高等数学2.4 微分及其运算

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微分概念及其运算

微分概念及其运算§2微分概念及其运算设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为dy＝a∆x或df(x)＝a∆x由前面的讨论得微分具备两小关键特征：2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。

事实上当dy≠0时o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim即为∆y与dy就是等价无穷小量。

注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的变量，但它对∆x的依赖是线性的．基准1自由落体运动中，s(t)=12gt211g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝==11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分ds=gt∆t它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．基准2圆面积y=πr2，∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分dy=2πr∆r从几何来看，微分可以这样认知：2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。

高等数学之微分及其运算

1 3 sin 2(ln( 3x 1)) 3dx dx 解： dy 2 sin ln(3x 1) cos ln(3x 1) 3x 1 3x 1
例3. y e
u2 2
.
解： dy e
u2 2
1 ( ) (2u)du ue 2
u2 2
若f ( x)在x可微，即dy Ax，则 A ?
3
§5. 微分及其运算
Th .
y f ( x)在x可微 y f ( x)在x可导 .
证明：“ ”若f ( x)在x可微，即
y Ax o(x)，A与x无关.
于是
y o(x) A , x x
y 故 lim A，即 f ( x)在x可导且 A f ( x), x 0 x
du.
9
§5. 微分及其运算
小结 ★ 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题函数的增量问题导数的概念微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导可微.
10
1. d[ f ( x) g ( x)] df ( x) dg( x).
2. d[ f ( x) g ( x)] g ( x)df ( x) f ( x)dg( x).
d[cf ( x)] cdf ( x), c const.
f ( x) g ( x)df ( x) f ( x)dg( x) 3. d [ ] , （g ( x) 0 . ） 2 g ( x) g ( x)
从而 dy df ( x) f ( x)x.
4
§5. 微分及其运算
y “” 若f ( x)在x可导，即 lim f ( x), x 0 x

D2.4函数微分

x
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
12
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三、基本初等函数的微分公式与法则
dy f ( x)dx
先计算函数的导数, 再乘以自变量的微分.
1 基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
微分形式的不变性
15
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例3：若y sin(2x 1), 求dy.
例4：若y e13x cos x,求dy.
例5：在下列等式左端的括号中填入适当的函数，
使等式成立：
(1) d( ) xdx;
(2) d( ) cos tdt( 0).
16
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四、微分在近似计算中的应用
(4) 在(3)式中取 x0 0 ,且x 接近0,于是得
f ( x) f (0) f (0)x
17
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使用原则 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
常用近似公式: ( x 很小)
1x
x
x （6） n 1 x 1 1 x
n
1 x x
例6 求
x (x)2
x
x0x x0
4
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极限设与无y=穷f(x小) 的在关x0系可，导有，即lixm0
y x
f
(x0 )存在，按
y x
f (x0 )
(当x 0时 0)

微分与积分的基本概念与运算法则

积分的几何意义
面积：定积分表示曲线下面积高度：不定积分表示曲线下的高度体积：三重积分表示空间物体的体积流速：曲线积分表示流速场中某点的流速
积分具有线性性质，即积分可按照线性组合进行计算。
积分的基本性质
积分具有可积性，即如果函数在区间[a,b]上连续，则该函数在此区间上可积。
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应用：在微分方程、泰勒级数展开等场合中应用广泛。
积分的运算分具有线性性质，即对于函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
积分的基本运算法则：包括乘积法则、幂函数法则、正弦函数和余弦函数法则等，这些法则可以帮助我们简化积分的计算过程。
积分的几何意义：积分的结果可以理解为函数图像与x轴所夹的面积，即定积分的结果为面积的代数和。
积分的物理意义：在物理中，积分可以用来计算变力的做功、流体的流量等物理量。
乘积的积分法则
乘积的积分法则：∫(uv)dx = ∫(u)dx * ∫(v)dx 应用场景：适用于两个函数的乘积的积分计算推导过程：根据积分性质，将乘积分解为两个函数的积分相乘注意事项：在使用乘积的积分法则时，需要注意函数的定义域和积分的上下限
微分与积分的基本概念与运算法则
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01 单击此处添加目录标题内容 03 积分的概念 05 积分的运算法则
02 微分的基本概念 04 微分的运算法则 06 微积分的应用
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微分的基本概念
微分是函数在某一点的变化率的近似值
微分的定义
微分是一种线性逼近函数的方法，可以用于估计函数在某点的变化趋势
复合函数的微分法则
乘积法则：描述了两个函数的乘积的导数计算方法

