复变函数的应用以及发展史

复变函数的应用以及发展史

樊军华 2009100009

铜仁学院数学与计算机科学系10数本（2）班

摘要： 1.复变函数的简介

2.复变函数在本专业中的应用

3.复变函数的发展过程

关键词：复变函数应用历史发展

正文：

论复变函数的应用以及发展史

1. 复变函数的简介

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显着的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

2．复变函数的应用

近代还有些函数论研究工作不再是考虑个别的函数，而是把具有某种性质的一族函数合在一起研究。事实上，P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威力。从这种观点出发的研究有了很大发展。例如Hp 空间，它与其他数学分支产生了较密切的联系。复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析。但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具（见多复变函数论）。

从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响。现如今，复变函数论中仍有不少尚待研究的课题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空

力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分。它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。

3．复变函数的历史发展过程

复数的概念源于求解方程组的根。早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生复数开平方的思想。17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。复变函数论产生于18世纪，由欧拉作出。复变函数论的全面发展在19世纪。到了20世纪，复变函数被广泛应用于理论物理，弹性物理，天体力学等方面。同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，均已达到当时的国际水平。

多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。但真正标志着多复变函数论这一学科创立的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库辛、F.M.哈托格斯等人的工作。他们的研究揭示了多复变全纯函数本质上的独特性。在这当中，库辛提出的关于全纯函数整体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的一个推动因素。20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析自同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要工作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。这一时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质以及全纯域与全纯凸的等价性的嘉当－苏伦定理等突出成果。特别是从1936年开始，日本数学家□□对库辛问题、列维问题、逼近问题等多复变的中心问题进行了长期、系统而富有成效的研究，终于在50年代对上述诸问题给出了解答。他的这一系列工作对以后年代的多复变的发展有着重大的影响。

50年代以后，和近代数学的综合化、抽象化的总潮流相一致，在多复变函数论中用拓扑方法和几何方法研究全纯函数的整体性质的趋势变得越来越明显。由J.勒雷引进拓扑学的层及其上同调的概念被迅速而成功地用于多复变。这一概念和H.嘉当早先关于全纯函数理想论的研究以及□□的思想结合，导致了凝聚解析层理论的建立。与此同时，复空间和施泰因流形的概念也应运而生。H.嘉当和J.P.塞尔系统地应用凝聚层理论建立了施泰因流形的基本定理。此后不久，H.格劳尔特解决了复流形的列维问题，他和R.雷默特、施泰因等人还大大发展了复空间的理论。整个50年代无疑是多复变发展的黄金时代。

在19世纪复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。，20世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。

参考文献：

沈慧川 Dirac-pauli表象的复变函数理论及其在流体力学中的应用（1）

凯利 1809——1810，《论空中航行》

张楚廷 1983，复变函数学习指导，湖南科学技术出版社。