线性变换和特征值
代数结构中的线性变换与特征值
代数结构中的线性变换与特征值代数结构的研究是数学领域的一个重要分支，线性代数作为代数结构的重要内容之一，研究了向量空间、线性变换、特征值等概念与性质。
本文将围绕线性变换与特征值展开讨论。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指在向量空间之间保持加法运算和标量乘法运算的映射。
设V和W为两个向量空间，若映射T: V→W满足以下两条性质：1. 对于任意向量u、v∈V和标量k，有T(u+v)=T(u)+T(v)和T(ku)=kT(u)；2. 对于零向量0∈V，有T(0)=0；则称T为从V到W的线性变换。
线性变换的性质有：1. 线性变换保持向量空间的加法运算和标量乘法运算；2. 线性变换将零向量映射为零向量；3. 线性变换将向量的线性组合映射为对应向量的线性组合；4. 线性变换将线性相关的向量组映射为线性相关的向量组。
二、特征值与特征向量的概念在线性代数中，线性变换的特征值与特征向量是研究线性变换性质的重要工具。
给定线性变换T: V→V，若存在非零向量v∈V和标量λ，使得T(v)=λv，则称λ为关于线性变换T的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的性质：1. 对于特征值λ，存在特征子空间{v|T(v)=λv}；2. 对于特征值λ和对应的特征子空间，其维数小于等于n（n为向量空间的维数）；3. 特征向量线性无关，不同特征值对应的特征向量也是线性无关的。
三、特征值与特征向量的计算方法求解线性变换的特征值与特征向量是线性代数中的重要问题。
常用的计算方法有以下几种：1. 特征多项式法：设A为线性变换对应的矩阵，则特征多项式f(λ)=|A-λE|，其中E为单位矩阵。
通过求解方程f(λ)=0，得到特征值。
2. 特征向量迭代法：设v为特征值对应的特征向量，对于给定的λ，通过迭代计算T(v)、T(T(v))、T(T(T(v)))...，直到得到T(T(...T(v)...))=λv。
3. 相似矩阵法：设A、B为相似矩阵，即存在可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。
线性变换的特征值与特征子空间
线性变换的特征值与特征子空间线性变换是线性代数中的基础概念之一，它在多个领域有着广泛的应用。
在研究线性变换的性质时，特征值与特征子空间是两个重要的概念。
本文将探讨线性变换的特征值与特征子空间的定义、性质和应用。
一、特征值与特征向量在线性代数中，我们知道线性变换将一个向量映射到另一个向量。
对于给定的线性变换T，如果存在一个非零向量v，使得T(v)与v方向相同，即T(v)与v共线，那么v就称为T的特征向量，对应的数值λ称为T的特征值。
我们可以用以下方式表示：T(v) = λv特征值与特征向量的定义揭示了线性变换对向量进行伸缩或反转的性质。
特征向量对应的特征值可以是实数或复数。
二、特征子空间根据特征值与特征向量的定义，我们可以得出一个结论：对于任意特征值λ，所有特征向量构成的集合组成了一个特征子空间，该子空间关于变换T是不变的。
这个特征子空间称为特征值λ的特征子空间。
特征子空间在理解线性变换的几何意义时起到了重要作用。
通过分析特征子空间的维数和结构，可以揭示变换T在不同方向上的变化特征。
三、特征值与特征子空间的性质1. 同一个特征值对应的特征向量构成的特征子空间是线性无关的。
2. 不同特征值对应的特征子空间是相互垂直的，即两个特征子空间的交集只包含零向量。
3. 特征值的个数不超过线性变换的维数，即一个n维线性变换最多具有n个特征值。
利用这些性质，我们可以对线性变换进行更深入的研究和应用。
四、特征值分解特征值与特征子空间的概念为我们提供了一种将线性变换进行简化的方法，即特征值分解。
对于一个n维线性变换T，如果我们找到了n 个线性无关的特征向量v₁，v₂，…，vₙ，并且它们对应的特征值分别是λ₁，λ₂，…，λₙ，那么我们可以将T表示为以下形式：T(x) = λ₁x₁+ λ₂x₂ + … + λₙxₙ通过特征值分解，我们可以将原始的线性变换转化为一组简单的伸缩变换，为问题的求解和研究提供了方便。
五、特征值与特征子空间的应用特征值与特征子空间在多个领域都有着广泛的应用。
第6章线性变换和特征值
第6章线性变换和特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它是指一个向量空间V到另一个向量空间W之间的映射，满足线性性质。
线性变换在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、信号处理、物理学等领域中。
在进行线性变换时，我们通常会对向量进行一系列的操作，如旋转、缩放、投影等。
这些操作可以通过矩阵来表示，因为矩阵可以将一些向量操作统一起来，从而方便计算。
线性变换可以用一个矩阵A表示，对于输入向量x，其变换结果y=Ax。
线性变换的一个重要性质是保持向量的线性组合。
即对于任意的向量x1, x2和标量a，b，有T(ax1 + bx2) = aT(x1) + bT(x2)。
这一性质在实际应用中非常有用，它保证了线性变换的结果仍然是向量空间中的向量。
