人教版八年级上册数学 等腰三角形的判定

例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的
平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
A
E OF
B
C
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO. ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF=OF， ∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
一 等腰三角形的判定
互动探究 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警， 当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能 不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
A
B
C
建立数学模型： 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC
有什么数量关系? A
7.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D. 求证：BC＝CD.
证明：连接BD. ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB. ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB， 即∠DBC=∠BDC， ∴BC=CD.
8.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了， 只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的 等腰三角形画出来？
做一做：画一个△ABC，其中
∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC B
C
的长度，它们之间有什么数量关系，
AB=AC
你能得出什么结论？
你能验证你的结论吗？
证明： 过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD，
A
∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD，
12
B
C
D
∴ △ABD ≌ △ACD.
若AB≠AC，其他A条件不
变，图中还有等腰三角 形吗？E结论还成O立吗F？
B
C
方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是 通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想， 解决问题.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别
是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有
(A ) A．5个
B．4个 C．3个
D．2个
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍. 这个三角形是（ C ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存 在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有 （D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∴∠ADB=∠DBC.
A
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
B
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
D C
变式训练 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
是 由折叠可知， ∠EBD=∠CBD.
A E
∵AD∥BC， ∴∠EDB=∠CBD，
求证：AB=AC．
E
A1 2D
B
C
典例精析
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）．
B
E A1
2D
C
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
证明：∵ ADwk.baidu.comBC，
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和 计算.（难点）
情境引入 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水
涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办 法把原来的等腰三角形画出来？
∴∠EDB=∠EBD，
B
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
D C
练一练：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（ B ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若
交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为__9___.
6.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正 北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°， ∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
C
80° N 北
B 40°
A
解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°- 40°= 40°， ∴ ∠C = ∠A， ∴ BA=BC（等角对等边）. ∵AB=20×（12-10）=40(海里), ∴BC=40海里. 答：B处距离灯塔C40海里.
3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C，
A
∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的
一边相交得到顶点A． 方法3：对折．
B
C
等角对等边
注意是指同一个三角形中
等腰三角形 的判定
定义
有两边相等的三角形是等 腰三角形
OD＝3cm，则CD等于__3_c_m___.
例3 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等 腰三角形.
a
h
作法：1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB
于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
C
M
A
DB
N
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是 ∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重 要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一 个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不 一定成立．
b
1
O
A
a
4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_3_6_°__，
∠BDC=__7_2_°_，图中的等腰三角形有__△__A_B_C_、__△__D__B_A_、_△__B__C_D__.
A
第4题图
D
B
C
第5题图
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A
C
12
D
1
A2
B
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∵∠1=∠2,
∴ BD=DC
∴ DC=BC
（等角对等边）.
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
典例精析 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
∴AB=AC.
△ABC是等腰
三角形.
知识要点
这又是一个判定两条线段
等腰三角形的判定方法
相等的根据之一.
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成
“等角对等边”）.
应用格式：
A
在△ABC中，
∵∠B=∠C， ( 已知 )
∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
即△ABC为等腰三角形.