《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业1
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学详解
人教A版 ·数学 ·选修1-2
第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
探究3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅 1＋i 1 速简捷、少出错的效果．比如(1± i)2＝± 2i， i ＝－i， ＝i， 1－i 1－i a＋bi 1 3 1 3 ＝－i， ＝b－ai，(－ ± i)3＝1，( ± i)3＝－1，等 i 2 2 2 2 1＋i 等．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【解析】
i1－i 1＋i 1 1 i 因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点(2，2)在第一象限．故选A.
【答案】 A
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
题型二 共轭复数
) 要点2 设z＝a＋bi，那么z的共轭复数 z ＝ a－bi(a，b∈R．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
1．复数乘法满足怎样的运算律？
答：①z1· z2＝z2· z1；②(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)；③z1(z2＋z3)＝z1· z2 ＋z1· z3
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 3 1 (2)(－ 2 －2i)12＋( )8. 1－ 3i
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
高考调研北师大版数学必修51-2-1.2高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
1．等差数列的公差与直线斜率的关系． 答：(1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k ＝f（x2）x2－－fx（1 x1）(x1≠x2)．当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上 式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，如 am，an 是 等差数列{an}的任意两项，由 an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜 率公式得 d＝ann－－mam.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 设四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，
①
（a－d）（a＋d）＝40.
②
由①，得 a＝123.代入②，得 d＝±32.
∴四个数为 2，5，8，11 或 11，8，5，2.
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又∵c1＝11，∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399， ∴cn＝12n－1≤302，即 n≤25.25.又∵n∈N*， ∴所给两数列共有 25 个共同项．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
探究 3 在方法一中为什么 an＝bm，而不是 an＝bn？这是因 为 an＝bn 的意思是数列{an}和数列{bn}中的序号及数值都分别相 等的项，这就歪曲了题意，题目只能要求数值相等即可，在方法 二中，要注意 cn 是{an}与{bn}的共同项，因此，cn≤b100，而 a100 ≤302＜b100，因此，只要，cn≤302.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
探究 2 在等差数列中，若下标成等差，则项成等差．
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业3
课时作业(三)一、选择题1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2009为( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 D3．已知如图，则第n 个图形中小圆圈的个数为( )A ．2nB ．n 2C ．n 2－n ＋1D ．n 2－n答案 C4．(2010·泰安一中期中)已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2.依照以上各式的规律得到( ) A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋1)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＝n ＋5(n ＋5)－4＝2 答案 A 二、填空题5．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________． 答案 n 2＋n解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .6．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于20092.解析 规律：第n 行第一个数为n ，且第n 行共有2n －1个连续正整数，故由(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2×1＝20092，∴n ＝1005.7．对于正数a1，a2，…，a n，若(a1＋a2)(1a1＋1a2)≥4，(a1＋a2＋a3)(1a1＋1a2＋1a3)≥9，猜想(a1＋a2＋…＋a n)(1a1＋1a2＋…＋1a n)≥________.答案n28．(2009·徐州高二检测)观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．(不必化简结果)．答案1－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)9．(2009·鞍山高二检测)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．则f(4)＝________；f(n)＝________.答案373n2－3n＋110．(2010·福建信息卷)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20092的格点的坐标为________．解析 ∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1005,1004)处标20092.答案 (1005,1004)11．(2010·四川眉山)已知数列{a n }的第1项a 1＝1且a n ＋1＝a n1＋a n(n＝1,2，……)，试归纳出这个数列的通项公式．解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.……猜想：a n ＝1n (n ＝1,2，……)三、解答题12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，试归纳出这个数列的通项公式．思路分析 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前n 项．解析 当n ＝1时，a 1＝1，当n ＝1时，有2a 22－1＋a 2＝0，解得a 2＝12>0， 当n ＝2时，有3a 23－2·(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0.∵a 3>0，解得a 3＝13.于是猜想数列的通项公式为a n ＝1n.13．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.分析 写出a 1，a 2，a 3，a 4，观察所得数与项数n 之间的规律． 解析 (1)由已知有a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜测出a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a .(n ≥2)(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1， ∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜测出a n ＝2n －1.14．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)．求出a 1、a 2、a 3并推测a n .思路分析 先由a 1＝S 1，求出a 1，再由当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1得出a n 和a n －1的递推关系，进而求出a 2、a 3，然后由a 1、a 2、a 3归纳出a n 的表达式．解析 由S 1＝12(a 1＋1a 1)，即a 1＝1a 1，又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，由S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)．相减，得a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，整理，得a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．∴a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，∴a 2＝2－1； 同理得a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， ∴a 3＝3－2， 可推测a n ＝n －n －1.。
高考调研衡水重点中学同步精讲精练数学必修52 4 1
要点 1 等比数列的概念
如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的 比 等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
要点 2 通项公式
(1)等比数列的通项公式 an＝ a1·qn－1 . (2)公式的推广： an＝am· qn－m .