在线性代数中，我们研究的是向量空间的特征，即向量空间中的一些特殊向量。
对于一个线性变换T，其特征向量是满足T(v)=λv的非零向量v，其中λ是一个标量，称为特征值。
特征向量和特征值可以用来描述线性变换对向量的“拉伸”和“旋转”效果。
特征值和特征向量的计算是线性代数中的关键问题。
一般来说，我们可以通过求解线性变换对应矩阵的特征方程来求解特征值和特征向量。
特征方程是一个关于特征值λ的方程，其形式为det(A - λI) = 0，其中A是线性变换对应的矩阵，I是单位矩阵。
特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，特征值和特征向量可以用来描述3D模型的形状变化。
在信号处理中，特征值和特征向量可以用来解决滤波和降噪问题。
除了特征值和特征向量，线性变换还有一些重要的性质。
例如，对于矩阵为A的线性变换T和标量c，有T(cA)=cT(A)，称为线性变换的齐次性质。
此外，线性变换的核是指所有使得T(v)=0的向量v的集合，而像是指线性变换T的所有可能输出向量的集合。
总结起来，线性变换是线性代数中的重要概念，它可以用矩阵来表示，并且具有许多重要的性质。
特征值和特征向量是线性变换的重要度量指标，可以用来描述线性变换的效果。
线性代数中线性变换与特征值
线性代数中线性变换与特征值线性代数是数学的一个重要分支，涉及了许多与线性空间和线性变换有关的概念与理论。
在线性代数中，线性变换和特征值是两个核心概念，对于深入理解矩阵和向量空间的性质与行为具有重要意义。
一、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，同时满足两个条件：保持向量加法和数乘运算的线性性。
也就是说，对于线性变换T和向量v，满足以下关系式：T(u + v) = T(u) + T(v)T(kv) = kT(v)其中u和v分别是向量空间V中的两个向量，k是一个实数。
线性变换有着许多重要的性质和应用。
它们可以用来描述许多实际问题，如投影变换、旋转变换和尺度变换等。
线性变换也可以用矩阵表示，这样就可以利用矩阵运算的性质来简化计算。
二、特征值与特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是描述线性变换行为的重要工具。
对于线性变换T和向量v，如果存在一个非零向量v使得下式成立：T(v) = λv其中，λ是一个常数，被称为特征值；v是一个非零向量，被称为特征向量。
特征值和特征向量具有许多重要的性质。
它们可以帮助我们理解线性变换的基本行为和性质。
特征值决定了线性变换对于特定方向的伸缩程度，而特征向量则表示了在这些方向上的移动。
特征值和特征向量也与矩阵紧密相关。
矩阵A的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A - λI)v = 0来得到，其中I是单位矩阵。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的一些重要的性质，如对角化和相似矩阵。
三、线性变换与特征值的应用线性变换和特征值在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 图像处理：线性变换可以用于图像的旋转、缩放和平移等操作。
特征值和特征向量可以帮助我们找到图像中的对称轴和重要特征。
2. 机器学习：线性变换和特征值可以用于降维和特征提取。
通过找到数据集的主成分，我们可以减少特征的维度，从而达到简化模型和提高计算效率的目的。
3. 数值计算：线性变换和特征值在数值计算中有着广泛的应用。
【清华 线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量
7
定义4 设 W 是 的不变子空间, 则1 : W W , 是 W 上的线性变换, 称为 在 W 上的限制, 记为1 W . 定理6 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1, ,k
为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1, ,k ,k1, ,n , 则 (1) W 是 的不变子空间的充分必要条件为 在 V 的基
证明 在 V 的某组基下的矩阵为 Ir
0
.
证明 V, (-) = - = 0, 所以 {-|V} ker,
反之, ker, 有 = 0, 所以 {-|V } ker .
所以 {-|V } = ker . V Im ker ,
由本讲定理5可知 V ker 组基, r1, ,n 为ker 的一组基, 则
1, ,r ,r1, ,n 线性无关, 所以 k1 k2 kn 0,dim Im n r.
dimV dimker dimIm.
5
注1 任意给定 V 中元素 , 若存在 使 = , 则
1( ) ker { 0, V}
所以 是单射 ker = {0} dimker = 0
1, ,r ,r1, ,n 为 V 的一组基, i i , i 1, , r;
i
0,
r 1 i
n.
在 V 的这组基下的矩阵为
Ir
0 .
