三角恒等变换学案

必修4第三章三角恒等变换 3．1．1 两角差的余弦公式

【学习目标】

1．能用向量法推导两角差的余弦公式，并能说出该公式的结构特征． 2．会用两角差的余弦公式进行简单的求值、化简、证明．

3．通过公式的推导，体会向量这一工具的作用和价值．通过公式的运用，体会化归思想在数学中的应用．

【学习重点】两角差的余弦公式的推导与运用． 【难点提示】两角差的余弦公式的证明.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材124127P -结合进行自主学习（对教材中的文字、

图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、学习准备

前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：

1.什么叫单位圆？你能做出任意角α的正弦线、余弦线吗？

2.几组诱导公式的的口诀是 ，它有几层含义？

3.同角三角函数关系式为 、 ，它们各有哪些特征？

在运用是应注意一些什么问题？

热身练习 1.计算下列各组式的值：(1)cos30cos(6030)__,cos60cos30__,=--=

(2)cos90cos(6030)__,cos60cos30__,=++=(3)cos60cos30sin60sin30- (4)cos60cos30sin60sin30-.

解后反思 大家知道306030=-，那么cos(6030)cos60cos30-=-成立吗？

906030=+，那么cos90cos(6030)cos60cos30=+=+成立吗？如果不成立，

观察上面的练习，大胆的猜想cos()__________αβ-=，cos()__________αβ+=. 这就是本节课要探究的问题？ 二．学习探究

生活情境 请同学们认真阅读教材P124页中的生活实例，你会从该实例说明生活中需要求解任意两角的和与差的正弦、余弦、正切值.

在“学习准备”的热身练习与反思，我们已经大胆猜想了任意两角差的余弦展开式为：

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，我们的猜想是否正不正确呢？请同学们发挥想象，

作出判定与决策！如果不正确，请找出反例；若正确，请给出证明过程.

证法1：

证法2：

快乐体验 1.教材P126页例1和P127页练习的1、2题

2.化简下列各式：（1）cos150cos1050+ sin150sin1050

=

（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°= ；（3）020215sin 15cos -= ；

（4）sin(x ＋y)sin(x －y)＋cos(x ＋y)cos(x －y)= ．

同学们通过生活情境、猜想、证明、体验，对两角差的余弦公式有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？

挖掘拓展 1.该公式的两种证明方法都掌握了吗？那个方法更简单？为什么？方法2中，为什么要用两个图？为什么不直接写成θ=βα-？而讨论Z k k ∈±=-,2θπβα？

2.该公式我们记为)(βα-C ，请仔细观察发现它有何特征？你怎样记忆与掌握该公式？

3.公式)(βα-C 及其证明太重要了，两个证明方法的名称是？（链接1）

4.该公式中α、β的取值范围如何？共有几个量？如何运用该公式？

5.你能通过教材P127页练习的第1题，运用类比方法证明其它的诱导公式呢？ 三．典例赏析

例1.教材第127页例2，请认真审读例题，先独立解答，再阅读教材解题过程.

解：

解后反思 该题的题型怎样？你的求解与教材的解答与表述谁更好？求解时运用了哪

些知识与思想方法？有易错点吗？如果去掉条件α∈(2

π

,π)，怎么解？

变式练习 已知），

，（，且2

,0,1411)cos(,71cos π

βαβαα∈-=+=求βcos 的值． 解：

例2.已知,0sin sin sin =++γβα,0cos cos cos =++γβα求证2

1

)cos(-=-γα． 证：

解后反思 该题的题型怎样？求解的关键点在哪里？你还能变式出其它结论吗？ 变式练习 已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若32)s i n (=

+B A ，4

3cos -=B ，求A cos 的值．

解：

四、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：公式C （α－β）的证明、特征、运用都掌握了吗？

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？

3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？

五、学习评价

1下列关系式中一定成立的是（ ）

A ． βαβαcos cos )cos(-=-

B ． )cos(βα-＜βαcos cos -

C ． ααπ

sin )2

cos(

=- D ．ααπ

sin )2

3cos(

=- 2.cos(035-α)cos(250

+α)+sin(035-α)sin(250

+α)的值为 （ ） A ． 21-

B ． 21

C ． 2

3

- D ． 23

3已知),2,23(

,5

3

sin ππαα∈-=则)4

cos(απ

-的值为（ ） A ．

10

2

B ． 10

2-

C ．

1027 D ． 10

2

7- 4已知cos(βα-)=

31

,则22)cos (cos )sin (sin βαβα+++= ． 5函数5

6sin 2sin 5cos 2cos π

πx x y -=的递增区间是 ．

6. 化简 0

020cos 20sin 10cos 2-= ．

7. 已知91)2cos(-=-β

α，3

2

)2sin(=-βα，且2π＜α＜π，0＜β＜,2π求

2

cos

β

α+的值． （提示：=+2βα)2

()2(βα

βα---．） 解：

8.（2008年高考广东卷）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，（1）求()f x 的解析式；

（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭

，，，且3()5f α=，12()13

f β=，求()f αβ-的值. 解：

【学习链接】

链接1. 公式)(βα-C 的两个证明方法都是运用的构造法，它是后面要学习的所有的三角公式的“上位知识”，后面要学习的所有的三角公式是它的“下位知识”，请领悟！