1.解析几何——难点突破——离心率专题

解析几何——难点突破——离心率专题

离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．

[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C

：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左焦

点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )

[思路点拨]

本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．

[方法演示] 法一：数形结合法

如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE

的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y 2m

＝1，因此点M 的坐标为－c ，

2m

a －c

a

. 又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，

即

2m a －c a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1

3

. 法二：交点法

同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋y

m

＝1.又因为直线AE 与直

线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧

－c －a ＋n 2m ＝1，

－c a ＋n

m ＝1，消去n ，解得c a ＝1

3

，

所以椭圆C 的离心率为1

3

.

法三：三点共线法

同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y

2m ＝1，由题意可知M ⎝ ⎛

⎭⎪⎫

－c ，2m ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)

三点共线，则2m ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

1－c a －m －c ＝m －a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13

.

法四：方程法

设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝m

a －c (x ＋a )，所以E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程

为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1

3

.

法五：几何法

在△AOE 中，MF ∥OE ，所以

MF OE ＝a －c

a . 在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE

2

MF ＝

a

a ＋c

，即OE MF ＝

2a

a ＋c

.

所以

MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13

. [答案] A [解题师说]

1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.

想 求得离心率．由于椭圆(双曲线)的元素a ，b ，c 在图形、方程中具有一定的几何意义，所以通常可借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题.

2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．

[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．

[应用体验]

1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝

π

3

，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) C ．3

D ．2

解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1

e 2＝

2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，2π3，

由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ，

所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝43

3，当且仅当

sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝

π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是43

3

. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)

到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥4

5c ，则双曲线离心率的取值范围为

__________．

解析：设直线l 的方程为x a ＋y b

＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝

b a －1a 2＋b 2＋b a ＋1a 2＋b

2

＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2

，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2

≤5，52≤e ≤ 5.

故双曲线离心率的取值范围为

5

2

， 5.