高三基础知识天天练 数学7-3人教版

第7模块 第3节

[知能演练]

一、选择题

1．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b

( )

A ．一定是异面直线

B ．一定是相交直线

C ．不可能是平行直线

D ．不可能是相交直线

解析：a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a .因而cb ， 否则，若c ∥b ，则a ∥b 与已知矛盾，因而cb . 答案：C

2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线

( )

A ．互不相交

B ．至多有两条直线相交

C ．三线相交于一点

D ．两两相交有三个交点

解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点． 答案：C

3．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则

( )

A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行

B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直

C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交

D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面

解析：对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ，m 都平行，则l ∥m ，这与l ，m 异面矛盾； 对于选项B ，过点P 与l 、m 都垂直的直线，即过P 且与l 、m 的公垂线段平行的那一条直线；

对于选项C ，过点P 与l 、m 都相交的直线有一条或零条； 对于选项D ，过点P 与l 、m 都异面的直线可能有无数条． 答案：B

4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为

( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析：连接D 1C ，AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，

∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45

.

∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4

5.

答案：D 二、填空题

5．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．

解析：取CB 中点G ，连接EG 、FG ， ∴EG ∥AB ，FG ∥CD .

∴EF 与CD 所成的角为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中，EG ＝1

2

AB ＝1，

FG ＝1

2CD ＝2，

∴sin ∠EFG ＝1

2

，

∴∠EFG＝30°.

∴EF与CD所成的角为30°.

答案：30°

6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．

①矩形

②不是矩形的平行四边形

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体

④每个面都是等边三角形的四面体

⑤每个面都是直角三角形的四面体

解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．

答案：①③④⑤

三、解答题

7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF ＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.

(1)求BD的距离；

(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．

(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．

因为AE，EF，EB两两垂直，

所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．

所以BD＝AE2＋EF2＋EB2

＝42＋22＋1＝21.

(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.

所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．

所以AC、BD交于一点且被该点平分．

8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明．

解：设AP ＝x (0≤x ≤2)，利用PF 与BC 所成的角是60°来构建以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置．

如下图，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴AC ＝2.设AP ＝x (0≤x ≤2)，作PQ ⊥AB 交AB 于Q ，则PQ ∥BC ，相交直线PF 与PQ 所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角．

∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，

∴AF ⊥AC ，AF ⊥平面ABCD ，AF ⊥PQ . ∵AB ∩AF ＝A ，

∴PQ ⊥平面ABF ，PQ ⊥FQ . 要使PF 与BC 所成角是60°，

只需使∠FPQ ＝60°，即只需使PF ＝2PQ ， ∵PQ ＝

22AP ＝2

2

x ， ∴只需使PF ＝2x .

又在Rt △APF 中，PF ＝AP 2＋AF 2＝x 2＋1， ∴2x ＝x 2＋1. ∴x ＝1.

∴当P 点是线段AC 的中点时PF 与BC 所成的角为60°.

[高考·模拟·预测]

1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB ，CC 1的距离相等的点的个数为

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB 、CC 1的距离相等的点为点D ，B 1，线段BC 的中点E ，线段A 1D 1中点F ，总共4个，故选C.