人教版九年级数学比例线段
新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例
一、相似三角形
相似三角形 相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH
.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以 所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
人教版九年级下册数学：第27章 总第2课时 27.1.2《成比例线段》
(4)若四条线段满足;,则有ad=bc。
典例精析
【例1】.一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，
那么长与宽的比是多少？
a:b=5：3 或 a 5
b3
a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比
是多少？
a:b=5：3
或a 5 b3
b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的
★★★★课堂练习 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
相似，由已知条件可知它们的角分别 相等，边成比例.
合作探究 知识点3 相似多边形性质的应用
由相似多边形的性质可知，相似多边 形的对应角相等，对应边成比例。
典例精析
【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，
β的大小和EH的长度x.
总第2课时
情景 引入
合作 探究
课堂 练习
归纳 小结
达标 测试
学习目标
1
理解比例线段的概念。
2
会根据相似多边形的特征识别两
个多边形是否相似，并会运用其性质
进行有关的计算。
复习回顾
1.形状相同的图形叫做相似图形。 注意:相似图形的大小不一定相同;
全等图形是相似图形的特殊情况。 2.图形的相似具有传递性。 3.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一 个图形放大或缩小得到。即:利用相似放大或缩小 图形。
DE= DF2 EF2 22 1.52 =2.5 ∵ AB BC AC
DE EF DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F=90° ∴△ABC与△DEF相似.
1 两个边数相同的多边形，如果它们的角对 应相等，边成比例，那么这两个多边形相似。
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析人教版九年级数学下册第27.2.1节《平行线分线段成比例》是初中数学的重要内容，主要讲述了在两平行线之间，如果一条直线截取了这两条平行线之间的线段，那么被截得的线段长度之比等于这两条平行线之间的距离之比。
这部分内容是学生学习几何中的重要基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平行线、线段等概念有一定的理解。
但是，对于如何运用这些基础知识来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线分线段成比例的定理及应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定理及应用。
2.难点：如何灵活运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究、发现规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。
2.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或图片，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
例如，展示两栋楼之间的道路，让学生观察道路两侧的树木是否按照一定的比例生长。
2.呈现（10分钟）讲解平行线分线段成比例的定理，并通过几何图形进行展示。
引导学生理解定理的含义，并学会如何运用定理。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固对平行线分线段成比例定理的理解。
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容，本节课主要介绍了平行线分线段成比例的定理及其应用。
教材通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
紧接着，教材引导学生通过观察、思考、探索，发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
最后，教材提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平行线、线段等概念有一定的了解。
但是，对于平行线分线段成比例的定理及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生建立知识间的联系，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能运用定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及其应用。
2.教学难点：平行线分线段成比例定理的发现和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解平行线分线段成比例的定理。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：学生进行观察、思考、探索，引导学生发现平行线分线段成比例的规律，进而得出定理。
3.讲解与演示：对平行线分线段成比例的定理进行详细讲解，利用多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生理解定理。
数学人教版九年级下册线段的比,比例线段
＝、＝、＝、＝、＝。
（3）如果式子 ＝ 中，有 ＝ ，则式子变形为 ＝，两边同时乘以，则得到，则 叫做比例中项。
例3判断下列线段是否成比例：
（1） ＝2、 ＝3、 ＝4、 ＝1；
（2） ＝20 、 ＝10 、 ＝20 、 ＝40 ；
（3） ＝ 、 ＝3、 ＝2、 ＝ ；
例6（1）已知 ＝ ，求 ；
（2）已知 ，且 ，求 、 、 的值。
例7已知： ＝ ，求证： ＝ 。
【做一做】（1）已知： ，求证： . A
B C
D E
〖变式〗已知： ，求证：AB·CE＝BD·AC.
C B
A
（2）已知：AB·CE＝AC·BD，求证： .
D E
二次备课
例4填空：
（1）已知 、 、 、 是成比列线段，其中 ＝12 、 ＝9 、 ＝6 ，
则 ＝。
（2）已知数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数是。
（3）已知三个数1、2、 ，请你添加一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是
。
例5如图，已知AB＝1，AC＝ ，求证： .
