高考数学立体几何小题之压轴篇(解析版)

立体几何小题之压轴篇（解析版）

长沙市明达中学吴祥云

题型一、体积的最值

题目1：三棱柱ADF-BCE中，四边形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，∠ABC=60°，平面ABCD⊥平面ABEF，M,N分别是AC,BF上的动点，若AM=FN=a,(0≤a≤2),

当四面体A-MNB的体积最大时，实数a 的值为（答案√2）

解析：作NG⊥AB交AB于点G，由已知易得NG⊥平面ABCD,FN=a,

NB=2√2−a,NG=(2√2−a)√2

=2−

a

√2

S∆AMB=

1

×2×a×

√3

=

√3

a,

V A−MNB=V N−AMB=1

3×√3

2

a×(2−

√2

),

当且仅当a=0+2√2

2

即a=√2时，四面体A-MNB的体积最大。

题目2：如图，将一张长为2m,宽为1m的长方体纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒（接缝部分忽略不计），则此长方体体积的最大值为

解析：设废弃的四个小矩形部分长为2x,宽为x,则折叠成的长方体的长为2x,

宽为1-2x,高为2−4x

2=1−2x,其中0

2

,设长方体的体积为V，

V=2x∙(1−2x)∙(1−2x)=1

2∙4x∙(1−2x)∙(1−2x)≤(4x+(1−2x)+(1−2x)

3

)3=4

27

,

当且仅当4x =1-2x 即x =16时取到等号，∴长方体体积的最大值为4

27。

注：也可直接求导求出最值。

题目3：将一个底面半径为1，高为2的圆锥工件切割成一个圆柱体，能割出的圆柱的最大体积为 （答案：8

27π）

解析：设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则r

1=

2−h 2

⇒h =2−2r,则 0

设圆柱的体积为V ，则V=πr 2h =πr 2∙(2−2r )=π∙r ∙r ∙(2−2r )≤π(

r+r+2−2r 3)3

=8

27,

当且仅当r =2−2r 即r =23

时取到等号，∴能割出的圆柱的最大体积为8

27

。

题目4：一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同的等腰三角形的底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则该四棱锥的体积的最大值为 （答案：

500√2

81

）

解析：设等腰三角形底边长为x,腰为y,x+2y=10,则四棱锥的底面边长为x, 高h=√y 2−1

2x 2,体积V =1

3×x 2×√y 2−1

2x 2=1

3√25x 4−5x 5−1

4x 6, 设f(x)= 25x 4−5x 5−1

4x 6,则f ′(x )=1

2∙x 3(10−3x )(x +20),令f ′(x )=0， 得x =

103

,易得此时体积V 取到最大值

500√281

。

注：本题若作为解答题，解答欠严密，没有指出x 的取值范围。

题目5：如图，三棱锥P-ABC的底面是边长为2的等边三角形，若PA=PB=√2，二面角

P-AB-C的大小为60°，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为

解析：取AB得中点O’,连接O’C,则∠PO′C=60°,设∆ABC的中心为O′′,分别过O′,O′′作平面PAB和平面ABC的垂线，设两垂线交于点O，则点O为三棱锥P-ABC的外接球心，则∠CO′O=30°,O′O′′=√3

3

⇒OO′′=1

3

,连接OC，设外接球半径为R，则OC=R,O’’C=2√3

3

，

则R2=(1

3

)2+(2√3

3

)2=13

9

⇒R=√13

3

.

注：本题解答过程还有很多细节推导没有写出来，请读者朋友自己完成。

题目6：三棱锥A-BCD中，底面BCD与ABC均为边长为√3的等边三角形，且平面

BCD与平面ABC所成角为2π

3

，则三棱锥A−BCD的外接球表面积为

解析：如图，作BD中点E，连接AE,CE，易知∠AEC=2π

3

，过∆BCD

的外接圆心作平面BCD的垂线，过∆ABD的外接圆心作平面ABD的垂线，两垂

线的交点O即外接球心,易知O1E=O2E=1

2

,故∆OO1E≅∆OO1E,∴∠OE O1=π

3

,

∴OO1=√3

2

,∴OA2=OO12+AO12=(√3

2

)2+12=7

4

=R2,

∴三棱锥A−BCD的外接球表面积为4πR2=4π×

7

4

=7π.

题目7：矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积是（答案：125

6

π）

解析：∵∠ADC=∠ABC=90°,故AC为外接球的直径，易得2R=5⇒R=5

2

，

四面体ABCD的外接球的体积为4π

3

×(5

2

)3=125

6

π.

题型三、体积之比的最值问题

题目8：如图，四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=4,

AB=3,G,H分别在PC,CA上，且PG=4

5

PC,PH=1

3

PA,过直线GH作平面与侧棱PB,PD 分别交于点M,N，截面把四棱锥分成上下两部分，则上部分与下部分体积比值的最小值为

解析：引理：如图，V D−EFG

V D−ABC

=DE∙DF∙DG

DA∙DB∙DC

.

证明：设DB与平面DAC所成角为α，∠ADC=

β，则V D−EFG

V D−ABC

=

1

3

×1

2

DE∙DGsinβ∙DF∙sinα

1

3

×1

2

DA∙DC∙sinβ∙DB∙sinα

=DE∙DF∙DG

DA∙DB∙DC

.

回归本题：设

PM

→=m

PB

→,

PN

→=n

PD

→,

PG

→=

4

5PC

→=

4

5

(

PA

→+

AC

→ )=

4

5

(

PA

→+

AB

→+

AD

→ )=

4

5

(

PB

→+

PD

→−

PA

→ )

点评：二面角与外接球的综合题，主要利用图形的对称性即球的性质，直接作出球心，构造直角三角形进行求解。此类题较难，江浙卷出现的较多，但是不排除全国卷也会出类似的考题。