定义3 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W
中任一向量 , 有 属于 W, 则称 W 为 的不变子空间.
显然 {0}, V, Im 和 ker 均为 不变子空间.
2 0 , 0 1
1 1 0 1 1 0
解
2
2
0 0 0 1，
0 0 1 0 0 0
线性变换与特征值特征向量的计算
线性变换与特征值特征向量的计算线性变换是线性代数中一个重要的概念，它描述了向量空间内的一种变换关系。
在线性变换中，特征值与特征向量是一对重要的概念，能够帮助我们更好地理解和分析线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的定义与性质，并详细阐述特征值与特征向量的计算方法。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量，通过某种变换关系，映射到另一个向量空间中的向量。
具体来说，设有两个向量空间V和W，线性变换T是从V到W的一种映射，满足以下两个性质：首先，对于V中的任意向量x和y，以及任意的标量a和b，都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)；其次，对于V中的零向量0，有T(0)=0。
这两个性质使得线性变换具有保持向量加法和数量乘法运算的特点，从而可以表示向量空间之间的变换关系。
对于线性变换T，我们常常用矩阵A来表示它的变换关系。
设V的一组基为{v1,v2,...,vn}，W的一组基为{w1,w2,...,wm}，则矩阵A的第j 列表示向量vj在基{w1,w2,...,wm}下的表示，即A=[T(v1)|T(v2)|...|T(vn)]。
根据线性变换的定义和性质，我们可以通过计算矩阵A来描述线性变换T。
二、特征值与特征向量的计算特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，在线性变换中有着重要的应用。
设有线性变换T和向量v，如果存在一个标量λ使得T(v)=λv，那么称λ为线性变换T的特征值，v为对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们揭示线性变换的性质和变换结果的特点。
在计算特征值与特征向量时，我们面临的一个关键问题是如何求解特征值方程T(v)=λv。
设A是线性变换T的矩阵表示，v是对应的特征向量，那么特征值方程可以表示为Av=λv。
将其转化为(A-λI)v=0，其中I是单位矩阵，0是零向量。
为了使(A-λI)v=0有非零解，必须满足矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
这样就得到了特征值方程的表达式。
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换和特征值是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和向量的运算以及数据分析中起着至关重要的作用。
本文将从理论和应用两个方面介绍线性变换和特征值的相关知识。
首先，我们来了解线性变换的基本概念。
线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种映射，它保持向量的线性组合和加法运算不变。
在数学上，线性变换可以用一个矩阵来表示。
设有向量空间V和W，线性变换T表示从V到W的映射，如果对于V中任意的向量x和y，以及标量a和b，有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则T是一个线性变换。
线性变换具有许多重要的性质。
首先，线性变换可以保持向量的线性关系。
这意味着，如果x和y在V中线性相关，那么T(x)和T(y)也在W中线性相关。
其次，线性变换可以保持向量的零空间不变。
即如果向量x在V中是T的零空间向量，那么T(x)也是W中的零空间向量。
此外，线性变换还可以保持向量的长度不变，即它们是等距映射。
接下来，我们介绍特征值与特征向量的概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，那么λ称为A的特征值，x称为相应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量描述了矩阵在某个方向上的缩放和拉伸效应。
它们在很多领域中都有广泛的应用，比如图像处理、物体识别和机器学习等。
对于一个n维方阵，它最多有n个不同的特征值。
如果一个特征值有k个线性无关的特征向量，那么该特征值的几何重数为k。
特征值的几何重数与代数重数不一定相等。
代数重数是特征值在矩阵的特征多项式中的重数，而几何重数则是对应特征值的特征向量的个数。
特征值与特征向量的求解通常涉及特征方程的求解。
特征方程是由矩阵的特征值和特征向量定义的方程。
设A是一个n阶方阵，λ是它的一个特征值，x是相应于λ的特征向量。
那么特征方程可以表示为Ax-λx=0，即(A-λI)x=0，其中I是单位矩阵。
特征方程的求根可通过行列式或特征值的性质进行计算。
除了特征值与特征向量的求解，特征值还可以用于矩阵的对角化。
高等代数选讲第六讲 线性变换的特征值、特征向量
1
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性
变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，
希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的
基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个 对角矩阵?
