数集.确界原理

U (a )与U (a )去除点a后, 分别为点a的空心 左, 右邻域, 简记为U (a)与U (a)
0 0
点a的 左邻域U (a; ) (a , a], 简记为U (a);
邻域U () {x x M }, 其中M 为充分大的正数;
邻域U () {x x M }, 其中M 为充分大的正数;
例1: 证明数集N {n n为正整数}有下界而无上界. 证 显然, 任何一个不大于1的实数都是N的下界.
为证N 无上界, 按照定义只须证明 : 对于无论多么
大的正数M , 总存在某个正整数n0 , 使得n0 M . 事实上, 对任何正数M (无论多么大), 取n0 [ M ] 1
二 数集.确界原理
一 区间与邻域 : 设a, b R, 且a b.
我们称数集{x a x b}为开区间, 记作(a, b);
a
b
数集{x a x b}为闭区间, 记作[a, b];
a
b
数集{x a x b}和{x a x b}为半开半闭区间,
分别记作[a, b)和(a, b];
e
x0
S
例2 设S=｛x|x为区间(0, 1)中的有理数｝,试按上下 确界的定义验证:supS=1, infS=0. 证 先验证supS=1 (1)对一切x∈S,显然有x≤1, 即1是S的上界. (2)对任何α＜1, 若α＜0,则任取x0∈S都有x0＞α; 若α＞0,则有有理数在实数集中的稠密性,在(α,1)中必
邻域U () {x x M }, 其中M 为充分大的正数;
二、有界集 确界原理
定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M(L),使得对一 切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数 集，数M(L)称为S的一个上界（下界）. 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是 有界集，则称S为无界集。
故有supA ≤ y。 而此式表明数supA 是数集B的一个下界,
由下确界的定义知, supA≤infB。
• 例5 设A、B为非空有界数集, S＝A∪B.证明： • （1） sup S ＝max{sup A , supB};（2） inf S ＝ min{inf A, inf B}. • 证 由于S＝A∪B,显然也是非空有界数集,因此S的上 下确界都存在. • （1）对任何x∈S ，有x∈A或x∈B，故x≤sup A 或 x≤supB • 从而x≤max{supA,supB}，故有supS≤max{supA,supB}； • 另一方面，对任何x∈A，有x∈S ，故x≤supS， • 所以supA≤supS ；同理又有supB≤supS ， • 因此supS≥ max{supA,supB} • 综上所述，即得supS＝max{supA,supB}。
则n0 N , 且n0 M . 这就证明了N 无上界.

若数集S 有上界，显然它有无穷多个上 界，而其中最小的一个上界常常具有重要的 作用，称它为数集S 的上确界。同样，有下 界数集的最大下界，称为该数集的下确界。
上确界 M M1 M2 上界
m2
m1
下确界
m
下界
下面给出数集的上确界和下确界的定义。
定义2 设S是R中的一个数集.若数满足: (i)对一切x S , 有x ,即是S的上界;
(ii)对任何 , 存在x0 S , 使得x0 ,
即又是S的最小上界, 则称数为数集S的
上确界, 记作 sup S.
说明:
x5 x2 x3 x4 xn x1 x0 η
S

类似地,可得到下确界的概念
定义3 设S是R中的一个数集.若数 满足:
(i)对一切x S , 有x ,即 是S的下界;
(ii)对任何 , 存在x0 S , 使得x0 ,
即 又是S的最大下界, 则称数 为数集S的
下确界, 记作 inf S .
上、下确界的另一精确定义 定义 2 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条： （1）对一切 x S , 有 x , 即 是数集S的上界； （2）对任意 e 0, 存在 x0 S 使得 x0 e ,
4.小结
(1), 两个实数的大小关Biblioteka Baidu; (2), 实数的性质;
(3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
作业 :
P9:
2, 4(1)、(2), 5.
例3 设数集S有上确界,证明 sup S S 的充要条件是 max S
证 必要性 设 sup S S 则对一切x∈S,有 x , 而 S ,
故 是数集S中的最大数,即 max S
充分性 设 max S 则 S , 下面验证 sup S (1)对一切x∈S,有x≤ 即 是S的上界; , (2)对任何 , 只须取 x0 S 则 x0 , 从而满足 sup S 的定义.
为U (a ), 即有U (a; ) {x x a } (a , a ).
去心邻域
U (a; ) {x 0 x a }
0
此外,我们还常用到以下邻域
点a的 右邻域U (a; ) [a, a ), 简记为U (a);
定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有 上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必 有下确界。 （证略） 注意：确界原理是极限理论的基础，应很 好地去理解和消化。
例4
设A，B为非空数集，满足：对一切x∈A和
y∈B有x≤y。证明数集A有上确界，数集B有下确界，
且supA≤infB。 证 由假设,数集B中任一数y都是数集A的上界， 数集A中任一数x都是数集B的下界, 由确界原理可知数集A有上确界,数集B有下确界。 对任何y∈B, y是数集A的一个上界, 又由上确界的定义知 supA 是数集A的最小上界,
a
b
a
b
无限区间
[ a,) {x a x}
o
a
( a, ) {x a x}
o
a
x
(, b) {x x b}
o
b
x
( , )
邻域
设a R, 0.满足绝对值不等式 x a 的全体
实数x的集合称为点a的 邻域,记作U (a; ), 或简单记
η （即 是S的最小上界）
则称数η为数集S的上确界。 记作 sup S .
e
x0

定义 3 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条： （1）对一切 x S , 有 x , 即 是数集S的下界； （2）对任意 e 0, 存在 x0 S 使得 x0 e , （即 是S的最大下界） 则称数为数集S的下确界。 记作 inf S .
有有理数x0,
即存在x0∈S,使得x0＞α.
类似地可以验证infS=0 思考题:[0,1]的上下确界分别等于几? (0,1)中的无
理数构成的集合呢?
注: (1)由上（下）确界的定义可知,若数集S存在上（下）确界,则 一定是唯一的; (2)若数集S存在上、下确界，则有infS≤supS; (3)数集S的确界可能属于S也可能不属于S。