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
新课标 A版 ·数学 ·必修5
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第二章 数 列
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第二章 数 列
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2．4 等比数列(第一课时 ) 等比数列的概念及通项公式
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第二章 数 列
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授人以渔
课后巩固
课时作业
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第二章 2.4 第一课时
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要点 3 等比中项
(1)定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 为 等比数列 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
(2)关系式： G2＝ab，即 G＝ ± ab .
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
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1．等比数列中是否有等于 0 的项？公比是否能为 0? 答：没有；不能．
??a
?
??a
1＋a 3＝5， 1a 3＝4，
解得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1.
当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12.
故 a n＝2n－1 或 a n＝23－n.
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第二章 2.4 第一课时
高考调研
高考调研北师大版数学必修51-3-1.1高考调研精讲精练
请做：课时作业（七）
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
题型三 等比中项
例 4 (1)(2015·石家庄高二检测)等比数列{an}中，a1＝18，q
＝2，则 a4 与 a8 的等比中项是( A．±4) B．4 NhomakorabeaC．±14
1 D.4
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 由 an＝18·2n－1＝2n－4 知，a4＝1，a8＝24，所以 a4 与 a8 的等比中项为±4.
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【解析】 (1)由等比数列的通项公式，得 a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为 q， 那么aa11qq25＝＝21060，解得qa1＝＝25，， 所以 an＝a1qn－1＝5×2n－1.
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●思考题 2 (1)等比数列{an}中，a1＝89，an＝31，公比 q＝32， 则 n＝________．
【答案】 A
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2 ＋c2 的等比中项．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均 不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋ bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
高考调研北师大版数学必修51-3-2.1高考调研精讲精练
因为 q≠0，所以 2q6－q3－1＝0. 所以(q3－1)(2q3＋1)＝0.
3
因为
q≠1，所以
q3＝－12，所以
q＝－
4 2.
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课后巩固
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
1．等比数列{2n}的前 n 项和 Sn＝( )
A．2n－1
B．2n－2
C．2n＋1－1
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
探究 2 (1)“知三求二”的实质是方程思想． (2)当已知 a1，q(q≠1)及 n 时，用公式 Sn＝a1（11－－qqn）求和 比较方便；当已知 a1，q，an 时，则用公式 Sn＝a11－－aqnq求和．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
2．假如一个人得到了一条消息，他偷偷告诉了两个朋友，1 小时后这两个朋友又各自偷偷告诉了自己的两个朋友，如果每个 得到消息的人在 1 小时内把这一消息告诉两个朋友，计算一下， 24 小时后至多有多少人知道了这条消息？
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探究 3 若未证明{an}是递增数列，则 an 未必是前 n 项中值 最大的项．等比数列{an}，若 a1＞0，则 0＜q＜1 时是递减数列； q＞1 时是递增数列，q<0 时是摆动数列，这个结果是有用的．
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●思考题 3 在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36， Sn＞400，求正数 n 的取值范围．
衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)2-1-1
思考题 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，34，78，1156，3312，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)0,1,0,1,0,1，…； (4)－1，32，－13，34，－15，36，…； (5)3,33,333,3 333，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
探究 1 数列的主要特征是有序性，观察数列的前 n 项的变 化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数 列性质的重要方面．
1．{an}与 an 有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而 an 表示数列的第 n 项．
2．数列与数集有何区别？
答：集合中的元素具有确定性，无序性和互异性，而数列中 的数是按一定次序排列的，同一个数在数列中可以重复出现．次 序对于数列来说是十分重要的，有几个不同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不同．
(4)13，1，95，83，….