微分的运算法则推导

微分的运算法则有以下几条：1. 常数法则：对于常数c，有d(cx)/dx = c，即常数的导数为0。

2. 乘法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(uv)/dx = u'v + uv'，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。

3. 除法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u/v)/dx = (u'v - uv')/v²，即一个函数除以另一个函数的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，再减去分子函数乘以分母函数的导数，最后除以分母函数的平方。

4. 加法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u + v)/dx = u' + v'，即两个函数的和的导数等于两个函数的导数的和。

5. 减法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u - v)/dx = u' - v'，即两个函数的差的导数等于第一个函数的导数减去第二个函数的导数。

6. 复合函数法则（链式法则）：对于复合函数y = f(g(x))，有dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)，即复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。

7. 幂函数法则：对于函数y = x^n，其中n是常数，有dy/dx = nx^(n-1)，即幂函数的导数等于指数乘以自变量的指数减1次方。

8. 指数函数法则：对于函数y = a^x，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = ln(a) * a^x，即指数函数的导数等于该函数的自然对数乘以原函数。

9. 对数函数法则：对于函数y = log_a(x)，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = 1/(x*ln(a))，即对数函数的导数等于1除以自变量的自然对数和底数的乘积。

G2_4函数的微分

3dy
ln
x2 4

dx

2x x2 4
dx
说明微分记号中的符号d是一个运算符,d( )表示对
括号中的部分进行求微分运算。
例3
求函数y

cos
x当x

6
,x
0.01时微分.
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2.4.1 微分的定义
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解 dy (cos x)dx sin xdx,当x , x 0.01
2x0x (x)2 A 2x0x
A主要部分是比x的高阶无穷小
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引例设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数改变量 y的近似值.
y (x0 x)3 x03 3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 3x02 x. 结论由两个引例可知,线性主要部分(简称线性主部)
2.4.1 微分的定义 2.4.2 微分的公式与计算 2.4.3 微分的几何意义 2.4.4 微分在近似计算中的应用
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2.4.1 微分的定义
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2.4.1 微分的定义
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例1 求函数y x2在x 1处的微分. 解 dy ( x2 ) x1 dx 2 x x1 dx 2dx
3
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2.4.3 微分的几何意义
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2.4.4 微分在近似计算中的应用
由微分的概念知,当f (x0 ) 0 且当 | x | 很小时有

《高等数学》第2章导数与微分

2.2.2 反函数的求导法则
定理如果函数x = f ( y )在区间I y内单调、可导且 f ′( y ) ≠ 0,
内可导, 且有 : 1 dy 1 ( x)] = [f 或 = . f ′( y ) dx dx dy
−1
则它的反函数 y = f −1 ( x)在区间I x = {x | x = f ( x), y ∈ I y } ′
0
引例2 求平面曲线切线的斜率. 导数的几何意义引例解析：解析：
曲线C = f ( x)上一点M ( x0 , y0 ), 其中y0 = f ( x0 ).求曲线C 在点M处的切线斜率. , y ), MN的斜率为在曲线C上另取一点N ( x 则割线MN的斜率为 : y = f (x ) ∆y f ( x) − f ( x0 ) k MN = tan ϕ = = y ∆x x − x0 N 则上当点N沿曲线C趋向于点M即x → x0 , M 式极限即为切线斜率 : ∆y f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) α ϕ k = tan α = lim = lim . ∆x →0 ∆x → 0 o x ∆x ∆x
f −′( x0 ) = ∆x → 0 lim
−
+
在闭区间 [a , b ]上可导 .
若函数 f ( x )在开区间 (a , b )内可导 , 且 f +′(a )及 f −′(b )都存在 , 则 f ( x )
求导步骤
(1)
求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)；
(2)
作比值
能力目标
通过导数与微分的学习，进一步培养学生通过导数与微分的学习，对比分析的思考能力. 对比分析的思考能力.

