垂径定理-优秀教学设计

第三章圆

垂径定理

一、教学目标

(一)知识与技能

1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；

2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．

(二)过程与方法

经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．

(三)情感态度与价值观

1. 培养学生类比分析，猜测探索的能力．

2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实

事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

二、教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．

教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．

三、教法、学法：讲练结合法

四、教学准备：多媒体课件、交互式电子白板平台、圆规、三角板。

五、教学课时：第 1课时

六、教学过程：

教学环节教学内容教师活动学生活动

资源〔媒

体〕运用

设计意图、

第一环节

猜测探索

1．如图，AB

是⊙O的一

条弦，作直

径CD，使

CD⊥AB，垂

足为M．

〔1〕该图是轴对称图形吗？如果

是，其对称轴是什么？

〔2〕你能发现图中有哪些等量关

系？说一说你的理由．

垂径定理：垂直于弦的直径平分

这条弦，并且平分弦所对的两条

一、教师指导学生依

次解答教学内容1、2

条件：①CD是直径；

②CD⊥AB

结论〔等量关系〕：

③AM=BM；

④

⌒

AC=

⌒

BC；

⑤

⌒

AD=

⌒

BD.

一、学生先自由交

流后总结。

证明：连接

OA,OB,那么

OA=OB.

在Rt△OAM和Rt

△OBM中,

∵OA=OB，

OM=OM，

∴Rt△OAM≌Rt

△OBM.

电子白

板展示

内容1的主

要目的是通

过让学生猜

测、类比、探

索和证明获

得新知，从而

得到研究数

学的多种方

法的体会，获

取经验；内容

2的主要目

O D

B

A

C

弧．

2、辨析：判断以下图形，能否使用垂径定理？

注意：定理中的两个条件缺一不可——直径〔半径〕，垂直于弦． 通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．

想一想：垂径定理逆定理的探索 如图，AB 是⊙O 的弦〔不是直

径〕，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M . 〔1〕以下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 〔2〕图中有哪些等量关系？说一说你的理由.

证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼

出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 二、继续指导学生解答想一想 条件：① CD 是直径；

② AM =BM 结论〔等量关系〕：③CD ⊥AB ；

④⌒

AC =⌒BC ；

⑤⌒

AD =⌒

BD .

辨析：“平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦,并且平分弦所

对的两条弧．〞如果

该定理少了“不是直

径〞，是否也能成

立？

反例：

∴AM =BM . ∴点A 和点B 关

于CD 对称.

∵⊙O 关于直径CD 对称, ∴当圆沿着直径

CD 对折时, 点A

与点B 重合,

⌒AC 和⌒

BC 重

合,⌒

AD 和⌒

BD 重

合.

∴ ⌒AC =⌒

BC ，

⌒AD =⌒

BD .

二、让学生模仿垂

径定理的证明过

程，自行证明〔想

一想〕逆定理，并

表述逆定理的内

容

——平分弦〔不是直径〕的直径垂直

于弦,并且平分弦所对的两条弧.

的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；想一想的主要目的与内容1相似，并让学生与内容1类比，提高探索能力。

第二环节

知识应用

讲解例题及完成随堂练习． 1、例：如图，一条公路的转弯处

是一段圆弧〔即图中⌒

CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心〕，其中

CD =600m ，E 为⌒

CD 上的一点，

教师指导学生分析例题后写出解答过程。 学生独立写出解答过程。

解：连接OC ，设弯路的半径为R m,那么OF =(R -90)m ． ∵OE ⊥CD

使用云校家随堂拍摄展示学

生的过

程并讲

解。

内容1和随堂练习1的主要目的是

让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解

决几何问题；

O

C D

B A

O C D E O C

D

B A

且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．

2、随堂练习：课本76页1、2

300

600

2

1

2

1

=

⨯

=

=

∴CD

CF

根据勾股定理，得

OC²=CF²+OF²

即R²=300²

+(R-90)².

解这个方程，得

R=545.

所以，这段弯路的

半径为545m.

随堂练习2

的主要目的

是让学生通

过作垂线段

构造符合定

理使用的条

件，从而运用

定理解决问

题，以及培养

学生解题中

的分类思想．

第三环节

归纳小结

学生交流总结

1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.

2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的

直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

电子白

板展示

加深对本节

课知识和探

索方法的理

解和掌握，培

养学生养成

归纳反思的

学习习惯．

第四环节布置作业必做题：课本76页的习题1、2、3。选做题：课本47页的习题4.

板书

设计

七：教学反思：垂径定理

垂径定理：例题练习垂径定理的逆定理：