实验二根轨迹的绘制及系统分析
根轨迹的概念和系统分析
，
此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，
我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于
开环根轨迹K增r益
。
下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时， 根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点 数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为 有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷 远点(称为无限零点)。如例6-1。
允许范围
动态性能
0 当
Kr
1
时，所有闭环极点均位于实轴上，
系过K程统r 。为1 当过阻尼系统，其单位阶跃 时，特征方程的两个相等
响 负
应 实
为 根
单 ，
调 系
上 统
升 为
的
K
临
非周 r界阻1
期 尼
系 时
统 ，
，特单征位方阶程跃为响一应对为共响轭应复速根度，最系快统的为非欠周阻K期r尼过系程统。，当单
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建
立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助
于闭环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方
程。设控制系统如(s)图6-2所G示(s，) 闭环传递函数为
1 G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
-图6-2 控制系
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数 H(s)可分别表示
益 当 方
程根的复变量S在平面上的变化也是连续的，
因此，根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数，如 果特征方程有复数根，一定是对称于实轴的 共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
根轨迹绘制的基本法则
规则七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值 利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统 出现虚根。 在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：
1 Kr ( s 5) s ( s 1)( s 2)
1 3 6 2K r 3 5K r
0,
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
同理可证明入射角。
例4-2-3
设系统开环零极点图如图4-7。p
0 0
j
3
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
其中 ( p3 z1 ) 85 , ( p3 p1 ) 135
( p3 p2 ) 45 , ( p3 p4 ) 90
0 0
×●
P3
P2 × ●
n m j j 1 i 1
i
nm
对例4-2-2，渐近线与实轴夹角为：
l 180 n m
180 l 2
( l 1,3,) 90 , 90 ( 270 )
0
0 0
交点坐标为：
1 2 ( 5 ) 2
1 , 即（1，j0）。
j
●
× × ×
﹣2 ﹣1
P3
s0 点为从 p3 出发的根轨迹上一点。
z ( p1 p 2 p 3 p 4 ) 180 l
0
j
×●
z
P3
P1
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
P2
×●
Z1
×
01 P
P2
P2 × ●
根轨迹实验报告
根轨迹实验报告根轨迹实验报告引言：根轨迹是控制系统理论中的一个重要概念，它描述了系统在参数变化下的稳定性和响应特性。
本实验旨在通过实际操作和数据分析，深入理解根轨迹的原理和应用。
通过对比不同系统的根轨迹，可以更好地理解系统的稳定性和控制性能。
一、实验目的本实验的目的是通过实际操作和数据分析，加深对根轨迹的理解，掌握根轨迹的绘制方法和分析技巧。
同时，通过对比不同系统的根轨迹，分析系统参数对根轨迹的影响，进一步认识系统的稳定性和控制性能。
二、实验装置与方法实验所需的装置包括控制系统实验台、计算机和相应的控制软件。
实验过程中，首先将系统接入实验台，通过控制软件设置系统参数，然后进行数据采集和分析。
根据实验要求，可以改变系统参数、增加干扰等，观察根轨迹的变化。
三、实验结果与分析在实验过程中，我们分别绘制了不同系统的根轨迹，并进行了数据分析。
通过观察根轨迹的形状和位置，我们可以判断系统的稳定性和响应特性。
以一个简单的一阶系统为例，我们改变了系统的比例增益和时间常数，绘制了对应的根轨迹。
通过观察根轨迹的位置和形状，我们可以发现以下规律：当比例增益增大时，根轨迹向左移动，系统的稳定性增强；当时间常数增大时，根轨迹变得更加平缓，系统的响应速度变慢。
在另一个二阶系统的实验中，我们改变了系统的阻尼比和自然频率，绘制了对应的根轨迹。
通过观察根轨迹的形状和分布，我们可以得出以下结论：当阻尼比增大时，根轨迹变得更加收敛，系统的稳定性提高；当自然频率增大时，根轨迹变得更加散布，系统的响应速度增加。
通过对比不同系统的根轨迹，我们可以进一步分析系统的稳定性和控制性能。
例如，当两个系统的根轨迹重合或者相似，可以认为它们具有相似的稳定性和响应特性；而当根轨迹相交或者离散较大时，可能存在系统不稳定或者不良的控制性能。
四、实验总结通过本次实验，我们深入了解了根轨迹的原理和应用。
通过实际操作和数据分析，我们掌握了根轨迹的绘制方法和分析技巧。
根轨迹的绘制实验心得
根轨迹的绘制实验心得
根轨迹是一种通过分析系统根部反馈而得到的系统特征的方法。
在进行根轨迹的绘制实验时,我的心得如下：
