数据结构图的存储本

0 0 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
A B E
第i行（列）非0元素 的个数是第i个顶点 的出度（入度）。
C
D
邻接矩阵的C描述
const int MAX_VERTEX = 最大顶点个数; typedef char VertexType ; typedef int ArcType ; typedef struct Graph{ //图的定义 VertexType vexs[MAX_VERTEX]; //顶点 ArcType arcs[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX]; //弧(邻接矩
采用邻接表创建无向图
基于上述的邻接表表示法，要创建一个图则需要创 建其相应的顶点表和边表。下面以一个无向图为例 来说明采用邻接表表示法创建无向图的算法。
步骤1：输入总顶点数和总边数。 步骤2：依次输入点的信息存入顶点表中，使每个表头 结点的指针域初始化为NULL。 步骤3：创建邻接表。依次输入每条边依附的两个顶点， 确定这两个顶点的序号i和j后，将此边结点分别插入vi 和vj对应的两个边链表的头部。
缺点
1.不便于判断顶点之间是否有边，要判定vi和 vj之间是否有边，就需要扫描第i个边表，最 坏情况下要耗费O(n)时间。 2.不便于计算有向图各个顶点的度。
有向图的十字链表
弧的结点结构
弧尾顶点位置 弧头顶点位置
指向下一个 有相同弧尾 的弧结点 指向下一个 有相同弧头 的弧结点
typedef struct ArcNode { //弧结点 int tailvex, headvex; //弧尾和弧头顶点的位置 struct ArcNode *nexttail, *nexthead; //指向下一
} for (k =0 ;k<G.arcnum;k++){ //输入各边，构造邻
接表
scanf (v1);scanf (v2); i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);
//插入到顶点vi的边表头部
p1=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); p1->adjvex=j; p1->nextarc=G.vexs[i].firstarc; G.vexs[i].firstarc=p1;
第七章 图的存储
本讲内容
1.图的邻接矩阵 2.图的邻接表 3.图的十字链表 4.图的邻接多重表
由于图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都有 可能存在联系，因此无法以数据元素在存储区中 的物理位置来表示元素之间的关系。
图没有顺序存储结构，但可以借助于二维数组 来表示元素之间的关系，即邻接矩阵表示法。 另一方面，由于图的任意两个顶点间都可能存 在关系，因此，用链式存储表示图是很自然的 事，图的链式存储有多种，如邻接表、逆邻接 表、十字链表和邻接多重表，应该根据实际需 要的不同选择不同的存储结构。
typedef struct VexNode { // 顶点结点 VertexType data; //顶点信息 EdgeNode *firstedge; //指向依附该顶点的
第一条边
} VexNode;
无向图的结构定义（邻接多重表）
const int MAX_VERTEX = 最大顶点个数
typedef struct Graph { // 图 VexNode vexs[MAX_VERTEX]; // 顶点
定义
图的邻接表
图的链式存储结构。在邻接表中，对图中每个顶点vi 建立一个单链表，把与vi相邻接的顶点放在这个链表 中。邻接表中每个单链表的第一个结点存放有关顶点 的信息，把这一结点看成链表的表头，其余结点存放 有关边的信息。
对于图中每条弧均依附于两个结点，因此链表 中的结点就是具有相同弧尾的弧结点。 在实际存储时，图中顶点的邻接点链成链表， 表结点中存储邻接点的存储位置。而在存储图 中顶点时，除了本身的数据信息外，还要存储 指示其第一个邻接点的指针。
无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵，在具 体存放时只需存放上（下）三角阵的元素。 第 i 行（列）非0元素的个数是第i 个顶点 举例 的度。
图的邻接矩阵
B
C D
A
F
E
0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
有向图的邻接矩阵 为非对称矩阵
顶点的结点结构
data firstarc
typedef struct VexNode { VertexType data; // 顶点信息 ArcNode *firstarc; // 指向第一个邻接点 } VexNode;
图的结构定义
const int MAX_VERTEX = 最大顶点个数
typedef struct Graph { VexNode vexs[MAX_VERTEX];//顶点向量 int vexnum, arcnum; //顶点和弧的个数 } Graph;
值得注意的是，一个图的邻接矩阵表示是唯一的，但是其邻接表 表示不唯一，这是因为邻接表表示中，各边表结点的链接次序取 决于建立邻接表的算法，以及边的输入次序。
邻接表表示法的优缺点
优点
1.便于增加和删除顶点。 2.便于统计边的数目，按顶点表顺序扫描所有 边表可得到边的数目，时间复杂度为O(n+e)。 3.空间效率高，空间复杂度为O(n+e)。适合 表示稀疏图。
void CreateUDN(Graph &G) { scanf(G.vexnum); scanf(G.arcnum); for (i=0;i<G.vexnum;i++) //输入顶点的信息 scanf (G.vexs[i]); for (i=0;i<G.vexnum;i++) //初始化邻接矩阵，边上
入弧和第一条出弧
} VexNode;
有向图的结构定义（十字链表）
const int MAX_VERTEX = 最大顶点个数
typedef struct Graph{ VexNode vexs[MAX_VERTEX]; //顶点向量 int vexnum, arcnum; //有向图的顶点和弧的个数 } Graph; 有向图的十字链表相当于邻接表和逆邻接表 的结合。