2
一、特征值与特征向量
定义
1, 2 , , n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 , ,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
相似矩阵有相同的特征值。
4
1、求特征值与特征向量的一般步骤
（1） 在V中任取一组基 1 , 2 , 的矩阵A . （2） 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们
, kr P 不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
7
例1 设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
1 2 2 A 2 1 2, 2 2 1
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2 ( 5) 2 2 1
问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P ，使 得 P 1 AP 为对角阵，并求 P 和相应的 对角阵。
23
例4 设 A, B 均是n阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相
同的特征值。
例5 设 A, B 均是n阶矩阵，且A的特征值两两互
异，则A的特征向量恒为B的特征向量的充要条件 是 AB BA 。
( k3 P , k3 0 )
10
二、特征多项式的有关性质
线性变换与特征值特征向量
线性变换与特征值特征向量线性变换是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算、向量空间、特征值特征向量等方面起到了关键作用。
本文将重点探讨线性变换与特征值特征向量的相关概念及其应用。
一、线性变换线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的映射。
具体来说，对于向量空间V中的两个向量u和v，以及一个标量c，若对于线性变换T，满足以下两个条件：1. T(u+v) = T(u) + T(v)2. T(cu) = cT(u)其中，T(u)表示向量u的变换结果。
线性变换可以通过矩阵乘法来表示。
若向量u∈R^n，线性变换T 可以表示为T(u) = Au，其中A为n×n的矩阵，称为变换矩阵。
二、特征值与特征向量特征值和特征向量是线性变换中十分重要的概念。
对于一个线性变换T，若存在非零向量v使得满足以下等式：T(v) = λv其中，λ为标量，则称该标量λ为线性变换T的特征值，向量v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值特征向量的重要性在于它可以帮助我们理解线性变换的效果。
特征值决定了变换的缩放比例，而特征向量则决定了变换的方向。
三、特征值特征向量的计算为了计算线性变换的特征值特征向量，我们需要解决以下方程：T(v) = λv上式可以转化为(A-λI)v = 0的形式，其中A为线性变换的矩阵表示，I为单位矩阵，v为特征向量，λ为特征值。
为了非零解存在，需要满足(A-λI)的行列式为零，即|A-λI| = 0。
这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到特征值λ的值。
然后，将特征值代入(A-λI)v = 0，解得特征向量v。
四、特征值特征向量的应用特征值特征向量在图像处理、数据压缩、机器学习等领域有广泛应用。
在图像处理中，特征值特征向量可用于图像压缩和图像增强。
通过计算图像的协方差矩阵的特征值特征向量，可以提取出图像的主要特征，从而实现图像的降维和压缩。
在数据压缩中，特征值特征向量可用于主成分分析（PCA）算法。
PCA通过计算数据的协方差矩阵的特征值特征向量，将数据映射到低维空间中，以实现数据的降维和压缩，从而简化数据处理过程。
线性变换的特征值与特征向量
1
2 2
T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K 这里 k 为数域 K 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的 特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有 相同的迹，有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵 A 的属于特征值 0 的全部特征向 量再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，
设 a1 , a2 , an 是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A 在这组 基下的矩阵表示是 A.若设 0 是 A 的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1 , a2 , an 下的坐标是 ( x1 , x2 , xn )T ，即
=（ a1 , a2 ,
x1 x an ） 2 （1.8.2） x4
x1 x an ) 2 x4
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 ,2 , 3 下 的矩阵是
n 次 代 数 方 程 0 En A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） ，以 A 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
所得的非零解 X ， 称为 A 的对应于 0 的特征向 量。矩阵 A 的特征多项式在复数范围内有 n 个 根，因此一个 n 阶方阵有 n 个特征根（重根应 记及重数） 。矩阵 A 的所有特征值的全体称为
线性变换的特征值与特征向量
则称λ0为σ的一个特征值,称α为σ的属于 特征值λ0的一个特征向量.
从几何直观上看,特征向量的方向经
过线性变换后保持在同一条直线上.当λ0
，
＞0时,变换后保持原方向;当λ0＜0时,变
， 换后与原方向相反;当λ0 = 0,特征向量被 变换到零向量.
当α是σ的属于特征值λ0的特征向量 时,kα (k≠0,k∈P)也必是σ的属于λ0的特
x1
A
x2
.
xn
， 由于σ(α) =λ0α,而λ0α在ε1,ε2,…,εn下的坐
标为
，
x1
0
x2
,
xn
故有
x1
x1
A
x2
0
x2
.
(8.2.1)
，
xn
xn
与第五章(5.1.1)式比较,可知若把α的
， 坐标看作数域P上n维向量,则线性变换σ的
特征值与特征向量与σ在取定基下的矩阵A
§8.3 线性变换的特征值与特征向量
在第五章中已经讨论了n阶方阵的特征 值与特征向量.由于线性变换与n阶方阵有 着密切的联系,可以把特征值与特征向量的 概念推广到一般线性空间的线性变换上.
定义8.3.1 设σ是数域P上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P中某个数 λ0,存在一个V中的非零元素α,使得
特征向量是完全一致的.