1. 多次实验数据的取样和平均化。
在进行实验时,由于系统参数可能存在一定的波动,因此需要进行多次实验,取样后进行平均化处理,以获得更加准确的根轨迹曲线。
2. 调整系统参数使得根轨迹可靠。
在绘制根轨迹时,需要根据系统的实际情况调整系统参数,以确保根轨迹的稳定和可靠性。
3. 选择合适的绘制工具和方法。
在根轨迹的绘制中,可以使用手绘、数学软件或者仿真软件等多种方法进行绘制。
选择合适的绘制工具和方法,能够更好地完成根轨迹的绘制任务。
4. 数据分析和结论。
在根轨迹的绘制实验完成后,需要对实验数据进行分析,综合考虑根轨迹的特征和系统参数的实际情况,得出相应的结论和建议,以进一步完善和优化系统。
根轨迹绘制方法
根轨迹绘制方法
根轨迹是啥玩意儿？嘿，其实就是控制系统分析中的一大利器！绘制根轨迹可有讲究啦。
首先呢，确定开环传递函数，就像找到一把钥匙去打开系统的神秘大门。
然后根据规则，一步步画出根轨迹。
比如说，实轴上的根轨迹怎么确定？那可得看开环零极点的分布情况，就好比在地图上找宝藏的线索一样。
这过程中有啥要注意的？哎呀，可不能马虎，参数的变化得仔细盯着，稍有不慎就可能画错。
根轨迹绘制过程安全不？稳定不？那肯定啊！只要你认真按照步骤来，就不会出大乱子。
就像走在一条稳稳当当的路上，只要不瞎折腾，就不会摔跤。
这根轨迹有啥用呢？应用场景可多啦！在控制系统设计中，能帮你分析系统的稳定性和动态性能。
好比是一个超级侦探，能找出系统的毛病在哪里。
优势也很明显啊，直观易懂，让你一眼就能看出系统的特点。
举个实际案例呗！比如说一个电机控制系统，通过绘制根轨迹，可以调整参数，让电机运行得更稳定。
哇塞，效果那叫一个棒！
根轨迹绘制方法真的超有用，能让你轻松搞定控制系统分析。
大家赶紧用起来吧！。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
实验二控制系统的根轨迹分析与频域分析
实验二 控制系统的根轨迹分析与频域分析 一、实验目的 1、掌握如何运用计算机的MA TLAB 软件进行根轨迹分析 1、 掌握如何用计算机MA TLAB 软件工具进行系统或环节的频率特性的测试。 二、实验类型 综合性 三、实验设备 计算机 四、实验原理 频率特性函数是静态下正弦输出信号与正弦输入信号的复数符号之比。从频率特性图象上可以很方便的得到关于系统稳定性和 动态特性的一些信息。因此，它是研究控制系统的一个重要工具。 五、实验内容和要求 （一）内容 1、 已知开环传递函数为s sssk s H 803616)(234+++=绘出闭环系统的根轨迹，并找出根轨迹与虚轴交点处的增益k 值。 2、 已知开环传递函数为)45)(23() 3()(22+++++= s s s s s k s H 绘出闭环系统的根轨迹。并分析系统 的稳定性。 3、 编程实现惯性环节005.0,11 )(=+=T Ts s G 的频率特性，编程实现幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和伯德图。 4、 编程实现振荡环节的频率特性。 8.0,4.0,2.0,002.0,121 )(22==++=ζζT Ts s T s G ，用MA TLAB 软件编程仿真出振荡环节的幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和波德图，增益相位裕度的伯德 图。并在同一极坐标图和伯德图中绘制不同ζ下的响应曲线。（要获得谐振峰值、谐振频率等关键点的值。） （二）要求 1、预习根轨迹的绘制的方法，编制相应实现的MA TLAB 程序。 2、在理论上画出实验中惯性环节、振荡环节相应的幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和伯德图；并 预先编制实现的MA TLAB 程序。 3、写出实验报告，对于内容（一）写出实现的MA TLAB 程序；给出给定系统)(s H 的根轨迹图，并分析系统的稳定性；进行 实验总结；对于内容（二）给出出惯性环节、振荡环节的实现程序及各实验曲线；将实验结果同理论估计的结果相比较，若不 同分析其原因；根据实验曲线能得到哪些结论（稳定性、增益方面的）。 六、注意事项 命令调用的格式不能随意改写 七、思考题 如何利用Bode 图来分析系统的增益裕度、相位裕度、及其稳定性？
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
根轨迹法
解 由已知：
N (s) s z1 D(s) (s p1)(s p2 )
N(s) 1
D(s) (2s p1 p2 )
东北大学《自动控制原理》课程组
27
4.2 根轨迹的绘制法则
代入分离点和会合点方程，有
D '(s)N(s) N '(s)D(s) (2s p1 p2 )(s z1) (s p1)(s p2 ) 0
东北大学《自动控制原理》课程组
24
4.2 根轨迹的绘制法则
如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹， 则在此区间上必有分离点。
如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹， 则在此区间上必有会合点。
东北大学《自动控制原理》课程组
25
4.2 根轨迹的绘制法则
WK
(s)
s(s
Kg 1)( s
4)
D(s) s(s 1)(s 4); N(s) 1 D(s) 3s2 10s 4; N(s) 0 D(s)N (s) D(s)N(s) 0
n
m
k
j 1
pj
i 1
nm
zi
1 40 30
5 3
东北大学《自动控制原理》课程组
35
4.2 根轨迹的绘制法则
7． 根轨迹的出射角和入射角
▪ 出射角 sc：根轨迹离开S平面上开环极点处的切 线与实轴的夹角。
▪ 入射角sr：根轨迹进入S平面上开环零点处的切 线与实轴的夹角。
东北大学《自动控制原理》课程组
19
4.2 根轨迹的绘制法则
证明：设 N z为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， N p为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，
由辐角条件
m
n
i j Nz N p (1 2)
实验2 线性系统的根轨迹分析