高等数学第二章导数与微分

x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量处在的点变化 ,它率反映因了变量随自变量而的变变化化的快慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之

9[4]高数(上)2.4微分

cos x ,
d sin x cos xdx ,
d cos x sin xdx ,

cos x sin x ,
tan x sec 2 x ,
cot x csc 2 x ,
d tan x sec 2 xdx ,
d cot x csc 2 xdx ,
dy x 2
x 0.02
3 x 2 x
x 2 x 0.02
3 2 2 0.02 0.24.
通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 dx .
即
dx x
则函数 y f ( x ) 的微分又可记作
dy 从而有： f ( x ). dx
因此, 导数也叫“微商”.
补充例题：( 利用微分求隐函数的导 ) 数
已知：xy e x y 求： dy dx
解：
两边微分 d ( xy ) d ( e x y )
ydx xdy e x y d ( x y ) ydx xdy e x y dx e x y dy ( x e x y )dy ( e x y y )dx
函数的增量由两部分构成：
1、等式右边第一项， x的线性式，是函数增量的主要部分。
2、第二项2 x，当x 0时，是x的高阶无穷小.
1、微分的定义。（P79定义.2）
设函数 y f ( x ) 在某区间内有定义，x0 及x0 x在这区间内，如果函数增量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) 可表示为：
1 x2 1 arctanx , 2 1 x
arccosx
arc cot x

一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则

(x2
1)dx (x 1) (x2 1)2

2xdx

1 (x
2x x2 2 1)2
dx.
例2 设y=x tan x－sin x，求dy. 解 dy d(x tan x sin x)
d(x tan x) d(sin x) tan x dx xd(tan x) cos xdx tan x dx x sec2 x dx cos x dx (tan x x sec2 x cos x)dx.
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体积增量
V (x0 x)3 x03 3x02 x (3x02 (x)2 (x)3 ). 函数增量 V分成两部分，一部分是 x 的线性部分 3x02 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
3x0 (x)2 (x)3 o(x).
微分及其运算
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).

微分公式大全高等数学

微分公式大全高等数学在高等数学中，微分是研究函数的变化率和导数的一门重要内容。

微分公式的正确掌握是学习和应用微分的重要基础。

下面将列举一些常见的微分公式，供大家参考。

1. 基本微分公式（1）常数函数微分：若y=C，C为常数，则dy/dx=0；（2）幂函数微分：若y=x^n，n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)；（3）指数函数微分：若y=a^x，a>0且a≠1，则dy/dx=a^x*lna；（4）对数函数微分：若y=log_a x，a>0且a≠1，则dy/dx=1/(xlna)；（5）三角函数微分：若y=sin x，则dy/dx=cos x；若y=cos x，则dy/dx=-sin x；若y=tan x，则dy/dx=sec^2 x；（6）反三角函数微分：若y=arcsin x，则dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos x，则dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若y=arctan x，则dy/dx=1/(1+x^2)；（7）双曲函数微分：若y=sinh x，则dy/dx=cosh x；若y=cosh x，则dy/dx=sinh x；若y=tanh x，则dy/dx=sech^2 x；（8）反双曲函数微分：若y=arcsinh x，则dy/dx=1/sqrt(1+x^2)；若y=arccosh x，则dy/dx=1/sqrt(x^2-1)；若y=arctanh x，则dy/dx=1/(1-x^2)。

2. 复合函数微分法则（1）链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du*du/dx；（2）乘积法则：若y=u*v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=u*(dv/dx)+v*(du/dx)；（3）商积法则：若y=u/v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2。