由此可知,第五章中所有关于矩阵A的 特征值和特征向量的讨论可以完全适用于
线性变换σ的特征值与特征向量.例如,根据 定理5.2.3,线性变换σ在某组基下的矩阵为 对角形矩阵的充分必要条件是σ有n个线性 无关的特征向量α1,α2,…,αn.把这n个线性 无关的特征向量作为V的基,则σ在这组基
线性变换的特征值与特征子空间
线性变换的特征值与特征子空间线性变换是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究线性变换时，特征值和特征子空间是两个核心概念。
本文将介绍线性变换的特征值和特征子空间，并探讨其在线性代数中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n维线性空间V和一个线性变换T：V→V，若存在一个非零向量v∈V，使得T(v)=λv，其中λ是一个标量，则称λ为线性变换T的一个特征值，而v则称为对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量是指在线性变换下只发生伸缩变换而不改变方向的向量。
特征值则告诉我们特征向量在伸缩变换中的比例关系。
通过求解线性方程组(T-λI)v=0，可以得到特征值λ及其对应的特征向量v。
二、特征子空间的定义给定一个特征值λ，由于存在无数个与特征向量v成比例的向量，我们可以定义特征子空间，即同一个特征值下的所有特征向量所组成的子空间。
特征子空间可以用来描述线性变换的性质。
三、特征值的性质和求解方法特征值具有以下性质：1. 特征值的和等于线性变换的迹（trace），即所有特征值的代数和等于线性变换的主对角线元素之和。
2. 特征值的积等于线性变换的行列式，即所有特征值的乘积等于线性变换的行列式。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
求解特征值的方法有多种，常用的方法有幂迭代法、QR算法、Jacobi方法等。
这些方法通过迭代逼近的方式计算特征值和特征向量。
四、特征子空间的性质和应用特征子空间具有以下性质：1. 对于不同的特征值，对应的特征子空间是线性无关的。
2. 对于同一个特征值，特征子空间的维度可以大于等于1。
特征子空间在线性代数中有广泛的应用，例如：1. 矩阵的对角化：通过特征子空间的基变换可以将线性变换表示为对角矩阵，从而简化线性变换的计算。
2. 特征脸识别：通过特征子空间分析，可以将人脸图像表示为特定的特征向量组合，从而实现人脸识别的功能。
五、总结本文介绍了线性变换的特征值和特征子空间，并讨论了它们在线性代数中的应用。
线性变换的特征值和特征向量
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14
特征值与行列式, 迹
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谢谢观看！ 2020
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例子: 线性变换的矩阵
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线性变换的特征值与特征向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
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例子
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例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.
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特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
如果存在非零列向量X使得
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相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
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例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
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例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 2) 特征向量
变换的特征向量与矩阵的特征向量
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特征矩阵与特征多项式
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
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பைடு நூலகம் 特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
➢矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 ➢随着基的变化而变化
的基础解系.
…
12:04
11
例3.5 续
的基础解系.
特征子空间:
12:04
线性变换
⎛ y1 ⎞
,εn
)
⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟
.
⎜⎝ yn ⎟⎠
又
σ (ξ ) = (σε1,σε 2,
⎛ x1 ⎞
,σε
n
)
⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟
=
(ε1,ε
2
,
⎜⎝ xn ⎟⎠
⎛ x1 ⎞
,ε
n
)
A⎜⎜
x2
⎟ ⎟
⎜⎝ xn ⎟⎠
∴ (ε1,ε 2 ,
⎛ y1 ⎞
,εn
)
⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟
=
(ε1,ε 2 ,
⎜⎝ yn ⎟⎠
例V = R2 (实数域上二维向量空间)，把V中每
一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换，
用Tθ 表示，即
( ) ( ) Tθ : R2 → R2,
x y
x′ y′
( ) ( )( ) 这里，
x′ y′
=
cosθ sinθ
− sinθ cosθ
x y
易验证：∀α , β ∈ R2 , ∀k ∈ R
于是 Ak = XBk X −1.
( )( ) ( ) ∴
Ak =
1 −1 −1 2
1 1 k 1 −1 −1 0 1 −1 2
( )( )( ) ( ) =
1 −1 −1 2
1k 01
2 1
1 1
=
k +1 −k
k −k + 1
.