自动控制理论实验报告
实验二 线性系统的根轨迹分析
哈尔滨工业大学
实验二 线性系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、掌握使用MATLAB绘制控制系统根轨迹图的方法；
2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。
二、 实验设备
Pc机一台，MATLAB软件。
三、实验内容
A、已知一负反馈系统的开环传递函数为
（1）绘制根迹。
（2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K的范围 。
（3）确定分离点的超调量 及开环增益K。
（4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K的范围
（5）分析根轨迹的一般规律。
B、. 已知系统的开环传递函数为：
求：1）绘制根轨迹。
2）选择系统当阻尼比 =0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K值。
分析系统性能。
四、实验结果与分析
A:1、根轨迹
2、由根轨迹图知，与虚轴交点i=4.46，增益K=12，故K<12时系统稳定
3、由根轨迹图知，分离点超调量Mp=0%，增益K=0.458
4、将不同的K带入时域响应，如下图
由图可知当K=11.9时系统依旧稳定，但当K=12时系统已经开始震荡，进入临界稳定。故与根轨迹结论一致。
超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减振荡，而且越靠近虚轴，增益K越大，阻尼越小，振荡频率 越高，振幅衰减越大。
5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点是一对纯虚根，阻尼 ，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡。此时对应的增益 ，称为临界稳定增益。
5、根轨迹的一般规律
1）根轨迹，随着k值从 变化，趋向无穷远处或者零点。
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。
下面是对该实验的详细说明和分析。
1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。
2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。
2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。
根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。
2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。
3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。
3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。
4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。
4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。
4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。
4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。
4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
根轨迹实验
实验二 根轨迹实验一、实验目的1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。
3. 分析参数变化对根轨迹的影响。
二、实验仪器1. PC 机一台2. MATLAB 软件三、实验原理根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
用MA TLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
常规根轨迹一般取开环增益K 作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：1)()()()(11*-=--=∏∏==ni i m j j p s z s Ks H s G 闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足（1） 幅值条件：1*1|()|1|()|m j j ni i s z K s p ==-=-∏∏； （2） 相角条件：π)12()()(11+=-∠--∠∑∑==k p s zs ni i m j j 。
1） 绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
2） 确定闭环根位置对应增益值K 的函数rlocfind （）在MA TLAB 中，提供了rlocfind 函数获取与特定的复根对应的增益K 的值。
在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K 和闭环根r （向量）的值。
该函数的调用格式为：[k,r]=rlocfind(num,den)执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus （num,den ），作出根轨迹图。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
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《自动控制原理》
实验报告
题目：根轨迹的绘制及系统分析
专业：电子信息工程
班级：
：
学号：
实验二 根轨迹的绘制及系统分析
一、实验目的
1．熟练掌握使用MATLAB 软件绘制根轨迹图形的方法； 2．进一步加深对根轨迹图的了解； 3．利用所绘制根轨迹图形分析系统性能。