3. 隐函数微分若方程F(x, y)=0表示一个隐函数，其中y是x的显含函数，则通过隐函数微分可以求出dy/dx。

微积分2.4 极限的运算法则

2
2 x2
多项式(有理整函数)的极限设
x x0
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an , 则有
x x0
lim f ( x ) lim(a0 x n a1 x n1 1 lim x n1 an1 lim x an
第三节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数极限运算法则
返回
1
第四节极限的运算法则
一、极限的四则运算
定理设lim f ( x) A, lim g ( x) B，则
(1)lim[f (x ) g (x )] A B;
(2)lim[f (x ) g (x )] A B ;
2 x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
10
1 1 2 2 2 x2 x 1 x x 2. 解 lim lim x x 2 x2 2 1 2 x x2 1 例求lim 3 . ( ) x x x 2 解分子分母同时除以x3，然后再求极限，得 1 1 3 x2 1 lim 3 lim x x 0. x x x 2 x 1 2 1 2 3 x x
2
1 x 1 ( 0 ) 例求极限 lim x 0 0 x ( 1 x 1)( 1 x 1) 1 x 1 解 lim lim x 0 x 0 x( 1 x 1) x
x 1 1 lim lim x 0 x ( 1 x 1) x 0 1 x 1 2

2.4函数的微分及其应用

N P
0
四、微分的在近似计算中的应用
在实际问题中，经常利用微分作近似计算. 当函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)≠0，且|Δx|很小时，函数微分可作为函数增量的近似值，有近似计算公式 Δy≈dy=f′(x0)Δx. 或 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx 上式中，令x=x0+Δx，则 f(x)≈f(x0)+f′(x0)Δx.
2 既容易计算又是较好的近似值 y 3 x 0 x . 问题:是否所有函数的改变量都可表示为
yAxo(x) ? 线性函数 Ax 中的 A 是什么?
二、微分的定义如果函数 yf(x) 的增量可表示为 yf(x0x)f(x0)Axo(x) 其中 A 是与 x 无关的常数, 则称函数 yf(x)在点 x0可微. 而 Ax 叫做函数 yf(x) 在点 x0 相应于自变量增量 x 的微分记作 dy 即 dyAx
小结
一、问题的提出——近似计算问题
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x0 ,
A ( x 0 x ) x
2 2 0
x0
x
( x ) 2
x
x 0 x
2
2 A x0
x 0 x
x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .

《高等数学》导数与微分-- 导数的四则运算

《高等数学》导数与微分2 -- 导数的四则运算
y
|x
1
l1)(x 2)(x 100)
x1
x 1
lim x(x 2)(x 3)(x 100) x1
1 (1 2)(1 3)(1100) 99!
简洁美
《高等数学》导数与微分2 -- 导数的四则运算
【例2.2.2】设 y x ln x ，求 y 。
解： y xln x x(ln x) ln x x 1 ln x 1 x
【例2.2.3】设 y x(x 1)(x 2)(x 3) ，求 y |x1 。解： y x(x 1)(x 2)(x 3) x(x 1)(x 2)(x 3)
x(x 1)(x 2)(x 3) x(x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3) x(x 2)(x 3) x(x 1)(x 3) x(x 1)(x 2)
y |x1 1 (1 2) (1 3) 2
如果 y x(x 1)(x 2)(x 100) 呢？
v2 (x)
《高等数学》导数与微分2 -- 导数的四则运算
【证明】（商的法则）设 f (x) u(x) , v(x) 0 v(x)
f (x x) f (x)
因为，极限 lim
x0
x
lim x0
u(x x) u(x) v(x x) v(x)
x
lim u(x x)v(x) u(x)v(x x)
(u v w) u v w
(u v w) uv w u v w u v w
【思考】四个函数乘积的导数等于什么？n个函数乘积的导数呢？
《高等数学》导数与微分2 -- 导数的四则运算
【例2.2.1】设 f (x) x3 3x 4 cosx sin ，求 f (x) 和 f (0) 。