例. 在线性空间 P 3 中，线性变换 σ定义如下： ⎧⎪⎨⎪⎩σσσ(η((ηη312)))===(((−−05,5,−,−011,,,369))) ,
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了向量空间中的一个向量如何通过矩阵的乘法转化为另一个向量。
特征值则是线性变换中的一个关键指标，它可以帮助我们理解变换对向量空间的影响程度。
本文将探讨线性变换与特征值的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间中的向量通过一个线性映射转化为另一个向量的过程。
它可以用一个矩阵来表示，并具有以下性质：1. 加法性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，有T(u+v) = T(u) + T(v)。
2. 数乘性：对于向量空间中的任意向量u和标量k，有T(ku) =kT(u)。
3. 保持零向量：对于所有向量空间中的零向量0，有T(0) = 0。
二、特征值与特征向量的定义与性质在线性变换中，特征向量是指在线性变换后，仅被伸缩而不改变方向的向量。
特征值则是对应于特征向量的伸缩比例。
设A是一个n阶方阵，若存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，那么v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量具有以下性质：1. 非零特征向量对应的特征值为零。
2. 一个方阵可以有一个或多个特征向量和对应的特征值。
3. 特征向量可以相互线性组合形成新的特征向量。
三、计算特征值与特征向量的方法计算特征值和特征向量是线性代数中的重要问题，有多种方法可以解决。
1. 特征值的计算：特征值可以通过求解方程|A-λI|=0来求得，其中A是一个n阶方阵，λ是要求解的特征值，I是单位矩阵。
2. 特征向量的计算：计算得到特征值后，可以通过求解方程(A-λI)v=0来求得特征向量v。
其中v是一个n维列向量。
四、线性变换与特征值的应用线性变换与特征值在各个学科领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中的应用：线性变换是量子力学中的基本概念，用于描述粒子在空间中的运动和变换。
特征值则可以用于求解量子力学中的能量等问题。
2. 计算机图形学中的应用：线性变换被广泛应用于计算机图形学中的三维渲染和动画。
线性变换与特征值特征向量
线性变换与特征值特征向量线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在经过变换后的规律。
而特征值和特征向量则是线性变换的重要性质，它们可以帮助我们更好地理解和分析线性变换的特性。
本文将从定义、性质和应用三个方面来探讨线性变换与特征值特征向量的重要性。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间V上的变换T，它满足以下两个性质：1. 对于所有的向量u和v以及标量k，T(u+v) = T(u) + T(v) 和 T(ku) = kT(u)。
也就是说，线性变换保持向量的加法和数乘运算的性质。
2. 对于向量空间V中的零向量0，有T(0) = 0，即线性变换将零向量映射为零向量。
线性变换的性质使得它能够保持向量空间的结构，同时也为我们之后的讨论奠定了基础。
二、特征值与特征向量的定义与性质在线性代数中，特征值和特征向量是描述线性变换特性的重要工具。
我们定义一个向量空间V上的线性变换T，对于非零向量v，如果存在非零标量λ使得T(v) = λv，那么v就是T的特征向量，λ就是v对应的特征值。
特征值和特征向量的性质如下：1. 特征向量不为0，即零向量不是特征向量。
2. 如果v是T的特征向量，对于任意非零标量k，kv也是T的特征向量，且对应的特征值是λ/k。
3. 如果v1和v2是T的特征向量，且对应的特征值分别是λ1和λ2，那么v1+v2也是T的特征向量，对应的特征值是λ1+λ2。
特征值和特征向量提供了一种理解和分析线性变换的方法。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到线性变换的重要性质，比如变换的方向、伸缩比例等。
三、线性变换与特征值特征向量的应用线性变换与特征值特征向量的应用广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 矩阵对角化对称矩阵是一类特殊的矩阵，它的特征值都是实数，并且存在一组线性无关的特征向量。
通过对称矩阵进行对角化，我们可以得到一个对角矩阵，其对角线上的元素就是原矩阵的特征值。
对角化后的矩阵更加简洁，便于分析和计算。
线性变换的特征值与特征向量
线性变换的特征值与特征向量
但是，一个线性变换的矩阵表示是与线性空间的一 组基联系在一起的，随着线性空间的基的变化，矩阵表示 可能是不同的.那么，将求线性变换的特征值与特征向量 转化为求矩阵的特征值与特征向量，会不会出现歧义呢？ 回答是否定的.这是因为，根据第五章的定理5-6，同一个 线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的，而根据本章第 一节的定理6-2，相似矩阵的特征值相同.因此，线性变换 的矩阵表示的特征值与基的选取无关.于是，通常也将线 性变换σ的矩阵表示A的特征多项式和特征方程，称为线 性变换σ的特征多项式和特征方程.
与矩阵的特征值和特征向量一样，线性变换的特征向量是非零 向量，并且一个特征向量只能属于一个特征值，从而特征值由特征 向量所唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的.
线性变换的特征值与特征向量
下面，利用线性变换与矩阵之间的对应，介绍求得线性 变换的特征值和特征向量的方法.
设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V的一 组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下 的矩阵表示.
线性变换的特征值与特征向量
再次根据第五章的定理5-4，有
因为(a1,a2,…,an) T非零，故ξ≠0.因此，λ是线性变换σ 的一个特征值，非零向量ξ是σ属于特征值λ的一个特征向 量.
于是，把上面的结论综合起来，即得下面的定理.
