广东省学业水平考试数学模拟题一

广东省学业水平考试数学模拟题一学业水平考试模拟测试卷（一）（时间：90分钟满分100分）一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=1﹣2i，是z的共轭复数，则复平面内复数z•﹣i对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z=1﹣2i，∴z•﹣i=|z|2﹣i=5﹣i，则复平面内复数z•﹣i对应的点为（5，﹣1），所在象限为第四象限角．故选：D．2. 数轴上到A（1），B（2）两点距离之和等于1的点的集合为（）A．{0，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{x|1≤x≤2}【解答】解：如图所示：∵|AB|=1∴到A（1），B（2）两点距离之和等于1的点的集合为线段AB∴点的集合为{x|1≤x≤2}故选D．3. 函数f（x）=的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）【解答】解：；∴f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到；而y=的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1），（1，+∞）．故选C．4 如果圆C：（x﹣a）2+（y﹣3）2=5的一条切线的方程为y=2x，那么a的值为（）A．4或1 B．﹣1或4 C．1或﹣4 D．﹣1或﹣4【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==，∴a=﹣1或4，故选B．5 下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2 C．y=logx3 D．y=（）x【解答】解：y=sinx为周期是2π的周期函数，在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=﹣x2在（0，+∞）上单调递减，故排除B；x 在（0，+∞）上单调递减，故排除D；y=log3在（0，+∞）上单调递增，故选C．6 设向量=（x﹣1，1），=（3，x+1），则与一定不是（）A．平行向量B．垂直向量C．相等向量D．相反向量【解答】解：由向量=（x﹣1，1），=（3，x+1），假设=，则，无解，∴．故选：C．7 若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【解答】解：由题意a、b是任意实数，且a＞b，由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；由于当a=0时，无意义，故B不对；由于0＜a﹣b＜1是存在的，故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不对；由于函数y=是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．综上，D选项是正确选项。

故选D8 已知sin（x﹣）=，则sin2x的值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵sin（x﹣）=（sinx﹣cosx）=，∴sinx﹣cosx=，两边平方得：（sinx﹣cosx）2=sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=1﹣sin2x=，则sin2x=．故选B9 若实数x、y满足则的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，2） C．（2，+∞）D．[，+∞）【解答】解：不等式组，当取得点（2，3）时，取得最小值为，所以答案为[，+∞），故选D．10 ．等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析： ∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4又∵a 1＝13，∴d ＝23∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)23＝33∴n ＝50.故选C.答案： C11 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )．A.72 B ．4 C.92D ．5 解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2 b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＋b ＝2b a ＝4a b a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C.答案 C 12 已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.答案 C 13 同时抛掷三枚均匀的硬币，出现均为正面的概率是( )．A.18B.38C.78D.58解析 同时抛掷三枚均匀的硬币，基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，…，(反，反，反)共8个，而出现均为正面的事件为(正，正，正)．故其概率为18. 答案 A14 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )．A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析 a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2＜3.答案 A15 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )．A ．14B ．16C ．17D ．19解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16.答案 B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析由已知得抽样比为624＝14，∴丙组中应抽取的城市数为8×14＝2.答案 217 某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析根据样本的频率分布直方图，成绩小于60分的学生的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.20，所以可推测3 000名学生中成绩小于60分的人数为600名．答案60018若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析由题可设斜率存在的切线的方程为y－1 2＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2k x －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x＋4y －5＝0，求得切点A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y24＝1.答案 x 25＋y 24＝119 已知向量m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx )，其中ω＞0.设函数f (x )＝m ·n ，且函数f (x )的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 ∵m ＝(cos ωx ＋sin ωx, 3cos ωx )， n ＝(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx )，∴f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π6.∵函数f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2ω＝π，ω＝1.答案 1三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 20．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，又0°＜B ＜180°，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64.故a ＝b ·sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ·sin C sin B ＝2·sin 60°sin 45°＝ 6.21．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明 (1)如图，连结AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N为PC中点，∴AN＝12PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝12PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB ∥CD，∴MN⊥CD.(2)连结PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.。