高等数学：第三讲微分的运算法则

例1 已知 y x2ex ，求微分dy.
解 dy d(x2ex )
法二
dy f (x)dx
exd(x2 ) x2d(ex )
f (x) (x2ex )
ex 2xdx x2 exdx 2xex x2ex
(2xex x2ex )dx dy (2xex x2ex )dx
例题：
dy f (x)dx
3 一阶微分形式不变性
谢谢
微分的运算法则
目录
01 微分的基本公式 02 微分的四则运算法则 03 复合函数的微分法则
1.微分的基本公式
由微分公式 dy f (x)dx, 可知：导数的基本公式
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x (cos x) sin x (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
(ax ) ax ln a
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
微分的基本公式
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
d(ax ) ax ln adx
d(ex ) exdx
d(loga
x)
1 x ln
a
dx
d(ln x) 1 dx x
微分的基本公式
d(C) 0
d(x ) x1dx
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
1.微分的基本公式
导数的基本公式
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x

2.4 函数的微分

式保持 dy f u du 不变．这一性质称为微分形式不变性．
例2 设 y x 2 , 求 dy .
2 3
解（方法一）令 y u3 , u x 2 2, 则利用微分形式不变性，可得
2 2 2 2 dy u du 3u d x 2 3 x 2 2 x dx
解（1）由微分的定义可得
2 dy x 3 dx 3 x dx.
（2）将 x 2, x 0.1代入（1）的结果，可得
2 dy x 2 3 x 2dx x 2 3 2 0.1 1.2.
dx 0.1
dx 0.1
3
y x 2
x 0.1
1. 基本初等函数的微分公式
(3) d a x a x ln adx 1 (5) d log a x dx x ln a (7) d sin x cos xdx
(1) dC 0 （C 为常数）
(4) d e x e x dx 1 (6) d ln x dx x (8) d cos x sin xdx
0
（充分性）函数 y f ( x ) 在点 x0可导，即 y lim f x0 x 0 x 存在. 根据极限与无穷小的关系，上式可写成 y f x0 , x 其中 0 （当 x 0 时），从而
y f x0 x x f x0 x o x ,
2.4.4 微分公式与微分运算法则
3. 复合函数的微分法则
设 y f (u), u g( x ) 均可导，则复合函数 y f [ g( x )] 的微分为
dy y xdx f u g x dx f u du.

高等数学大学数学——微分讲解

球壳体积为DV，用dV作为其近似值 dV f (r)dr 4 r 2 dr 4 52 ( 1 ) 19.63。 16
所求球壳体积为|DV|的近似值|dV|为19.63立方厘米。
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近似公式： Dyf(xDx)f(x)dyf (x)Dx， f(xDx)f(x)f (x)Dx。
x
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三、微分法则
基本初等函数的微分公式：
d(xm) m x m1dx，
d(log
aax)
x
1 ln
a
dx，
d(sin x) cos xdx， d(cos x) sin xdx， d(tg x) sec2xdx，
d(ln x) 1 dx， x
dd((aarrccssiinnxx)) 11 ddxx，， 11 xx22
分为
dyf (u)du或dyyudu。
微分形式的不变性：
由复合函数的微分法则可见，无论u是自变量还是
另一个变量的可微函数，微分形式dy f (u)du保持不变。
这一性质称为微分形式不变性。
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复合函数的微分法则：dyf (u)du或dyyudu。例31．设 y e axbx2 ，求 dy。解法一：利用dyydx得 dy (e axbx2 )dx e axbx2 (ax bx 2 )dx (a 2bx)e axbx2 dx 。
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DxDx0 0dydy DxDx0 0 AADDx x
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高教社2024高等数学第五版教学课件-2.5 函数的微分

故 = ′ (0 ) ⋅ + ⋅ .
当 → 0时，第一项 ′ (0 ) ⋅ 是的线性函数，第二项 ⋅ 是当
→ 0时比高阶的无穷小量.所以就近似等于 ′ (0 ) ⋅ ,即
∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ .
例5 当一块正方形金属薄片受到温度变化的影响时，其边长会发生
例1 已知函数 = 2 ，求当 = 1， = −0.01时的微分与增量.
解
= ′ |=1 ⋅ = 2|=1 ⋅ = 2 × 1 × (−0.01) = −0.02.
= (1 − 0.01)2 − 12 = −0.0199.
可见 ≈ .
2．微分的几何意义
利用公式∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ ，得到金属薄片面积的改变量
∆ ≈ ′ 0 ⋅ = 20 × 0.1 = 2cm2 .
2
近似计算( + )
由 = (0 + ) − (0 )可得
0 + ∆ − (0 ) ≈ ′ (0 ) ⋅ ，
第二章导数与微分
第五节函数的微分
在实际问题中，我们经常要计算当自变量有一微小增
量时，相应的函数的增量的大小. 如果函数比较复
杂，那么计算函数的增量 = (0 + ) − (0 )也会很
复杂.能否找到一个既简单，又有较高精确度的计算近
似值的方法，就是我们即将要讨论的微分.
(13) ( ) =
( )′
=
1
1
1
1−
1