线性变换的特征值与特征向量
定理6-7
设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn 是V的一组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ 在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.则
线性变换的特征值与 特征向量
线性变换的特征值与特征向量
一、 线性变换的特征值与特征向量的定义
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换是线性代数中非常重要的概念之一，与特征值有密切的联系。
在本文中，我们将探讨线性变换以及特征值的相关概念和性质。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的映射，同时保持加法和标量乘法运算。
设V和W是两个向量空间，如果对于任意的向量x，y∈V和任意的标量a，b∈F，其中F是域，满足以下条件：1）T(x + y) = T(x) + T(y)，对任意的x，y∈V；2）T(ax) = aT(x)，对任意的向量x∈V和标量a∈F；则称映射T：V→W为线性变换。
线性变换具有以下性质：a) 零向量的线性变换是零向量；b) 线性变换保持向量的线性组合，即对于任意的向量x1,x2,...,xn∈V和标量a1,a2,...,an∈F，有T(a1x1+a2x2+...+anxn) = a1T(x1) + a2T(x2) +...+ anT(xn)；c) 线性变换保持向量的线性无关性，即对于任意的向量x1,x2,...,xn∈V，如果它们线性无关，则它们的像T(x1),T(x2),...,T(xn)也线性无关。
2. 特征值与特征向量对于一个线性变换T：V→V，如果存在一个非零向量v∈V，使得T(v) = λv，其中λ是一个标量，则称λ为线性变换T的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解可以通过解方程组得到。
设A是线性变换T的矩阵表示，则有Av = λv，即(A - λI)v = 0，其中I是单位矩阵。
如果(A - λI)的秩小于n（n为矩阵A的阶数），则零解v = 0是唯一解，此时λ不是特征值。
如果(A - λI)的秩大于等于n，则零解v = 0以外存在非零解，此时λ是特征值。
特征值与特征向量的性质如下：a) 线性变换T的每个特征值都对应至少一个特征向量；b) 特征向量构成由零向量组成的空间V的一个子空间；c) 特征向量对应的特征值是线性变换的一个性质，与特征向量的长度和方向无关。
线性变换的特征值与特征向量
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THANKS
在奇异值分解中，可以将一个矩阵表 示为一个正交矩阵、一个对角矩阵和 一个正交矩阵的乘积，其中对角矩阵 的对角线元素即为特征值。
在求解微分方程中的应用
在求解微分方程时，特征值和特征向量可以用于分析解的性质。例如，对于常微分方程，特征值和特征向量可 以用于分析解的稳定性。
在偏微分方程中，特征值和特征向量可以用于分析解的振动频率和模式。例如，在波动方程中，特征值和特征 向量可以用于计算波速和波长。
在信号处理和图像处理中的应用
在信号处理中，特征值和特征向量可以用于信号压缩和降噪。例如，通过将信号表示为一组特征向量 的线性组合，可以去除噪声并保留信号的主要特征。
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像识别和分类。例如，通过将图像表示为一组特征向量 的线性组合，可以提取图像的主要特征并进行识别。此外，在图像压缩中，也可以利用特征值和特征 向量的性质进行压缩和重建。
02
03
计算方法
特性
通过构建线性变换的矩阵，并对 其进行行列式运算，得到特征多 项式。
特征多项式的根即为特征值，根 的重数等于相应特征值的代数重 数。
特征值的求解
定义
特征值是线性变换在特征向量上的一个标量乘数， 它决定了特征向量的变化规律。
计算方法
通过解特征多项式得到特征值，也可以通过直接 计算矩阵的特征值得到。
对于给定的线性变换 $T$ 和标量 $lambda$，如果存在一个非零 向量 $vec{v}$ 使得 $T(vec{v}) = lambda vec{v}$，则 $vec{v}$ 是 $T$ 的对应于特征值 $lambda$ 的特征向量。 特征向量可以是实数向量或复数向量。
特征值与特征向量的关系01 Nhomakorabea04
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2）
解法1：先计算 A 1，令 B=I+A-，1 求出特征方
程 I - B 0的根即可。
解法2：因为 A12320,所以A可逆，p i
为对应于A的特征值 i 的特征向量，则
又 A -1 pi
1
i
pi
Ipi = pi
所以 (I+A -1)pi(1 1 i)pi,
i1,2,3
从而矩阵I A1的特征值为1
体所构成的集合称为像集，记作 T X 。
定义6.2 设 Vn , U m 是实数域上的向量空间， T是一个从V n 到U m 的映射，若映射T满足
1) x 1 ,x 2 V n , 有 T ( x 1 + x 2 ) = T ( x 1 ） + T ( x 2 )
2) x V n ,k R ,有 T ( k x ) = k T ( x ）
可得它的一个基础解系
1 1
ξ1
2
,
ξ
2
0
,所以k1ξ1k2ξ2(k1,k2都不为
0
1
零）是A对应于特征值1ห้องสมุดไป่ตู้ 1的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 ，得它3的 一8 个基础解系
(8I-A)x0
2 ，所以
是A对应于特征
ξ
3
