第7讲 分数与循环小数的互化

第7讲 分数与循环小数的互化

【知识概述】

1．分数化为小数

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。

基本方法：分子除以分母。

2．循环小数化为分数

（1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。

（2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。

【典型例题】

例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1)115 （2）27

16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11

5..54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2）

=2716..295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9

例2 将下列循环小数化成分数。

①=•

70. ②=••86.1 ③=••54370. ④=•

•57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数

解：（1） =•

70.9

7 （2） =••86.199681

（3） =•

•54370.9999

7435 （4） 332539975357.3==•• 例3 计算：0.•1•1+0.•2•1+0.•3•1+ 0.•4•1 +0.•5•1+0.•6•1+0.•7•1+0.•8•1+0.•9•

1

【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式99

9199819971996199519941993199219911++++++++=

99

918171615141312111++++++++= 11

51= 1174=

例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大：

（1）••1871822. （2）•

•62514913.

【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大，将原数改写成：

182818181.72187182.2=•

• 11828128128.72182718.2=••

2811828182818.72128871.2=••

很显然••128871.2是最大的

解：（1）••128871.2 （2）•

•6152914.3

例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =••950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将••950A .化成分数，就有

444a =999

9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999

9A 5

5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18

所以 A ＝4 444244411146111161999549444=⨯⨯===a 即有a ＝244

例6 真分数

7

a 化成分数后，在小数点后1994个数位上的数字和为8972，求a 为多少？ 【思路点拨】由于 ••=742851.071、 ••=485712.072、 ••=128574.073、 ••=857142.074、••=514287.075、 ••=257148.076， 分母是7的所有真分数都是化成循环小数，且循环节的数字相同。每个循环节各个数字之和都是27，在运用周期问题解决。

解：由于分母是7的所有真分数都是化成循环小数，且循环节的数字相同。

1＋4＋2＋8＋5＋7＝27

8972÷27＝332 (8)

真分数7

a 化成分数后，小数部分循环节有332个，还余8。（是7＋1或是8） A 可能是5或是6

【我能行】

1．把下列各分数化为循环小数，并求出小数点后第100位上的数字。

（1）134 （2） 22

3 （3）27548 （4）901 （5）133 （6）3300

167 2．将下列循环小数化成分数。

=•50.

=••570. =••246.2 =•310.

3．计算：0.1•2＋0.2•3＋0.3•4＋0.4•5＋0.5•6＋0.6•7＋0.7•8＋0.8•

9

4. 设a 为一个自然数，a 是1至9中一个数字，若444a =••7A 30.,则a= .

5．小马虎写了一个不等式，但是小马虎把四个循环小数中表示循环节的循环点都写丢了。请你帮他补上，使得不等式成立：

0.19980.19980.19980.1998>>>

6．已知7

1=0.•14285•7，问：最少从小数点右面第几位开始，到第几位为止的数字之和等于2000？

【我试试】

1．计算（乘除法）

（1）•••⨯46.07.0

（2）0.••••÷54.089 2. 真分数

7

a 化成小数后，在小数点后 个数位上的数字之和为8969，求a = 。

3．给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。