1+ 2
1
( ) =
1 + 2
′

2
− 2
(15) ( ) =
(12) ( ) = −

应用高等数学2-4-文档资料

d ( c o s x ) s i n x d x .
2 d ( t a n) x= s e c xx d .
2 ( c o t x ) c s c xx d . (10) d
( s e c x )s e c xx t a n d x . (11) d
( c s c x ) c s c xx c o t d x . (12) d
0 0 0
得
f ( x x ) f ( x ) f ' ( x ) x .
0 0 0
) 在 x 附近的近利用上述公式，可以求函数 yf(x
0
似值．
例5 求 sin31 的近似值．
i n 3 1 s i n ( 3 0 1 )s i n , 解 s 61 8 0 设 f( x ) sin x , 并取 x0 , x . 因为 6 180
x 0时的无穷小. 但它比 x 0 的速度快，事实
2 ( x ) l i m l i m x 0 . 这时我们称 (x) 是 x 上有 x 0 x 0 x
2
2 ( x ) o ( x ) . 于是的高阶无穷小，记作 o ( x ) , 即
化吗？
x 当 x 2 , x 0 . 01 例1 求函数 y 时的增量及微分.
3
3 3 y ( 20 . 0 1 ) 2 0 . 1 2 0 6 0 1 . 解 x 2 x 0 . 0 1
3 2 d y ( x ) x 3 x x ,
解要求铜的质量，应先求出镀层的体积．因为镀层的体积等于两个球体积之差，所以它就是球体体积

同济大学高等数学2.4微分中值定理

例1 求下列极限：
x sin x
(1) lim x0
x3
解
lim x sin x
x0
x3
lim 1 cos x x0 3x 2
lim sin x 1
x0 6x
6
arct anx
(2) lim 2
x
1
解
x arct anx
lim 2
lim
x
1
x
x
1
1 x
2
1 x2
1
x sin x
推论1 若函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为 0, 则 f (x) 在 I 上是一个常数。
事实上，对 I 上任意两点 x1 , x2 (x1 x2 ) ，有
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 )
0
推论 2 若在区间 I 上 f (x) g(x)
由罗尔定理，方程 f (x) 0 分别在(1 ,2)， (2 , 3) ,
(3 , 4) 内至少有一个实根。但 f ( x) 是三次多项式， f (x) 0 至多有三个实根，因而 f (x) 0 恰好有三
个实根，它们分别在区间(1 ,2)，(2 ,3)，(3 ,4) 内。
例 2 设函数 f 在 0,1上连续，在(0,1)内可导，f (1) 0
例 3 设f (x)在(a,b)内可导，且f (x1) f (x2 ) 0，
其中a x1 x2 b，证明： (x1, x2 )，使 f ( ) f ( ) 0
证明：令 g(x) e x f (x)，则
g(x1 )
g(x2 )
0，g
(
x
)
C[

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第二章导数与微分
函数的微分及其应用
一、微分概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式及其运算法则四、微分在近似计算中的应用
一、微分概念
例1、一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由
x0变到 x0 x （如下页图），问此薄片的面积改变了多少？
解:设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A 是 x 的函数： A x2 ，薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当自变量 x 自 x0取得增量 x 时，函数 A 相应的增量 A，即
解体积的改变量
V 4 π(r r)3 4 πr3 4πr 2r 4πr(r)2 4 π(r)3,
内物体运动的速度的变化也很小.因此，在这段时间内，物体
的运动可以近似地看作速度为 s(t ) 的匀速运动，于是路程改变
量的近似值为s s(t)t .
一般地，设函数 y f (x)在点 x 处可导，对于 x 处的改变
量x ，相应地有改变量y ．
由 lim y f (x) ，根据极限与无穷小的关系，我们有 x0 x
例 1 求函数 y = 2ln x在x 处的微分，并求当 x = 1 时的微分(记作dy | x = 1).
解因为所以
y 2 1 ， x
dy 2 dx ， x
dy |x1
2 dx x
x 1