C
A B
二、探索新知
1、线段的比：
在长度单位下，两条线段叫作这两条线段的比。
（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段 、 的长度分别
是 、 ，那么两条线段的比
∶ ＝或 ＝ ；
（2）其中 、 分别叫做这个线段比的和；
（3）如果把 表示成比值 ，那么 ＝ ，则 ＝， ＝。
（4）两条线段的比有顺序，除 ＝ 外， ∶ ≠ ∶ ，但 ∶ 与 ∶ 互为。
（2）小刚身高1.7米，测得他站立在阳光下的影子长为0.85米，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1米，求小刚举起的手臂超过头顶多少米？
人教版九年级数学比例线段
1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交DF 于K ，求KFDK的值。
2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ，交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。
求证：PN PF PM PE ⋅=⋅。
答案：一、填空题：1、32，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题：1、31； 2、证明PMPNPF PE =即可；课后作业一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。
2． 已知x y 52=，则y x :=______________。
3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则=+-++zy x zy x 2 。
5． =++===++222,753,10z y x zy x z y x 则且若 。
6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。
7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则EC= 。
8． 若==+yxy y x 则,38 。
9、若()0753≠==a c b a ，则ac b a ++=_________二、选择题： 1．如果32=b a ，则b ba +等于（ ） （A ）l 31 （B ）21（C ）53 （D ）352．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ）(A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c3．已知32==d c b a ，且d b ≠，则db ca --=（ ） （A ）32 （B ）52（C ）53 （D ）514．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ）（A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）65．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=21 6．已知0754≠==zy x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ）43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）167=++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。
九年级成比例线段知识点
九年级成比例线段知识点成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。
本文将对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。
一、成比例线段的定义成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。
即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有AB/CD=常数k。
二、成比例线段的特性1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。
定比分点的特性是，若M是AB的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。
2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。
若已知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。
3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。
三、成比例线段的性质和定理1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。
2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。
3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得的各对共线点所构成的线段成比例。
四、成比例线段的应用成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。
求点M在铁丝上的位置。
解：设点M在铁丝上的位置离离起点距离为x cm，则根据定比分点的特性可知，x/9=(10-x)/1，解得x=0.9cm。
所以点M在铁丝上的位置离起点0.9cm处。
例2：已知线段AB和线段CD成比例，且AB=6cm，CD=15cm，在线段AB上取一点E，使得AE/EB=1/3，求线段CE 的长度。
人教版数学九年级下册第二十七章27.1.1相似图形及成比例的线段课件
速找到比例关系，可首先对数据按大小排序，以减少试验
的次数.A中的 1 4
36
们不成比例；C中的
，0 .它1 们0不.3 成，比它例们；不B成中比的例；00 ..28D中13的20 ，，它
0.2 0.4
它们成比例.故选D.
新知小结
判断线段是否成比例，其基本方法是先排序，后求 比值，再看比值是否相等.
10．(2020·湘潭)若xy＝37，则x－x y＝___47_____.
11．(中考·白银)已知a2＝b3(a≠0，b≠0)，下列变形错．误．的是( B )
A．ab＝23 C．ba＝32
B．2a＝3b D．3a＝2b
*12.(2019·雅安)若 a∶b＝3∶4，且 a＋b＝14，则 2a－b 的值是
令x=4k，y=5k ，则 xy4k5kk1.
xy 4k5k 9k 9
新知小结
利用比例的性质求代数式值的方法：当一个题中 出现多个未知数时，常巧用“消元法”求代数式的值； 当条件中出现多个比值相等时，用“中间量法”巧设出 比值是首选的方法．
巩固新知
1
(中考·东营)若 y x
3 4
，则 x
x
y
பைடு நூலகம்
的值为(
D)
A．1
4 B. 7
5
7
C. 4
D. 4
2 【中考·牡丹江】若x：y＝1：3，2y＝3z，
则
2 x＋ y z－ y
的值是(
A)
A．－5
B． 1 0 3
C. 1 0
3
D．5
3 【中考·兰州】如果 a ＝ c ＝ e ＝k (b＋d＋f≠0)，
人教版九年级数学课件《平行线分线段成比例》
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，
l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得
AB
DE
的两条线段DE，EF的长度，BC 与 EF 相等吗？
AB
任意平移l5(3或4)，BC
DE
与 EF
还相等吗？
人教版数学九年级下册
知识精讲
可以发现，当l3∥l4∥l5时，有 AB DE
长线)，所得的对应线段成比例.
人教版数学九年级下册
针对练习
1.如图，DE∥BC， AE 2 ，则
则
AF
AB =____.
AC
5
AD
AB
AG
=____；FG∥BC，
2 ，
CG
2.如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= 7.5 ；
FG∥BC，AF=4.5，则AG= 6 .
关证明. (重点、难点)
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并
进行证明和计算. (重点、难中的四条线段成比例的是( A )
A.1cm，3cm，20cm，60cm
B.2cm，4cm，3cm，9cm
C.5cm，10cm，6cm，15cm
知识精讲
人教版数学九年级下册
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
AB
BC
CA
k
A B
BC
C A
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说
人教版数学九年级下册 平行线分线段成比例
练一练
如图，DE∥BC， AE 2，则 AD
AC 5 2 AB
若 FG∥BC，AG 2，则 AF
CG
AB
3.
