴，在z轴的投影为：

，

角动量的时间的变化率：
作用在体系上的外力有重力、绳的张力和悬挂点的

拉力，但拉力和张力对O点力矩为零，故总外力矩为：
由体系的角动量定理：
为使人不下降，则 ，所以 代入上式得：
5 长为 轻细绳两端分别连结质量为m1和m2两质点，放于光滑水平面上，先使m1不动，m2以速率v0快速转动。然后再释放m1,求释放后系统绕质心转动的角动量和细绳中的张力。

分析：由光滑水平面上的m1和m2构成的质点组在释放后不受水平方向的外力作用，因而系统对质心轴的角动量守恒，质点组在释放后绕它们的质心转动，质心以释放时的速度匀速运动，质心坐标系是惯性系。根据质心定义式可以求出质心的位置，根据系统的角动量守恒可以求出系统绕质心转动的角动量，根据牛顿定律可以求出细线对质点的拉力，从而也就求出了细线中的张力。

解：根据质心定义求得m1与m2的质心距m2的距离为：
C

m1

m22

x

y

V0

在水平面上（惯性系）上以释放瞬间质心C的位置为原点，建立坐标系C-xyz，Cz轴垂直纸面向上。

当释放m1后，质点组在水平方向不受外力作用，系统对Cz轴的外力矩为零，所以系统对此轴的角动量守恒。再释放瞬时m1的速度为零，m2的速度为 ，所以整个系统的角动量为：
再以m2为研究对象，在质心坐标系（惯性系）中，它受细绳拉力绕质心作圆周运动，由质点组动量定理得： 得：质心的速度
m2相对质心的速度大小为：
所以细绳的拉力为：
因细绳质量不计，所以细绳中的张力处处相等，大小均为F。