新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案
新人教版高中数学必修5全册同步课时作业（含解析答案）目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时）正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组）表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a＋b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a＋b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理（第1课时）1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A答案 D2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B b，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析 由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析 由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析 由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________． 答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析 由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形． 解析 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析 依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________． 答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案 等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案 直角三角形 解析 由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状． 解析 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)， 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析 设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)． 故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析 由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析 由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析 方法一 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二 运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________． 答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2， 由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析 由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12， 由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析 在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析 在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案 救船到达D 点需要1小时．解析 由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析 由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析 由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 方法一 由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二 由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评 方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析 若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析 由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号， 所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )． 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析 根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。
高考调研北师大版数学必修51-1-2高考调研精讲精练
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●思考题 2 已知数列{an}的通项公式 an＝2n－53，则此数列
为( )
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
【答案】 A
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题型三 求数列的最大项 9n（n＋1）
例 3 已知 an＝ 10n (n∈N*)，试问数列{an}中有没有 最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
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探究 2 函数的性质在数列中的应用： (1)数列是特殊的函数，数列的项数和项类似于函数的定义域 和值域中的元素，通项公式类似于函数解析式． (2)可以利用研究函数的方法研究数列的相关性质，如单调 性，但要注意数列中定义域为从 1 开始的无穷正整数集或其一部 分组成的集合．
π 2π 3π B．sin 7 ，sin 7 ，sin 7 ，… C．－1，－12，－41，－18，… D．1， 2， 3，…， 21
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答案 C 解析 D 是有穷数列，A 是递减数列，B 是摆动数列，故选 C.
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4．若数列{an}的通项公式 an＝－58＋16n－n2，则( ) A．{an}是递增数列 B．{an}是递减数列 C．{an}先增后减，有最大值 D．{an}先减后增，有最小值
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答案 3 解析 对于①，令 an＝n（n＋1 2）＝1120，则 n＝10，易知最 大项为第一项，①正确；对于②，an＝kn－5 且 a8＝11，则 k＝2， an＝2n－5，故 a17＝34－5＝29，②正确；对于③，an＋1＝an＋3 得 到 an＋1－an>0，故③正确．
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业4
课时作业(四)一、选择题1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案 D2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D3．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案 D4．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5答案 C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是重心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心答案 D二、填空题6．正方形面积为边长的平方，则立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案正方体正方体的体积为边长的立方7．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________．答案夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题8．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________________________________________ ____________________；②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数9．如图(1)有关系S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，如图(2)有关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________解析 P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC10．(2010·浙江舟山)已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题________．解析 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B＝1e 11．如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 之间满足的关系式是________．思路分析 常用方法：(1)将点扩展为线；(2)将线(边长)扩展为面(面积)；(3)将面(面积)扩展为体(体积)．解析连结DO 延长交BC 于E ，连AE .∵AD ⊥面ABC ∴AD ⊥BC ∵AO ⊥面ABC ∴AO ⊥BC ∴BC ⊥面ADO 即：BC ⊥面ADE ∴BC ⊥AE△ADE 中由射影定理得：AE 2＝EO ·ED∴(12BC ·AE )(12BC ·AE )＝(12BC ·EO )(12BC ·ED )∴S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD 12．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.答案 30三、解答题13．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin20°·sin40°＝34； sin 228°＋sin 232°＋sin28°·sin32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．解析 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝12，sin60°＝32，∴归纳到一般有：“若α＋β＝γ，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2γ”．14．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立；猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析 在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2(n －2)π·(n ≥3)。
高考调研北师大版数学必修51-2-2.1高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
题型三 含绝对值的等差数列的前 n 项和 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－，bn＝|an|，求 数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝2n2－23n－2(n－1)2＋23(n－1) ＝4n－25， 令 n＝1，a1＝S1＝－21， ∴an＝4n－25，∴an－an－1＝4. ∴{an}为等差数列．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
课后巩固
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则 a1＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
2．若一个等差数列的首项为 0，公差为 2，则这个等差数列
的前 20 项之和为( )
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
答：确定了，理由如下：
数列{an}的前 n 项和为 Sn，项 an 与和 Sn 之间的关系：
当 n＝1 时，S1＝a1；
当 n≥2 时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
①
Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，
②
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
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答案 35 解析 设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列 仍为等差数列且 c1＝7，c3＝21，则 c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35， 即 a5＋b5＝35.