2 5；
ED
A
F
G
B
C
典例精析
例 如图，在△ABC中，EF∥BC.
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7，
FC = 4，那么 AF 的长是多少？
D. AE BD BF AC
A
B l1
C
D l2
E
F
l3
平行线分线段成比例的推论
观察与思考
如图，直线 l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例的 基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成
比例？
A1
B1
a
A2
B2 b
A3
B3 c
m
n
A1( )
l1 l2
A
D
l3
B
E
l4
相等吗？
C
F
l5
(2) 任意平移 l5，重复上述操作，度量 AB，BC，DE， EF，同（1）中计算，它们还相等吗？
l1 l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若 l3∥l4∥l5，
3
3
A
E
FBΒιβλιοθήκη C练一练由 AD AE,可得到 CE 的长 BD CE
九年级数学上册课件：成比例线段
Q′ P′
B´
A´ （2）
一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段PQ，
P′Q′的长度分别为m，n，那么把长度的比
线段PQ与P′Q′的比，记作
PQ P'Q'
m n
，或PQ：P' Q'
m:n
叫m作这两条
n
其中PQ，P'Q'分别叫作比的前项、后项，如果
m n
的
比值为k，那么也可写成
PQ k，或 PQ k P'Q'
解法2：由
，得
.
∴
, a 4.
b
二 等比性质
例3：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 a c e（b+d+f≠0）,
bd f
那么 a c e a 成立吗？为什么？
bd f b
解：设
,则
a = kb, c = kd , e= kf .
所以 a c e kb kd kf k a .
bd f bd f
b
如果 a c .... m (b d ... n 0)，那么 a c ... m b .
bd
n
b d ... n a
例4：在△ABC与△DEF中，已知 AB BC CA 3 ，且
DE EF FD 4
△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵ AB BC CA 3 ,
一 线段的比和成比例线段
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
m
n
A
B
C
D
人教版九年级数学--平行线分线段成比例定理
BC EF 下 下
C
F
l3
AB = DE AB DE AC = DF
上=上 上上 全 =全
形象记忆
BC EF AC = DF
下下 全 =全
AB BC DE = EF
左左 右=右
....
....
平行线分线段成比例定理的推论：平行于 三角形一边的直线截其它两边（或两边的 延长线），所得对应线段成比例。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
问题 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？
A B C
l4
D N
O l5
M
l1
E l2
F l3
l6
问题
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD = AE A
AB AC
过E作EF//AB交BC于F 则 AE = BF
AC BC
D
E
∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF
\ AE = DE AC BC
\ AD = AE = DE AB AC BC
那么在其他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1
A
l1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l2 B l3 C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1
A1
E
3
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例？线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法：设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法：我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质：设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质：如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
人教版九年级数学下册《比例线段》PPT
请观察下面几组图片
• 大小不同的两个足球
• 汽车和它的但是形 状相同。
1、相似图形的概念：
形状相同的图形叫做相似图形。
注意：相似图形的大小不一定相同。 全等图形是相似图形的特殊情况。
观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸⑹
（7）
（8）
？ （9）
（10） （11）
（12）
（13）
（14）
观察下面的图形(a)~(g),其中哪些 是与图形(1)、(2)或（3）相似的？
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同 镜像，它们相似吗？
放大镜下的图形和 原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原图 形中角是什么关系?
思考
符号语言（以四边形为例）：
∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′
AB BC CD DA AB BC CD DA
A A,B B,C C,D D （相似多边形的对应边长度之比相等，对应角相等）
2、两个相似多边形对应边的长度比也叫 做这两个多边形的相似比.
3、如果两个边数相同的多边形对应边的 长度比相等，对应角相等，那么这两 个多边形相似.
下列两个相似图形，它们的对应角、对 应边有怎样的关系？
（1）等边三角形ABC相似于等边三角形DEF；
D
A
B
C
E
F
（1）
思考
（2）矩形ABCD相似于矩形EFGH.
