直线与圆的弦长问题》片段课件.ppt

（2）弦长公式
AB x1 x2 AB y1 y2
1 k2 1
1 k2
x1 x2 2 4x1x2 1 k 2
y1 y2 2 4 y1 y2
1
1 k2
二、几何法：
(3)
r2
d2
l 2
2
改编自必修2 P127 例2
练习1:已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0，所
人教A版高中数学必修2 4.2.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直
线 与
利用直线与圆方程判断直线与圆
圆
的位置关系
的
位
置
直线与圆的弦长问题
关
直线与圆的切线问题
系
直线与圆相交的弦长问题
如何判断直线 l : Ax By C 0
与圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0 的位置关系？
代数法 几何法
选自必修2 P132习题4.2 A组 第5题
圆 x2 y2 2x 4 y 0 ,求直线被圆截得的弦长。
解法二：将直线的方程化为斜截式 y 3x 6 y
3x y 6 0
联立 x2 y2 2x 4 y 0
消去 y ，得 x2 5x 6 0
解得：x1 2, x2 3
AB x1 x2 1 k 2
2 3 1 32
l A(x1, y1)
C. B
(x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2
(x1 x2 )2 k 2 (x1 x2 )2
(x1 x2 )2 1 k 2
O
A
B( x2
,
yx2 )
x1 x2 1 k 2
使用前提：直线斜率 k 存在 弦长公式： AB x1 x2 1 k 2 或
AB y1 y2
1
1 k2
k 0
x1 x2 2 4x1x2 1 k 2
b
c
( x1
x2
a , x1x2
) a
斜率 k 不存在 AB y1 y2
斜率 k 0
AB x1 x2
选自必修2 P132习题4.2 A组 第5题
例1、已知直线 l : 3x y 6 0 和圆心为C的
O
10
弦长公式： AB x1 x2 1 k 2 或 AB y1 y2 x1 x2 2 4x1x2 1 k 2
l
C. B
A
x
1
1 k2
选自必修2 P132习题4.2 A组 第5题
例1、已知直线 l : 3x y 6 0和圆心为C的 圆: x2 y2 2x 4 y 0 ,求直线被圆截得的弦长。
解法三：
y
易得圆C的圆心为 (1, 2) 半径 r 5
圆心到直线的距离 d 3 2 6 10
32 12 2
可得：
l 2 r2 d2 2
2
5 (
10 )2
10
2
关键：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l O
r2
d2
l 2
2
知二求一
l
.r
C
B l
d
D2
Ax
总结升华：
求弦长的三种方法： 一、代数法： （1）两点间距离公式
当直线斜率不存在时，直线l为 x 3
此时两个交点坐标分别为 A(3, 2), B(3, 6) AB 8
综上：直线l的方程分别为 4x 3y 21 0 或 x 3 0
总结：
求直线与圆相交时的弦长——三种方法
截得的弦长为8，求直线l的方程。 当直线斜率存在时
解：设直线l的方程为 y 3 k(x 3)
r2
d2
l 2
2
即 kx y 3k 3 0
y
易得圆心为（0，-2），半径为5
可得弦心距为：
d
r2
l 2
2
52 42 3
M. .O
x
2 3k 3
d
3
k 4
1 k2
3
即直线l的方程为 4x 3y 21 0
例1、已知直线 l : 3x y 6 0和圆心为C的
圆: x2 y2 2x 4 y 0 ，求直线被圆截得的弦长。
分析： 联立方程组求交点坐标
两点间的距离公式 AB 解法一：
y (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
联立
3x y 6 0
x2 y2 2x 4y 0
A(2, 0), B(3,3)
l
C. B
即 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(3 2)2 (3 0)2 10
O
A
x
设直线 l 与圆C的交点为 A(x1, y1), B(x2, y2 )
当直线方程为： y kx b
y
即 y1 kx1 b, y2 kx2 b 代入得：
即 AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2