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《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练数学必修5112 .ppt
1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余 弦 定 理
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝ a2＋c2－2accosB ， c2＝ a2＋b2－2abcosC .
题型四
判断三角形的形状
例 4 在△ABC 中，cos2A2＝b＋ 2cc(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，判断△ABC 的形状．
【解析】 方法一 在△ABC 中，∵cos2A2＝b＋ 2cc， ∴1＋2cosA＝2bc＋12，∴cosA＝bc. 又由余弦定理知 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋2cb2c－a2＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2.∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形．
பைடு நூலகம்
探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
思考题 4 (1)在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，能判断△ ABC 的形状吗？
(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
课后巩固
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列
等式不成立的是( ) A．a2＝b2＋c2－2bccosA C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 答案 D
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-1-2 (2).ppt
cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝
2 2(
23－12)
＝14(
6－
2)，所以 b2－2b(
6＋
2)cos75°＝b2－2b(
6＋
1 2)·4(
6
－ 2)＝b2－2b＝0，解得 b＝2 或 0(舍去)．故选 A.
课时作业（三）
∴a＝3.
探究 2 三角形中已知两边和一角，有两种解法．可比较两 种解法，从中体会各自的优点，从而摸索出适合自已思维的解题 规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于 a 的等量关系建立方 程，运用解方程的方法求出 a 边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
思考题 2 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、
6＋ 4
2，
sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
又 b>a，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得 sinA＝acsinC＝
2 6－
× 2
6－ 4
2＝12.∴A＝30°.
方法二
方法二 (边化角) ∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)． 又∵2cosA·sinB＝sinC， ∴2cosA·sinB＝sinA·cosB＋cosA·sinB. ∴sin(A－B)＝0. 又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，∴A＝B. 又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得
b、c，若 A＝3π，a＝ 3，b＝1，则 c 等于(
)
高考调研北师大版数学必修51-3-1.2高考调研精讲精练
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
●思考题 3 三个互不相等的数成等差数列，若适当排列三 个数，又可成为等比数列，这三个数的和为 6，则这三个数为 ________．
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授人以渔
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
题型一 等比数列的性质 例 1 (1)在等比数列{an}中，已知 a4a7＝－512，a3＋a8＝124， 且公比为整数，求 a10. (2)若{an}为等比数列，且 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
1．等比数列的单调性． 答：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1(a1q≠0)， 当 a1>0，q>1 时，等比数列{an}是递增数列； 当 a1<0，0<q<1 时，等比数列{an}是递增数列； 当 a1>0，0<q<1 时，等比数列{an}是递减数列； 当 a1<0，q>1 时，等比数列{an}是递减数列； 当 q<0 时，等比数列{an}是摆动数列；当 q＝1 时，等比数列{an} 是常数列．
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题型三 等比数列与等差数列的综合问题
例 4 (1)已知等比数列{an}满足 a1＝3，且 4a1，2a2，a3 成等 差数列，则此数列的公比等于( )
A．1
新课标版数学必修五(A版)单元卷1高考调研精讲精练
第一章 章末测试卷(A)[时间：120分钟 满分：150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，下列等式不成立的是( ) A ．c ＝a 2＋b 2－2abcosC B.a sinA ＝bsinB C ．asinC ＝csinA D ．cosB ＝a 2＋c 2－b 22abc答案 D解析 很明显A ，B ，C 成立；由余弦定理得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以D 不成立．2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 答案 B解析 由S △ABC ＝33＝12×3×4sinC ，得sinC ＝32，又角C 为锐角，故C ＝60°.3．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27 D ．27 答案 B解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝76，所以b ＝219. 4．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 答案 D解析 由正弦定理得a sinA ＝b sinB .所以sinB ＝b a sinA ＝434sin30°＝32.又a<b ，则A<B ，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2，则三角形的最大内角是( ) A ．135° B ．120° C ．60°D ．90°解析a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，则长为a 2＋ab ＋b 2的边所对的角最大．