2dx.
例 2 求函数 y x2 在 x 1, x 0.1时的改变量及微分．
x0 x x0
x
,
即
y f (x)x o(x) .
定义若函数 y f (x)在点 x 处的改变量
y f (x x) f (x)可以表示成 y Ax o(x).
其中o(x) 为比x(x 0)高阶的无穷小，则称函数 f (x)在点 x 处可微，并称其线性主部 Ax 为函数 y f (x) 在点 x 处的微分，记为 dy 或 df (x) ，即 dy Ax 且有 A f (x) ，这样dy f (x)x ．
即 A 2x0x. 有此式作为 A的近似值，略去的部分
(x)2 是比 x高阶的无穷小，即
lim (x)2 lim x 0 ,
x0 x
x0
又因为 A(x0 ) (x2 ) xx0 2x0，
所以有 A A(x0 )x .
x0 x A x02 x0
A (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 , 从上式可以看出，A可分成两部分：一部分是2x0x ，它是x 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；另一部分是(x)2 ，在图中是带有交叉线的小正方形的面积．显然，如图所示，2x0x 是面积增量A的主要部分，而(x)2 是次要部分，当| x |很小时(x)2 部分比2x0x 要小得多．也就是说，当 | x |很小时，面积增量A 可以近似地用2x0x 表示，
2
2
2
上式右边第一部分是 t 的线性函数，第二部分当t 0
时是一个比 t 高阶的无穷小量，因此，当 | t |很小时，我们
可以把第二部分忽略，而得到路程改变量的近似值 s gtt ,
又因为 s

1 2
gt 2

gt
,所以
s s(t)t .
事实上，上式表明当 | t |很小时，从 t 到 t t 这段时间
dx
由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，即 f (x) dy ，正因为这样，导数也称为＂微商＂，而微分
dx 的分式dy 也常常被用作导数的符号．
dx
说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与 x 有关，而微分的值与 x 和x 都有关．
由上面的讨论和微分定义可知：一元函数的可导与可微是等价的，且其关系为dy f (x)x ．当函数 f (x) x 时，函数的微分df (x) dx xx x即dx x ．因此我们规定自变量的微分等于自变量的增量，这样函数 y f (x) 的微分可以写成 dy f (x)x f (x)dx ,或上式两边同除以 dx ，有dy f (x) .
y f (x) （其中为无穷小）， lim 0.
x
x0
于是 y f (x)x x .
而上式右端的第一部分 f (x)x是 x的线性函数；第二部分，
因为 lim ax 0，所以第二部分是比 x 高阶的无穷小，因此 x0 x
当| x |很小时，第二部分可以忽略，于是第一部分就成了 y的
主要部分，从而有近似公式 y f (x)x ,通常称 f (x)x 为
y的线性主部．反之，如果函数的改变量 y可以表示成
y Ax o(x) （其中 lim o(x) 0）,
x0 x则有Fra biblioteky A o（x）,
x
x
这样
lim y lim A o（x） A
解 y (x x)2 x2 1.12 12 0.21．
在点 x 1处， y x1 2x x1 2，
所以
dy yx 2 0.1 0.2 .
例 3 半径为 r 的球，其体积为V 4 πr3，当半径增 3
大r 时，求体积的改变量及微分．
x 2
x x0
x
例２求自由落体由时刻 t 到 t t 所经过路程的近似值．
解自由落体的路程 s 与时间 t 的关系是s 1 gt 2 ，当时 2
间从 t 变到t t 时，路程 s 有相应的改变量
s 1 g(t t)2 1 gt 2 gtt 1 (t)2,