直线与圆相切.弦长问题(学生)

直线与圆相切.弦长问题(学生)

直线与圆的位置关系（复习）

复习要求 1. 会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2. 掌握圆的几何

性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会

用代数法处理几何问题的思想．

直线与圆的位置关系：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (A2＋B 2≠0) ，圆：(x－a) 2

＋(y－b) 2＝r 2 (r>0)， d 为圆心(a，b) 到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消

元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

[难点正本疑点清源]

1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几

何法”是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法

几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离) 、弦长的一半及半径构成直角三角形

计算．

1. ．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围为

__________．

2．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．

3．(2019·重庆) 过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

题型一直线与圆的位置关系

例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x－1) 2＋(y＋1) 2＝12.

(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C

截得的最短弦长．

(2019·安徽改编) 若直线x －y ＋1＝0与圆(x－a) 2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________．

题型二圆的切线问题

例2 已知点M(3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x－1) 2＋(y－2) 2＝4.

(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值； (3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为3，求a 的值．

探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点

为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．

已知点A(1，a) ，圆x 2＋y 2＝4. （a>0）若过点A 的圆的切线只有一条，

求a 的值及切线方程；

方法与技巧

1．过圆上一点(x0，y 0) 的圆的切线方程的求法

1

先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方

k 程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x0，y 0) 的圆的切线方程的求法

(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x－x 0) ，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0. 由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．

(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x－x 0) ，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入

圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法

l 222

(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎛⎝2＝r －d . (2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y 1) ，B(x2，y 2) 两点, 两点间距离公式。失误与防范

1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．

2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若

仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

基础训练

1．若过点A(a，a) 可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为______________．

2．若直线y ＝x ＋4与圆(x－a) 2＋(y－3) 2＝8相切，则a ＝___________．

3．设m ，n ∈R ，若直线(m＋1)x ＋(n＋1)y －2＝0与圆(x－1) 2＋(y－1) 2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．

4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为________．

5．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x－1) 2＋(y－2) 2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.

6．直线y ＝kx ＋3与圆(x－2) 2＋(y－3) 2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是______________．