二、实验容
本实验中各系统均为负反馈控制系统，系统的开环传递函数形式为：
1
1
()
()()()
m
i i n
j
j K s z G s H s s p ==-=
-∏∏
（一）已知系统开环传递函数分别为如下形式：
（1）()()(1)(2)K
G s H s s s =
++
（2）(3)
()()(1)(2)K s G s H s s s +=
++
（3）(3)
()()(1)(2)K s G s H s s s -=
++
（4）()()(1)(2)(3)K
G s H s s s s =
+++
（5）()()(1)(2)(3)
K
G s H s s s s =
++-
1、绘制各系统的根轨迹；
2、根据根轨迹判断系统稳定性；如果系统是条件稳定的（有根轨迹分支穿越虚轴），试确定稳定条件（K 值取值围）；
（1）代码及截图 num=[1];
den=conv([1 1],[1 2]); rlocus(num,den)
-2.5
-2-1.5-1-0.500.5
-0.8-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
根轨迹全部落在左半S 平面上，该系统稳定。
（2）代码及截图 num=[1 3];
den=conv([1 1],[1 2]); rlocus(num,den)
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
根轨迹全部落在左半S 平面上，该系统稳定。
（3）代码及截图 num=[1 -3];
den=conv([1 1],[1 2]); rlocus(num,den) rlocfind(num,den)
-14
-12-10-8-6-4-2024
-0.8-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
根轨迹越过虚轴进入右半S 平面，该系统条件稳定，稳定条件K 的取值（0, 0.6813）
（4）代码及截图
num=[1];
den=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 3]) rlocus(num,den) rlocfind(num,den)
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
-8
-7-6-5-4-3-2-101
-5-4-3-2-1012
345
根轨迹越过虚轴进入右半S 平面，该系统条件稳定，稳定条件K 的取值（0, 62）
(5)代码及截图
num=[1];
den=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 -3]); rlocus(num,den) rlocfind(num,den)
-15
-10-5
0510
-15-10
-5
5
10
15
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
根轨迹越过虚轴进入右半S 平面，该系统条件稳定，稳定条件K 的取值（0, 6）
3、比较（1）—（5）的传递函数和它们的根轨迹，分析：
① 增加位于虚轴左侧的开环零点，对系统性能的影响； ② 增加位于虚轴右侧的开环零点，对系统性能的影响； ③ 增加位于虚轴左侧的开环极点，对系统性能的影响。
④ 增加位于虚轴右侧的开环极点，对系统性能的影响。
总结加入开环极点或开环零点对系统性能的影响。
①比较（1）和（5）图，增加位于虚轴左侧的开环零点，使系统根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能。
②增加位于虚轴右侧的开环零点，使系统不稳定，降低了系统动态性能。
③比较（1）和（4）图， 增加位于虚轴左侧的开环极点，使系统的根轨迹向右偏移，降低系统稳定度，不利于改善系统的动态性能。
④比较（1）和（5）图，增加位于虚轴右侧的开环极点，使系统的根轨迹向右偏移，系统变得不稳定，系统的动态性能降低。
综合上述，增加开环零点可使根轨迹向左偏移，有利于改善系统的相对稳定性和动态性能，尤其是位于虚轴左侧的开环零点，相反，加入开环极点，根轨迹向右偏移，不利于系统的相对稳定性和动态性能。
（二）已知系统开环传递函数分别为如下形式：
()()(1)(4)
K
G s H s s s s =
++
1、绘制系统的根轨迹；
2、试确定使系统的阶跃响应呈现振荡衰减形式的K 值取值围；
3、试确定稳定条件（K 值取值围）。
1.实验代码及截图
num=[1];
den=conv(conv([1 0],[1 1]),[1 4]); rlocus(num,den) rlocfind(num,den)
-15-10
-5
5
10
15
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
2.使系统的阶跃响应呈现振荡衰减形式的K 值取值围(0.8780,20]
3.根轨迹越过虚轴进入右半S 平面，该系统条件稳定，稳定条件K 的取值（0, 20）
（三）已知系统开环传递函数分别为如下形式：
20
()()(4)()
G s H s s s a =
++
1、绘制极点a 从0→∞时系统的根轨迹；
2、试确定使系统的阶跃响应呈现振荡衰减形式的K 值取值围；
3、试确定稳定条件（K 值取值围）。
等效传递函数：20
4)
4()()(*2+++=s s s a S H S G
实验代码
num=[1 4]; den=[1 4 20]; rlocus(num,den)
1.根轨迹
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
-18
-16-14-12-10-8-6-4-202
-5-4-3-2-1012
345
2.使系统的阶跃响应呈现振荡衰减形式的K 值取值围
]
1)42/(][1)42/([20)
14/(4)42)(42()4()()(*+++-+=++-++=
i s i s s a i s i s s a S H S G
因为*k 的取值围为[0,12.94]故K 的取值围为[0,2.588]
3.根轨迹全部落在左半S平面上，该系统稳定。
稳定条件k的取值围为（0，∞)。