三重积分在柱面坐标系下的计算

9.3.3三重积分在柱面坐标系下的计算

设为空间内一点，并设

点

在面上

的投影P的极坐标为，，则这样的三个

数

就叫做

点的柱面坐标（图9-14），这里规

定

的变化范围为：

由图可知，直角坐标与柱面坐标的关系为

柱面坐标系中的体积元素为

图9-14在计算三重积分时，如果对变量z先积分，那么应将区

域投影到x o y面上，得平面区域D，用与直角坐标系中的累次积分法一样定出对z积分的上、下限，再将得到的在区域D上的二重积分用极坐标系中的累次积分法计算，即得三重积分在柱面坐标系下的累次积分法。因此，在柱面坐标系中计算三重积分的要点是：（1）画出积分区

域及它在x o y平面上的投影区域D;

（2）把三重积分的被积表达式换成如下形式

（3）变量z的上、下限定法同三重积分在空间直角坐标系中累次积分法对z的定限法，变

量的上、下限定法同二重积分在极坐标系中的定限法。

例1：利用柱面坐标计算三重积

分，其

中是由曲

面与平

面所围成的闭区域。

解：画出积分区

域及它在x o y平面上的

投影区域D（如图）

把闭域投影

到面上，得半径为2的圆

形闭区

域。

在内任取一

点，过此点作平行于轴

的直线，此直线通过曲

面穿

入内，

然后通过上半球

面穿

出外。

因此闭区

域可用不等

式来

表示。

于是