由余弦定理，得cos α＝a 2＋b 2－（a 2＋b 2＋ab ）2ab ＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B解析 由p ∥q ，得(a ＋c)(c －a)＝b(b －a)，则b 2＋a 2－c 2＝ab.由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，所以C ＝π3. 7．在△ABC 中，已知a ＝2bcosC ，那么△ABC 的内角B ，C 之间的关系是( ) A ．B>C B ．B ＝C C ．B<C D ．关系不确定答案 B8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 答案 B9．在△ABC 中，cosAcosB>sinAsinB ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 答案 C10．在△ABC 中，已知sinB ＝1，b ＝3，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定 答案 D11．在△ABC 中，若A<B<C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( ) A ．8，10 B ．10，10 C ．8，12D ．12，8解析 ∵C ＝2A ，∴sinC ＝sin2A ＝2sinA ·cosA. 由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a·100＋c 2－a 22×10c，将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得c ＝10(舍去)或c ＝12，∴a ＝8. 12．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cosA ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155D ．6 3答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0，b 2－c 2＝c 2＋bc ， 即b －c ＝c ，b ＝2c.cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－64c 2＝78，得c 2＝4，c ＝2，b ＝4.又sinA ＝158， ∴S ＝12bcsinA ＝12×2×4×158＝152.故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________． 答案 4 2解析 B ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a ＝sinA sinB b ＝sin30°sin45°×8＝4 2. 14．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________． 答案725解析 由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sinC ＝12，即12×8×5×sinC ＝12，则sinC ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.15．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为________m ，乙楼高为________m. 答案 2034033解析 如图所示，甲楼高为AB ，乙楼高为CD ，AC ＝20 m.则在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝20(m)，所以AB ＝ACtan60°＝203(m)，在△BCD 中，BC ＝40(m)，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC ＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，所以CD ＝sin ∠CBD sin ∠BDC BC ＝4033.16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________． 答案 60°解析 由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DCsin60°＝3－ 3.所以DC ＝2(3－1)．又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点， 则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1， 所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ， 所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3， 所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋ 3.所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cosBcosC －sinBsinC ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解析 (1)∵cosBcosC －sinBsinC ＝12，∴cos(B ＋C)＝12.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A)＝12.∴cosA ＝－12.又∵0<A<π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cosA. 则(23)2＝(b ＋c)2－2bc －2bc·cos2π3. ∴12＝16－2bc －2bc·⎝⎛⎭⎫－12.∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝12bc ·sinA ＝12×4×32＝ 3.18．(12分)在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cosC ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长． 解析 (1)由cosC ＝255，得sinC ＝55.sinA ＝sin(180°－45°－C)＝22(cosC ＋sinC)＝31010. 由正弦定理，知BC ＝AC sinB ·sinA ＝1022×31010＝3 2. (2)AB ＝AC sinB ·sinC ＝1022×55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理，知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cosB ＝1＋18－2×1×32×22＝13.19．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sinB ＝13.(1)求sinA 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解析 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0<A<π4.故cos2A ＝sinB ，即1－2sin 2A ＝13，sinA ＝33.(2)由(1)得cosA ＝63. 又由正弦定理，得BC sinA ＝AC sinB ，BC ＝sinAsinB ·AC ＝3 2.