余子式和代数余子式二

a11a22 a12 a21
其中 aij 称为行列式的元 并称之为二阶行列式．
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素，aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位
表示该元素所在的行， 置，第一个下标称为行标， 表示该元素所在的列，常 第二个下标称为列标， 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．
(2)式中 x1，x2 的分 由二阶行列式的定义， 子也可写成二阶行列式，即 a11 b1 b1 a12 . b1a22 a12b2 , a11b2 b1a21 a21 b2 b2 a22 若记 a11 a12 b1 a12 a11 b1 D , D1 , D2 , a21 a22 b2 a22 a21 b2 则当Ｄ 0时，方程组(1)有唯一解
利用单一的字母 A 来表示矩阵对矩阵代数 发展是至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。
数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语； 给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相 同的特征值.
在中国，代数学的发展始自华罗庚，他自上 个世纪40至50年代在矩阵几何和典型群等方面进 行了深入系统的研究，作出了重要的贡献.
另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯 西 ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记 号中他把元素排成方阵并首次采用了双重下标的新 记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并 证明了 laplace 的展开定理。 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消 元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量 计算中的最小二乘法问题。
二次世界大战后随着现代数字计算机的发 展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数 值分析等方面，线性代数的理论与方法已经渗 透到数学的许多分支。 现实世界中，许多实际问题可以通过离 散化的数值计算得到定量的解决，于是作为 处理离散问题的线性代数，成为从事科学研 究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方
程组的求解公式,即
xj = Dj /D , （ j = 1, 2, 3 ）.
D 2 1
1 1
3 . 1
解 按对角线法则，有 D 1 1 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 2 2 1 1 1 1
5
可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不
线 性 代 数 简 介
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性 关系问题。
线性代数作为一个独立的分支是在20世纪才形 成的，而最古老的线性问题是线性方程组的解法， 在中国古代的数学著作《九章算术.方程》中已经 作了比较完整的叙述. 随着研究线性方程组和变量 的线性变换问题的深入, 行列式和矩阵先后产生， 为处理线性问题提供了有力的工具。
（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式.
三阶行列式的对角线法则如下图所示:
a11 a12
a13
a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一 条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代 数和就是三阶行列式的展开式.
三、举例
例 1
计算三阶行列式 1 2 1
第一章
主要内容
行
列
式
１． n 阶行列式的定义、性质及其计算.
２． 克拉默法则．
重点内容 行列式的计算
第一章作业 1(2); 6(3); 2(5); 8(2); 3; 9; 4(1); 10(1); 5(2); 12
第一节
二阶与三阶行列式
一、二阶行列式 二、三阶行列式 三、举例
一、二阶行列式
在讨论 n 阶行列式之前，先简单回顾一下 二阶和三阶行列式．
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家 关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解 伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方 法 ”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了 清楚的叙述。 欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学 家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。
1750 年，瑞士数学家克莱姆（ Cramer ） 在 他的《线性代数分析导言》中 发表了求解线性系 统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 克莱姆法 则），即由系数行列式来确定线性方程组解的表 达式法则。
引例1 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
（１）
解
用加减消元法，可得
(a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 a12b2 , (a11a22 a12 a21 ) x2 a11b2 b1a21 .
当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
b1a22 a12b2 x1 , a11a22 a12 a21 a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12 a21
（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a12 a21 a22
D1 x1 , D
D2 x2 . D
二、三阶行列式
定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
a11 a12 a13 (3) a21 a22 a23
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , (4)
Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系 统的阐述 ( 即把行列式理论与线性方程组求解相分 离 )的人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系 的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并 推广了他的展开行列式的方法 。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总 结并提出了行列式的系统理论。