2014年高考一轮复习数学教案：4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式

第四章三角函数

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●考点目标定位

1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力.

能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.

4.会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=A sin（ωx+ϕ）的简图，理解A、ω、ϕ的物理意义.

5.了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角.

●复习方略指南

本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=A sin（ωx+ϕ）的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”.

本章内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意：

1.弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫.

2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.

3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”.

4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”a sin x +b c os x =22b a + sin （x +ϕ）（其中ϕ角所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=a

b 确定）将函数化

成y =A sin （ωx +ϕ）+h 的形式，再求其最值或周期等.

4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公

式

●知识梳理

1.任意角的三角函数

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），

则sin α=

r

y ，cos α=

r

x ，tan α=

x

y .

上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变.

2.同角三角函数关系式 sin 2

α+cos 2

α=1（平方关系）；

α

αcos sin =tan α（商数关系）；

tan αcot α=1（倒数关系）. 3.诱导公式

α+2k π（k ∈Z ）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

另外：sin （2

π－α）=cos α，cos （

2

π－α）=sin α.

●点击双基 1.已知sin

2α=

5

3，cos 2

α =－5

4，那么α的终边在 A.第一象限 B.第三或第四象限 C.第三象限

D.第四象限

解析：sin α=2sin 2

αcos

2α

=－

25

24＜0，

cos α=cos 2

2

α－sin 2

2

α=25

7＞0，

∴α终边在第四象限. 答案：D

2.设cos α=t ，则tan （π－α）等于 A.

t

t 2

1- B.－

t

t 2

1- C.±

t

t 2

1- D.±

2

1t

t -

解析：tan （π－α）=－tan α=－

α

αcos sin .

∵cos α=t ，又∵sin α=±21t -，

∴tan （π－α）=±t

t 2

1-.

答案：C

3.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点且cos α=4

2x ，则x 的值为 A.3

B.±3

C.－3

D.－2

解析：∵cos α=r

x =

5

2

+x

x

=

4

2x ，

∴x =0（舍去）或x =3（舍去）或x =－3. 答案：C 4.若

α

αsin sin 1-1+=

α

αcos sin 1+，则α的取值范围是_______.

解析：∵

α

αsin sin 1-1+=

|

cos |sin 1αα+=

α

αcos sin 1+，

∴cos α＞0.∴α∈（2k π－2

π，2k π+

2

π）（k ∈Z ）.

答案：α∈（2k π－

2

π，2k π+2

π）（k ∈Z ）

5.化简8sin 1-=_________.

解析：8sin 1-=2

4cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.

答案：sin4－cos4 ●典例剖析

【例1】 （1）若θ是第二象限的角，则）（）（θθ2sin cos cos sin 的符号是什么?

（2）π＜α+β＜

3

π4，－π＜α－β＜－3

π，求2α－β的范围.

剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.

（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可.

解：（1）∵2k π+

2

π＜θ＜2k π+π（k ∈Z ），