1
k3ξ3,(k3 0)
值8的全 2 部 特征向量。
1
，即
i
2
,
3 2
,0
定理6.1 设 1,2,L ,m为方阵A的互不相同的 特征值，ξ1,ξ2,L ,ξm分别为对应于特征值 1,2,L ,m 的特征向量，则 ξ1,ξ2,L ,ξm线性无关。
推论 矩阵A的 m 个互不相同特征值所对应 的 m 组各自线性无关的特征向量并在一起
仍是线性无关的。
6.2.3 特征值和特征向量的MATLAB求法
惟一的）。
3 2 4
例6.4 量。
求矩阵
A
2
4
0 2
2
的特征值和特征向
3
解： A的特征多项式
3 2 4
IA 2 2 (1)2(8)
4 2 3
所以A的全部特征值为121,38
对于特征值 12 1, 解齐次线性方程组
(-I-A)x0，即
4 2 4 x1 0
2
1
1
x2
0
4 2 4 x3 0
M MMM
（6-4）
an1 an2 L ann
称 f ( ) 为方阵A的特征多项式，方程 f () 0称 为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程
的根。由于f ( )是 的 n 次多项式，所以方
程 f () 0在复数域内有 n 个根（重根按重数
计算）。
矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤：
第一步：求特征值。先通过行列式（6-4） 的计算，写出其特征多项式 f ()，这一步的
证：利用矩阵的数乘及乘法运算，y=T(x)Ax
是Rn到Rm的映射。若 y1=A x1,y2=A x2,显然 有
y 1 ＋ y 2 = A x 1 ＋ A x 2 ＝ A x 1 ＋ x 2 及 ky1＝Akx1
即T是 Rn到Rm的线性映射。
例6.2 向量空间V中的恒等变换 E:E(α)=α,αV 是线性变换。 证明：设 α,βV,kR ，则有
难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需 要很大的计算工作量；
第二步：并进行因式分解 f() ( 1 )( 2 ) ( n )
然后求出特征方程f () 0的全部根 1,2,,n
这就是A的所有特征值；
第三步：把每个特征值
分别代入方程，求
i
齐次线性方程组(iI-A)x0的非零解 ，p i 它就
是A对应于特征值 i 的一个特征向量（不是
量 x 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将
（6-1）式变形为
(I-A)x0(或 (AI)x0) （6-2）
满足这个方程的 和 x 就是我们要求的特征
值和特征向量。
（6-2）式是含个 n 方程的 n 元齐次线性方程
组，它有非零解的充要条件是
I - A 0
（6-3)
记作
a11 a12 L a1n f () a21 a22 L a2n 0
6.1 n维空间的线性变换
定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有 Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T
为从集合X到集合Y的映射，记为 y = T(x)
或 y = Tx ，x X 称y是X在映射T下的像，x是y 在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全
则称T为从V n 到U m 的线性映射，或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射。
例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 y=T(x)Ax
即
y1 a11 a12 L a1n x1
y2
a21
a22 L
a2n
x2
M M M
M M
ym
am1 am2 L
amn
xn
都是Rn到Rm的线性映射。
例6.5 设矩阵
1 1 2
A
0
2
1
0 0 1
1)求及的特征值；
2)进一步求矩阵的特征值。
解： 1）由A的特征方程
1 1 2 I-A 0 2 1(1)(2)(1)=0
0 0 1
可得A的全部特征值为1，2，-1。
f(A)=2A3+A-5I的特征值为 f(i)2i3i 5
，即-2,13,-8。
6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质
性质1 n 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特
征值。
性质2 设1,2,L,n是矩阵A的 n 个特征值，
则
1) 1 2 L n a 1 1 a 2 2 L a n n
2) 12L n A 称a11a22Lann为矩阵A的迹，记为 t r ( A )
性质3 设 为方阵A的特征值，则
1）当A可逆时，1
是A 1的特征值
2）A 是A的伴随矩阵 adj(A )的特征值
3）m(mN)是A m 的特征值；进而有矩阵A的 m
次多项式
f(A ) a 0 A m a 1 A m 1 L a m 1 A a m I
的特征值为
f() a 0m a 1m 1 L a m 1 a m
E(α+β)=α+β=E(α)+E(β), E(kα)=kα=kE(α)
所以恒等变换E是线性变换。
6.2 方阵的特征值和特征向量
6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算
定义6.3 设 A (aij )是 n 阶方阵，若存在数 和 n 维非零列向量x ，使得
Ax=x
（6-1）
成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向
MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向 量各步骤的函数。这三个步骤是：