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sinC ＝12AC ·BC ·cosA ＝3 2.20．(12分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c ，0)． (1)若c ＝5，求sinA 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围． 解析 (1)方法一：∵A(3，4)，B(0，0)， ∴|AB|＝5，sinB ＝45.当c ＝5时，|BC|＝5，|AC|＝（5－3）2＋（0－4）2＝2 5.根据正弦定理，得|BC|sinA ＝|AC|sinB ⇒sinA ＝|BC||AC|·sinB ＝255. 方法二：∵A(3，4)，B(0，0)，∴|AB|＝5. 当c ＝5时，|BC|＝5，|AC|＝（5－3）2＋（0－4）2＝2 5. 根据余弦定理，得cosA ＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|＝55.sinA ＝1－cos 2A ＝255.(2)已知△ABC 顶点坐标为A(3，4)，B(0，0)，C(c ，0)， 根据余弦定理，得cosA ＝|AB|2＋|AC|2－|BC|22|AB||AC|.若∠A 是钝角，则cosA<0⇒|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c －3)2＋42]－c 2＝50－6c<0，解得c>253.21．(12分)如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60 °，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B ，D 间的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解析 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°， 所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA. 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝ACsin60°sin15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 (km)．故B ，D 间的距离约为0.33 km.22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足cosB cosC ＋b c ＝2ac .(1)求角C 的大小；(2)若边长c ＝3，求a ＋2b 的最大值．解析 (1)因为cosB cosC ＋b c ＝2ac，故cosBsinC ＋sinBcosC ＝2sinAcosC.也即sinA ＝2sinAcosC ，又sinA ≠0，所以cosC ＝12.又C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)a ＋2b ＝c sinC (sinA ＋2sinB)＝2[sin(B ＋C)＋2sinB]＝2⎣⎡⎦⎤12sinB ＋32cosB ＋2sinB ＝5sinB ＋3cosB ，令cos φ＝528，sin φ＝328，则a ＋2b ＝28sin(B ＋φ)，当B ＋φ＝π2时，(a ＋2b)max ＝28＝27.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业1
课时作业(一)一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的棱长和体积 B ．角的弧度数和它的正弦值 C ．速度一定时的路程和时间 D ．日照时间与水稻的亩产量 答案 D解析 因为相关关系就是两个变量之间的一种非确定性关系，故可由两个变量之间的关系确定答案．A ，B ，C 均确定性关系，即函数关系，而D 中日照时间与亩产量的关系是不确定的．故选D.2．若回归直线方程中的回归系数b ∧＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定答案 C解析 注意两个系数之间的联系.b ∧＝∑i ＝1nx i y 1－n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，r ＝∑i ＝1nx i y 1－n x y(∑i ＝1nx 2i －nx 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)，两个式子的分子是一致的，当b ∧＝0时，r 一定为0.故选C.3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25答案 A解析相关指数R2的取值范围为[0,1]其中R2＝1，即残差平方和为0，此时预测值与观测值相等，y与x是函数关系，也就是说在相关关系中R2越接近于1，说明随机误差的效应越小，y与x相关程度越大，模型的拟合效果越好．R2＝0，说明模型中x与y根本无关．故选A.4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()A.y∧＝x＋1B.y∧＝x＋2C.y∧＝2x＋1D.y∧＝x－1答案 A5．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①答案 D解析根据线性回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行线性回归分析时，应先收集数据(x i，y i)，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回归方程作出解释，因此选D.6．若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性关系还要进一步确定D．不确定答案 B7．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y∧＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是() A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90% D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%答案 C解析当x＝37时，y∧＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.8．(09·海南)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案 C二、填题空9．已知回归直线的斜率的估计值是1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．答案y∧＝1.23x＋0.08解析由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y∧－5＝1.23(x－4)，即y∧＝1.23x＋0.08.10．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i ＋a＋e i(i＝1,2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．答案 1解析由e i恒为0知y i＝y∧i，即y i－y∧i＝0，故R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2＝1－0＝1.11．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．答案13较强的解析由表中所给的数据知所求的中位数为13，画出x与Y的散点图知它们有较强的线性相关关系．