6.8 广义积分与Γ 函数

0
f 均收的 ,
+∞ c
称 则 积 则 判 写 分
∫
+∞
−∞
f = ∫ f +∫
−∞
f 也收的；
, , 则称 −∞ f发散 否则 若二者之一发散 ∫ 发散.
+∞
2. 若 ∫
+∞
a
f 发散 , 则由极限发散的含义 ,∫
+∞
a
f 可能 为无穷大量 ,
也可能并非无穷大量 .
3. 由若若定义及写写运算 递质知 ,
§6.8 广义积分和Γ函正 广义积分和Γ
一. 判写区间若的广义积分 [ [a 1. 设函数定义于a,+∞), 且在任何有限区间, b]上 f 定义
+∞
, 可积 若写写 lim ∫ f 若若, 则称判则写积分 b→+∞ a
b
∫
a
f 收的,
则并式仅称一 个符号, 个符号 没有 正特意义
限积分的积分值即 . 并称此极限值为该无穷
f ( x) dx + lim ∫c+ε f ( x) dx,
b
ε2→0+
+ε2
以若两个写写 均若若
判定判判函正积分的的
（ 递 或求解） 的的的的的：
⇒ 先求常义积分 再取相应极限 ⇒
例. 经论讨讨判判函正积分
的的的递：
1 ∫ ln x dx ）
0
1
2 ∫ ）
1 dx −1 x2
1
1 解：） 1（判判判判判）
写 若 写 lim
b
ε →0+ a+ε∫ Nhomakorabeab
f 若若, 则称广义积分
lim ∫
b
∫
b
a
f 收的,
.即
则并式仅称一 个符号, 个符号 没有 正特意义
并称并写写特称并判判
函正广义积分的积分特
∫ f ( x) dx =
a
ε →0+ a+ε
f ( x) dx.
b a
否则, 若若若写写若若若 , 则称积分
∫ f ( x) dx 发的.
分）
任取 A > 1, 则
∫1
A
？ 1A 1 1 = - + 1, dx = 2 x 1 A x
20 (求写写写写）
1 原式 = lim 1 - = 1. A → +∞ A
3 小题课课课课 , 注意表达简洁规范！ 注意表达简洁规范！ 第 2） ）
. 例 讨论积分1 ∫
+∞
1 dx p为常数） . 的敛散性 这里 为常数） （ p x
0
熟记结论即可
利用上述性质 , 可推得当 α = 1时 , Γ (2 ) = Γ (1) = 1 . 注：
Γ函正计算题 函正计算题
5 Γ (10 ) . 例. 求 Γ (3 .5 ), Γ (8 )Γ (6 )Γ (2 ) 例 . 求积分 1 ∫ ）
+∞ 0
x e dx , 2 ∫ ）
5 −x
+∞
0
1 +∞ 1 , p > 1, , 1 p dx = p −1 经讨论 ∫ x + ∞ p ≤ 1.
可直接使用哦！ 可直接使用哦！
) * 公式特点： (倒幂函数 公式特点： ∫
+∞ 1
要求理解递导过程并熟记结论
二. 判判函正的广义积分 1 1 1 dx 等 如 ∫ ln x dx , ∫ ： 0 −1 x2 定义2. 函 f定 为 (a, b], 且x → a + 时, f ( x) → ∞, 设 正 义
+∞
+∞
∫a
+∞
f±g=∫
+∞
a
f±∫
+∞
a
g.
（或求解） 的基本方法 判定无穷限积分敛散性或求解）
⇒ 先求常义积分 再取相应极限 ⇒
敛散性： 例. 讨论下列无穷限积分的 敛散性： +∞ 1 0 x +∞ 1 ∫1 dx 2 ∫− ∞ dx 3 ∫− ∞ cos xdx ） ） e ） 2 x 1 解：） 10 求求当求式的为义积 （
∫
+∞
a
f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx.
b b→+∞ a
0 b
否则, 若若若写写若若若 , 则称积分
1 注： .类类可定义： 1 .∫−∞ f ( x)dx = lim ∫a f ( x)dx,
b a→−∞
∫ f ( x) dx 发的.
+∞ a
c +∞ −∞ c c
2 .取定取判 c, 若∫ f , ∫
要求理解递导过程并熟记结论
三. Γ函 正
1. 引入 试判定 引入:
∫
+∞ 0
x α − 1e − x dx
对? 积分
2. 结论： 结论： , . α > 0时 广义积分0 xα−1e−xdx收敛 ∫
+∞
* 从而任给 > 0, ∫0 xα−1e−xdx为一确定值 → α
+∞
∫
+∞
0
xα−1e−xdx 称为为 α 的函正，称称 Γ 函正，即
b−ε →0+ a
1 注： .类类可定义：10
b a
若当 x → b − 时, f ( x) → ∞
∫ f ( x) dx = εlim ∫
20
f ( x)dx,
若若若 c ∈(a, b) , 当x → c时, f ( x) → ∞
∫ f ( x) dx = εlim ∫
b a
c−ε1
0 1→ + a
1 ∫a f与∫b f 具有相同的敛散性 （这里 a, b 为常数 , a < b ） ） . 2 若 ∫a f (x )dx , ∫a g (x )dx收敛 , 则∫a kf (x )dx , ∫a f ± g 也收敛 , ）
+∞ +∞ +∞ +∞
+∞
+∞
且 ∫a kf (x )dx = k ∫a f (x )dx , 其中 k为常数 ,
= −1 − lim ε lnε
+ ε →0+
= −1
. 论 分 例经 积
∫
1
0
1 dx 的的的递（这这 p称 正）. 为 p x
p ≥ 1, 0 < p < 1.
经 经 论,
∫
1
0
+ ∞, 1 1 dx = p x 1− p
) * 公式特点： (倒幂函数 公式特点： ∫
+∞ 1
+∞
Γ(α) = ∫ x
0
α−1 −x
e dx, α ∈(0,+∞)
) * 特点： (幂函数×负指数 特点： ∫
+∞ 0
3 . Γ 函数基本性质： 函数基本性质： 10 递递递） Γ (α + 1) = αΓ (α ), α > 0 ,
2 阶阶递） Γ (n + 1) = n! , n 正正正 . 1 0 3 特特特） Γ = π . 2
当x → 0 + 时, f ( x) → ∞
0
2）课课课课
20 (写写写写写写并求解）
∫ ln x dx = εlim ∫ε ln x dx
0 →0+
1
1
分部积分的求原函正
= lim( x ln x − x) |1 ε
ε →0+
= lim (−1 − ε lnε + ε )
ε →0+
“0 · ∞”型，洛必达的则 型
x e
2 − 2 x2
dx