初中数学_垂径定理教学设计学情分析教材分析课后反思

课题3.3垂径定理课型新授课年级九年级

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教学目标

1.经历探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程.

2.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．

教学重点与难点

重点探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程．

难点运用垂径定理及其逆定理解决有关问题．

教学过程

一、激趣导入提出问题

赵州桥主桥拱的半径是多少？

问题赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

二、自主合作，解决问题

我们知道圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心

对称图形，

如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

(1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?

(2)图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．

处理方式学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.

我们组将这个图沿着直径CD折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，AC⌒与BC⌒重合，AD⌒

⌒重合，所以等量关系有:AM=BM, ∠CMA=∠CMB=900，与BD

⌒=BC⌒，AD⌒=BD⌒．（板书）结合这个图∠DMA=∠DMB=900，AC

形，该定理的符号语言如何叙述？

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．

设计意图在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确的将该定理的三种语言进行转化.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法．

已知如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

求证AM=BM ，AC

⌒ =BC ⌒ ，AD ⌒ =BD ⌒ 证明连接OA ，OB ， 则OA=OB ．

在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，

∵OA=OB ，OM=OM ，

∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ．

∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.

∴AC ⌒ =BC ⌒ AC ⌒ 与BC ⌒ .

∵∠AOD=180°-∠AOC,

∠BOD=180°-∠BOC

∴∠AOD=∠BOD °.

∴AD

⌒ =BD ⌒ ． 处理方式引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交

流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这

类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．

设计意图让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提

高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.

三、尝试成功，探究创新

活动内容

还是这个图形，如果我把条件稍微改变，你还能利用刚才的探究

方法推导出一些新的结论吗？（多媒体出示）

如图，AB 是⊙O 的一条弦（不是直径），作

一条平分AB的直径CD，交AB于M．

（1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?

（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．处理方式类比刚才的探究垂径定理的方法，学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，就得加上一个限制条件，那么该结论如何叙述？

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（板书）

它和垂径定理有什么区别？

设计意图在垂径定理的逆定理的环节的处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量的放给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法，教师此时只要起到辅助、提升的作用即可．

想一想

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

如果该定理少了“不是直径”

C

四、展示汇报，反馈点拨

活动内容

例 1 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD＝600m，E为CD上一点，且OE⌒CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．

处理方式让学生明白要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE⌒CD，所以CF＝1

2

CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt⌒CFO，解连结OC，设弯路的半径为rm，则OF＝(r－90)m，

⌒OE⌒CD，

⌒CF＝1

2CD＝1

2

×600＝300(m)．

据勾股定理，得

OC2＝CF2＋OF2，

即r2＝3002＋(r－90)2，

解这个方程，得r＝545．

⌒这段弯路的半径为545m．

设计意图引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．

学以致用

活动内容赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的

弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

处理方式学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．

设计意图通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．

五、巩固训练，拓展提高

1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，OA = 5，则AC= ，OC = .

2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，OA = 10，则∠OCA = °，OC = .

六、总结概括，整理知识

A B

C

O

┏A B

C

O

┏