12．为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．答案(0,1)解析相关指数R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2.R2的取值范围是[0,1]．当R2＝0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y 没有任何关系；当R2＝1时，即残差平方和为0，x与y之间是确定的函数关系．其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1)．13．若某函模型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．答案 1 780 1 691解析R2＝1－残差平方和总偏差平方和，0．95＝1－89总偏差平方和，∴总偏差平方和为1 780.回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.14．已知两个变量x与y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下：那么变量y答案y∧＝0.575x－14.9解析由线性回归的参数公式可求得b∧＝0.575，a∧＝－14.9，所以回归方程为y∧＝0.575x－14.9.三、解答题15．某产品的广告费用支出x与销集额y(单位：百万元)之间有如下统计数据：请对上述变量解析由题意可以列表如下：r ＝1 380－5×5×50(145－5×52)(13 500－×5×502)≈0.92， 查表得r 0.05＝0.878.因为r >r 0.05，说明广告费用和销售额之间具有显著的线性相关关系．16．一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解析 (1)x ＝12.5，y ＝8.25.∑i ＝14x i y i ＝438,4x y＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14y 2i ＝291，所以r＝∑i＝14x i y i－4x y(∑i＝14x2i－4x2)(∑i＝14y2i－4y2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995.因为r>0.75，所以y与x有线性相关关系．(2)y∧＝0.728 6x－0.857 1.(3)要使y∧≤10，即0.728 6x－0.857 1≤10，所以x≤14.901 3.所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下．17．(07·广东高考)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y∧＝b∧x＋a∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析 (1)图形如图所示．(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5； y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5； ∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. ∴b ∧＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.5＝0.7，a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤 y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．对于x 与y 有如下观测数据：(1)(2)对x 与y 作回归分析； (3)求出y 与x 的回归直线方程；(4)根据回归直线方程，预测y ＝20时x 的值．解析 解决有关线性回归问题的一般步骤是：散点图→相关系数→回归方程．答案 (1)作出散点图，如图(2)作相关性检验．x ＝18×(18＋25＋30＋39＋41＋42＋49＋52)＝2968＝37， y ＝18×(3＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7，∑i ＝18x 2i ＝182＋252＋302＋392＋412＋422＋492＋522＝11920， ∑i ＝18y 2i ＝32＋52＋62＋72＋82＋82＋92＋102＝428，∑i ＝18x i y i ＝18×3＋25×5＋30×6＋39×7＋41×8＋42×8＋49×9＋52×10＝2257，∑i ＝18x i y i －8x y ＝2257－8×37×7＝185，∑i ＝18x 2i －8x 2＝11920－8×372＝968，∑i ＝18y 2i －8y 2＝428－8×72＝36，∴r ＝∑i ＝18x i y i －8x y(∑i ＝18x 2i －8x 2)(∑i ＝18y 2i －8y 2)＝185968×36≈0.991. 由于r ＝0.991>0.75，因此，认为两个变量有很强的相关关系．(3)回归系数b ∧＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝18511920－8×372≈0.191 a ∧＝y －b ∧x ＝7－0.191×37＝－0.067，所以y 对x 的回归直线方程为y ∧＝0.191x －0.067.(4)当y ＝20时，有20＝0.191x －0.067，得x ≈105.因此在y 的值为20时，x 的值约为105.。
高考调研北师大版数学必修53-1高考调研精讲精练
高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆，y 辆，
则
40x＋90y≤500， 4x＋9y≤50，
0<x≤5， 0<y≤4，
即00<<xy≤≤54，，
x，y∈N*，
x，y∈N*.
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题型二 不等式性质
例 2 对于实数 a，b，c，有下列结论：
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④a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. ∵c>a，∴c－a>0.∴0<c－a<c－b. 两边同乘以（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又 a>b>0，∴c－a a>c－b b.故④正确．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
⑤由已知条件知：a>b⇒a－b>0， 1a>b1⇒1a－b1>0⇒b－aba>0. ∵a－b>0，∴b－a<0.∴ab<0. 又 a>b，∴a>0，b<0.故⑤正确． 综上可知，命题②，③，④，⑤都正确． 【答案】 C
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
●思考题 3 (1)已知 x<1，比较 x2＋2 与 3x 的大小． (2)已知 a∈R，比较 a2＋a＋1 与 2a 的大小．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 (1)(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)， ∵x<1，∴x－1<0，x－2<0，∴(x－1)(x－2)>0. 即(x2＋2)－3x>0，∴x2＋2>3x. (2)(a2＋a＋1)－2a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋43>0， ∴a2＋a＋1>2a.