E
H
A
D
B
C
F
G
（2）
探索
看看图中两个相似的五边形，是否 与你观察所得到的结果一样？
归纳总结：
1.相似多边形的特征：
比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=． 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：;a cad bc b d=⇔=（1）2;a bb ac b c=⇔=（2）几个重要的比例定理：a c a bb dc d=⇔=更比定理：a cb db d a c=⇔=反比定理：a c abc db d b d++=⇔=合比定理：--a c a b c db d b d=⇔=分比定理：...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c eb d f b d f +++=++≠++等比定理：=a c a mcb d b md ±=±等比定理：【典型例题】 类型一、线段的比1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．(1)求A B AB ''和B C BC''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？【答案】(1)12，12(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入A B AB ''和B C BC''，即可求得结果； （2）根据A B AB ''和B C BC''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．∵A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12；∵A B AB ''＝B C BC''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若x y =115，求代数式2x yy -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b ca b c -+-+的值．【答案】（1） 15 （2） 14【分析】（1）先把原式化为115x y =，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解． 解：（1）∵x y =115， ∵115x y =， ∵1122155y yx y y y --==；（2）设2a =3b =5c=k ，则2,3,5a k b k c k ===，∵23a b ca b c -+-+=2354122335164k k k k k k k k -+==⨯-+⨯． 【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ． 【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．【答案】56AB EF =，52AC DF ， 【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC 22AB BC =+=2cm ， 则105126AB EF ==， 10252ACDF ==【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．类型二、比例的性质2．已知a b c +＝b c a +＝c ab+＝x ，求x 的值．【答案】1-或2【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可． 解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，此时，x ＝-1， 若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c axc a b a b c，综上所述，x 的值为-1或2．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值． 【答案】24【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．解：∵a ：b ：c =2：3：4，∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15， 解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5c a +，求a b cc a b ---+的值．【答案】－1 【分析】设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k代入a b cc a b---+中进行分式的化简求值即可．解：设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ， 则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ， 三式相加得a +b +c =6k ∵用∵式分别减去上述三个式子，可得出 解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ， 所以a b c c a b ---+＝2332k k kk k k---+＝－1．【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．类型三、比例中项3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值． 【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝6． 【分析】（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）:3:2a b =∴设3a k =，2b k =，228a b +=，3428k k ∴+=，4k ∴=，12a ∴=，8b =；（2）x 是:a b 的比例中项，296x ab ∴==， x 是线段，0x >，46x ∴=【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438324a b c +++==，且12a b c ++=． （1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ． 【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）15x =【分析】 （1）根据438324a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值； （2）根据比例中项的性质求解即可． 解：（1）∵438324a b c +++==，且12a b c ++=， ∵438438151215332432499a b c ab c a b c ，∵433a +=，332b ，834c ，∵5a =，3b =，4c =，（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∵25315x ab，∵15x =【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.【答案】线段c 的长为7cm ．【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∵ab =c 2，∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=， ∵c 7cm ．故线段c 的长为7cm ．【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．类型四、成比例线段4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．2cm 2cm 、2 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，122时，212x =2x =； ∵若四条线段的长度大小为： 1，x 22212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12x ，2212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12，2 ，x 时，122x ⨯=22x = 2cm 2或2． 【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AEDB EC=，求AD 的长．【答案】72cm 11AD =． 【分析】利用比例线段得到6125AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．解：AD AE BD EC=，即AD AEAB AD EC =-，∴6125AD AD =-，7211AD ∴=cm ． 【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且32AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．【答案】24 【分析】根据AP AQ BP BQ =＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵AQ BQ ＝32，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ， ∵1032y y +=， 解得y ＝20，∵PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．。
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二、导学
精典例题：
【 例 1】已知 x y z 0 ，那么 x y z ＝
34 5
xyz
。答案： 1 3
1. 变式 ：已知 x : y : z 2 : 1: 3 ，求 2x y 3z 的值。 x 2y
答案： 3
2．（ 2012 北京）已知 a 2
b
5a 2b
≠ 0 ，求代数式 3
a2
4b2
a
2b 的值． 答案： 1
AC
在三角形相似，现在 B、D、 C在同一条直线上，△ ABD与△ ADC不相似，需要考虑用
别的方法换比。我们注意到在比例式
BD AB
中， AC 恰好是 BD、 DC、 AB 的第四
DC AC
比例项，所以考虑过 C 作 CE∥ AD交 BA的延长线于 E，从而得到 BD、 CD、AB的第四
比例项 AE，这样，证明 BD DC
35
答案： cm
9
三、精讲点拔
本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例
定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类Leabharlann 求解题。四、学习小结
五、当堂检测（拓展延伸）
六、课后作业（分为必做，选做题）
一、填空题：
1、若 2m n n
则x ＝
1 ，则 m ＝ 3n
）
A、 DE＝ 1，BC＝ 7
B
、 DE＝ 2，BC＝ 6
C、 DE＝ 3，BC＝ 5
D
、 DE＝ 2，BC＝ 8
3、如图， BD、CE是△ ABC的中线， P、Q分别是 BD、 CE的中点，则 PQ∶ BC＝（ ）
A 、1∶3
B
、 1∶ 4
C
、 1∶ 5
D
、 1∶ 6
4、如图， l 1 ∥ l 2 ， AF
例 2图2
G
例 2图 3
【 例 3】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
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三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这
个角的两边对应成比例。如图，△
ABC中， AD是角平分线。求证： BD DC
AB
。
AC
分析： 要证 BD DC
AB
，一般只要证 BD、 DC与 AB、 AC或 BD、 AB与 DC、 AC所
，y＝
；若 x : y : z 2 : 4 : 7 ，且 3x y 2z 32 ，
， z＝
。
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xy
2、若
yz
x z k ，则 k ＝
。
z
x
y
3、已知数 3： x=x:6 ，则这个数 x 是
。
4、如图，在 □ ABCD中， E 为 BC上一点， BE∶ EC＝ 2∶ 3，AE 交 BD于点 F，则 BF∶
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九年级数学学案
课题 比例线段
主备人
课时
时间
学习 1. 理解线段成比例及有关概念的意义 . 目标 2. 掌握比例基本性质及运用 .
