效用、损失和风险

第三章效用、损失和风险

(Utility,Loss and Risk)

本章要紧参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184

§3—1 效用的定义和公理系统

一、引言

·什么缘故要引入效用

决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示；

后果价值待定：以效用度量。

1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；

2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。

例一：同是100元钞票，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对

同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钞票的边缘价值问题。 例二：

礼品

抽奖

1

0.5

0.5

1000元

2500元

上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义 有人认为打赌不如礼品,即

1000元 优于

2500元0.5

0.5

*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题

*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(躯体)状态有关。

* 除风险偏好之外，还时刻偏好。 i, 折扣率 ii,其他而效用(Utility)确实是偏好的量化，是数(实值函数).

Daniel Bernoulli 在1738年指出：

若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，假如他明白与给定行动有关的今后的自然状态，且这些状态出现的概率已知或能够可能，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。

二、效用的定义

1.符号

i,A B(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B)

A B(即ARB) A不劣于B

A ～B(即AIB) A 无差不于

B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=(p c 11,;…;,;p c i i …p c n n , ) 既考虑各种后果 (consequence)

又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布

所有P 的集合记作p iii,抽奖(lottery)与确定当量

1.0

C 3

C 1

C 2p

1-p

若 C 1

( p C ,2 ; (),13-p C )

则称 确定性后果C 1 为抽奖 ( p C ,2 ; (),13-p C ) 的确定当量 2.效用的定义(A)

在集合p 上的实值函数u ，若它和p 上的优先关系

一致，

即:

若p p

12

,∈p , p1p2 iff u(p1)≥u(p2) 则称u为效用函数

三、效用存在性公理理性行为公理

Von Neumann-Morenstern, 1994 [169] ·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性

p p

12

,∈p, 则p1p2 or p1p2 or p2p1·公理2 传递性 (Transitivity)

p p p

123

,,∈p, 若p1p2,p2p3则p1p3·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变)

若p p p

123

,,∈p, p1p2且 0 1

则对任何p

3∈p ,必有p

1

+(1-)p

3

p 2+(1-)p

3

或者表达成：p

1p

2

,则p

1

+(1-)p

2

p 1+(1-)p

2

即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情

况是决策人所喜爱的。

·公理4 连续性公理 ---- 偏好的有界性

若p

1p

2

p

3

则存在 01, 01,

使p

1+(1-)p

3

p

2

p

1

+(1-)p

3

由p

1+(1-)p

3

p

2

可知p

3

不是无穷劣,即

u(p

3

)

由p

2p

1

+(1-)p

3

可知p

1

不是无穷优, 即 u(p

1

)

p

3

即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i,过马路

1 107-无法到目的地

不过

过

死亡

到目的地若死亡为无穷劣，则不能过马路

ii,狂犬病疫苗

1

106-

注射

不注射20元死亡生存

上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.

例：Allais 悖论（Paradox 〕

例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答