向量
int vexnum, edgenum; // 顶点和边的个数 } Graph; 只适合存储无向图，不适合存储有向图。
void CreateUDG(Graph &G) { scanf(G.vexnum); scanf(G.arcnum); for (i=0;i<G.vexnum;i++) {//输入各点,构造表头结
点表
scanf (G.vexs[i].data); G.vexs[i].firstarc=NULL;
图的邻接矩阵
定义 图的邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩 阵。设G(V,VR)是具有n个顶点的图，用邻接 矩阵表示法表示图，除了用二维数组存储图 中各顶点间的关系VR外，还需要用一维数组 存储图中的顶点V。
矩阵的元素为 A[i][j]=
{1
0 <i,j>或(i,j)VR
<i,j>或(i,j)VR
//插入到顶点vj的边表头部
p2=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); p2->adjvex=i; p2->nextarc=G.vexs[j].firstarc; G.vexs[j].firstarc=p2;
}
}
算法分析
算法时间复杂度为O(n+e)。 建立有向图的邻接表与此类似，只是更加简单， 每读入一个顶点对序号<i,j>，仅需生成一个邻 接点序号为j的边表结点，并将其插入到vi的边 链表头部即可。若要创建网的邻接表，可以将 边的权值存储到info域中。
typedef struct EdgeNode { //边结点 VisitIf mark; //访问标记 int vexi, vexj; //边的两个顶点 struct EdgeNode *nexti, *nextj; //两个顶点所依附
的下一条边
}EdgeNode;
顶点的结点结构
顶点信息
指向依附该顶 点的第一条边
举例
B A
C D
0 1 2 3 4 5
A B C D E F
1 0 3 2 0 1
4 4 5 5 1 2
5
F
E
无向图中n个顶点， e条边，则邻接表 有n个头结点和2e 个表结点。
3
有向图的邻接表
A
B C E 0 A 1 B 1 2 3 0 1 4
D
可见，在有向图的 邻接表中不易找到
2 C
2.便于计算各个顶点的度。
缺点 1.不便于增加和删除顶点。
2.不便于统计边的数目，时间复杂度为O(n2)。 3.空间复杂度高。如果是有向图，n个顶点需要n2个单元 存储边。如果是有向图，邻接矩阵是对称的，所以规模 较大的邻接矩阵可以采用压缩存储的方法，仅存储下三 角（或上三角）的元素，需要n(n-1)/2个单元即可。无论 以何种方式存储，邻接矩阵的空间复杂度为O(n2) ，对于 稀疏矩阵来说尤其浪费空间。故，适合稠密图。
指向该顶点的弧。
D 3 4 E
2
有向图的逆邻接表
在有向图的逆邻接表中， 对每个顶点，链接的是 指向该顶点的弧。
A B E
C
0 A
3
3 4 2 0
D
0
1 B
2 C
3 D
4 E
邻接表的C描述
弧的结点结构
adjvex nextarc info
typedef struct ArcNode { int adjvex; // 邻接点的位置 struct ArcNode *nextarc; // 下一个邻接点 OtherInfo info ;//和边相关的信息，如权值 } ArcNode;
算法分析
算法时间复杂度为O(n2)。 若要建立无向图，只需对上述算法做两处小小 的改动：一是初始化邻接矩阵时，将边的权值 均初始化为0；二是构造邻接矩阵时，将权值 w改为常量1即可。同样，将该算法稍作修改 即可建立一个有向网或有向图。
邻接矩阵表示法的优缺点
优点 1.便于判断两个顶点之间是否有边，即根据 A[i][j]来判断。
A
B
E
D
0 A 1 B 2 C 3 D 4 E /\ 30
C
画图技巧：把弧结点按行排整齐， 然后画链表。同弧尾的弧组成链表， 同弧头的弧组成链表。
0 1 /\
02
1 2 /\
/\
13 23
/\ /\
/\
4 0 /\
4 3 /\ /\
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无向图的邻接多重表
边的结点结构
边顶点1位置 边顶点2位置
指向下一个 依附顶点1的 边结点 指向下一个依 附顶点2的边 结点
的权值为极大值MaxInt
for (j=0;j<G.vexnum;j++) G.arcs[i][j]=MaxInt; // ∞ for (k =0 ;k<G.arcnum;k++){ //构造邻接矩阵 scanf (v1);scanf (v2);scanf (w); i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2); G.arcs[i][j]=w; G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];
阵)
int vexnum, arcnum; //顶点数，弧数 } Graph;
图的邻接矩阵
通过前面给出的图的邻接矩阵的C描述知： 对于图来说，有边（弧）时邻接矩阵arcs中的 元素为1，否则为0。 对于网来说，有边（弧）时邻接矩阵arcs中的 元素为其上的权值，否则为∞。其中， ∞表示 计算机允许的、大于所有边上权值的数。 邻接矩阵的存储空间个数为n2，与边数无关。
个同弧尾和同弧头的弧结点
} ArcNode;
顶点的结点结构
顶点信息
指向该顶点的 第一条入弧 指向该顶点的 第一条出弧
typedef struct VexNode { //顶点结点 VertexType data; //顶点信息 ArcNode *firstin, *firstout; //指向第一条
采用邻接矩阵创建无向网
已知一个图的点和边，使用邻接矩阵表示法来创 建此图的方法比较简单。下面以一个无向网为例 来说明创建图的算法。
步骤1：输入总顶点数和总边数。 步骤2：依次输入点的信息存入顶点表中。 步骤3：初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值 ∞。 步骤4：构造邻接矩阵。依次输入每条边依附的顶点和 其权值，确定两个顶点在图中的位置后，使相应边赋 予相应的权值，同时使其对称边赋予相同的权值。