3. 理解平行线分线段成比例定理并会应用。
重点 线段成比例、比例基本性质及平行线分线段成比例定理运用
.
导学 师生活动
过程
一、导入
知识梳理
1. 线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段
二、选择题： CBBB
三、解答题：
1、 1 ； 3
PE
2、证明
PF
PN
即可；
PM
3 2 4 、 2∶ 5；
课后 作业
A、 5
B
3
2 FB ， BC＝ 4CD，若 AE kEC ，则 k ＝（ ）
5
、2
C
、5
2
D
、4
A
E
D
PQ
B
C
选择第 3 题图
GA
l1
F E
B
C D l2
选择第 4 题图
A
D K
E
B
F
H
C
解答第 1 题图
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三、解答题： 1、已知如图， AD＝ DE＝ EC，且 AB∥ DF∥ EH， AH交
段 a、 b、 c、d，如果 或 a：b=c： d，那么 a、 b、 c、 d 叫做成比例的项，线段 a、 d
叫做比例外项，线段 b、d 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、 b、 c 的第四比例项。
3. 比例基本性质：如果 a： b=c： d，那么 ad=bc ；反之亦成立。
4．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
a、 b 的长度分别为 m、 n，
那么就说这两条线段的比是 a： b=m： n，或写成 a = m ，和数的一样，两条线段的比 bn
a、 b 中， a 叫做比的前项 b 叫做比的后项． 2. 线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于
另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线
DF于 K，求 DK 的值。 KF
2、如图， □ ABCD中， EF交 AB的延长线于 E， 交 BC于 M，交 AC于 P，交 AD于 N，交 CD的延
长线于 F。求证： PE PM PF PN 。
E
B
M
C
P
A
N
D
F
解答第 2 题图
答案：
一、填空题：
1、 2 ， 4， 8， 14； 2、2 或－ 1； 3、 3
AB
就可以转化为证
AC
证明： 过 C 作 CE∥ AD交 BA 的延长线于 E
AE＝ AC。
学后 反思 达标 检测
CE ∥AD
12 23 1E
∠ E＝∠ 3
E A 12
AE＝ AC
3
CE ∥AD BD AB DC AE
∴ BD AB DC AC
B
D
C
问题图
（ 1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）
FD＝
。
二、选择题：
1、已知如图， AB∥ CD， AD与 BC相交于点 O，则下列比例式中正确的是（
）
A 、 AB OA CD AD
OA OB
B、
OD BC
AB OB
C、
CD OC
BC OB
D、
AD OD
A
B
O
A
D
F
C
D
选择第 1 题图
B
E
C
填空第 4 题图
A
D
E
F
G
B
C
选择第 2 题图
2、如图，在△ ABC中， AD＝ DF＝FB， AE＝EG＝ GC，FG＝ 4，则（
2
【 例 2】如图，在△ ABC中，点 E、 F 分别在 AB、 AC上，且 AE＝ AF， EF 的延长 线交 BC的延长线于点 D。在下面的三个图形中任选一个探究： 是否存在 CD∶ BD等于 CF∶ BE。若存在请证明，若不存在请说明理由。
A
A
E F G
A
E F
G
E F
B
C
D
B
C
D
B
C
D
例2图 1
；
（ 2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个
填入后面的括号内（
）
①数形结合思想
②转化思想
③分类讨论思想
答案： ②转化思想
（ 3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知
AD是△ ABC中∠ BAC的角平
分线， AB＝ 5 cm， AC＝ 4 cm， BC＝ 7 cm，求 BD的长。