关于多面体外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法

知识回顾：

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、公式法

例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

98，底面周长为３，则这个球的体积为 .

小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、多面体几何性质法

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

三、补形法

例3 若三棱锥的三个侧棱，则其外接球的表面积是 .

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为

R ，则有2R =

变式1：

变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）

A ．26a π

B ．29a π

C ．212a π

D ．224a π

四、寻求轴截面圆半径法

例4 正四棱锥S ABCD -2S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积

C

D A B S

O 1图3

变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为26 。求棱锥的内切球的表面积。

变式1：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为

332π，则该三棱柱的体积为

五、确定球心位置法

例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一

个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为

A.12512π

B.1259π

C.1256π

D.1253π

变式1：三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）

A ．2

B ．5

C

．2 D ．321

C A O

D 图4

1.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD.，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.