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业23
课时作业(二十三)1．不等式2x ＋3－x 2＞0的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－3＜x ＜1} C ．{x |x ＜－1或x ＞3} D ．{x |x ＜3}答案 A解析 不等式为x 2－2x －3<0，而(x －3)(x ＋1)<0， ∴－1<x <3.2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为( ) A ．{x |1m ＜x ＜m } B ．{x |x ＞1m 或x ＜m } C ．{x |x ＞m 或x ＜1m } D ．{x |m ＜x ＜1m } 答案 D解析 当0<m <1时，m <1m .3．设集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则有M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2} 答案 B解析 N ＝{x |－1<x <3}，结合数轴．4．不等式63x 2－2mx ＜m 2(m ≠0)的解集为( ) A ．{x |－m 9＜x ＜m7} B ．{x |m 7＜x ＜－m 9}C ．{x |x ＜－m 9或x ＞m7}D ．m ＞0时为{x |－m 9＜x ＜m 7}，m ＜0时为{x |m 7＜x ＜－m9} 答案 D解析 注意m 的符号不定这一情况．5．集合A ＝{x |x 2－1＞0，x ∈R }，集合B ＝{x |x 2＋x －2＞0，x ∈R }，则A 、B 的关系是( )A ．ABB ．B AC ．A ＝BD ．A B 或B ≠A答案 B6．已知A ＝{x |x 2－3x －4≤0，x ∈Z }，B ＝{x |2x 2－x －6＞0，x ∈Z }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．2B ．3C ．7D ．8答案 B解析 A ＝{x |(x －4)(x ＋1)≤0，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3,4}， B ＝{x |(2x ＋3)(x －2)>0，x ∈Z }＝{x |x <－32或x >2，x ∈Z }，∴A ∩B ＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.7．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( )A ．5B ．－5C ．－25D ．10 答案 B8．若A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的集合为( ) A ．{a |0<a <4} B ．{x |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 (1)若a ＝0，显然符合题意，排除A 、C.(2)若a ＝4，A ＝{x |4x 2－4x ＋1<0}＝{x |(2x －1)2<0}＝∅，符合题意，故选D.9．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A ．{x |－12<x ≤0或1≤x <32} B ．{x |x ≤0或x ≥1} C ．{x |－12<x <32} D ．{x |x ≤－12或x ≥32} 答案 A 解析化归成解不等式组⎩⎨⎧－3<4x －4x 24x －4x 2≤0.10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元答案 A11．已知a >0，则不等式x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋1>0的解集是( )A ．{x |－1<x <－(a ＋1)}B ．{x |x >－1，或x <－(a ＋1)}C ．{x |x <－1，或x >－(a ＋1)}D ．{x |－(a ＋1)<x <－1} 答案 B解析 不等式可化为(x ＋1)·[x ＋(a ＋1)]>0，∵a >0，∴－1>－(a ＋1)，∴x >－1或x <－(a ＋1)．选B. 12．不等式－4<x 2－5x ＋2<26的整数解为________． 答案 {－2，－1,0,1,4,5,6,7}解析 解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋2>－4，x 2－5x ＋2<26. 求出解集为{x |－3<x <2且3<x <8}， 即得x ∈{－2，－1,0,1,4,5,6,7}． 13．解不等式： (1)(x ＋3)(2－x )≤4； (2)(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0； (3)x 4＋3x 2－10<0.解析 (1)(x ＋3)(2－x )≤4⇔(x ＋3)(x －2)≥－4 ⇔x 2＋x －6≥－4⇔x 2＋x －2≥0⇔(x ＋2)(x －1)≥0. ∴原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥1}． (2)∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0.即解不等式x 2－x －1>0.由求根公式知x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是{x |x <1－52或x >1＋52}．∴原不等式的解集为{x |x <1－52或x >1＋52}． (3)原不等式的解集为{x |－2<x <2}． 14．解不等式32(－x 2＋53)≥12(x 2－9)－3x . 解析 原不等式可化为－32x 2＋52≥12x 2－92－3x ， 即2x 2－3x －7≤0.解方程2x 2－3x －7＝0，得x 1,2＝3±654.所以原不等式的解集为{x |34－654≤x ≤34＋654}．15．已知函数y ＝(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k )x ＋3的图像都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．思路分析 由于参数k 处于系数的位置上，所以首先要对二次项系数、一次项系数是否为零进行讨论．解析 (1)当k 2＋4k －5＝0时，k ＝－5或k ＝1.若k ＝－5，则y ＝24x ＋3的图像不可能都在x 轴的上方． 若k ＝1，则y ＝3的图像都在x 轴的上方．(2)当k 2＋4k －5≠0时，则所给二次函数应满足⎩⎨⎧k 2＋4k －5＞0Δ＜0，即⎩⎨⎧(k ＋5)(k －1)＞0(k －1)(k －19)＜0.即⎩⎨⎧k ＜－5，或k ＞11＜k ＜19，解得1＜k ＜19.综上所述，1≤k ＜19.16．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对．同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？ 解析由题意列出不等式组⎩⎨⎧0.1x ＋0.01x 2>120.05x ＋0.005x 2>10，分别求解，得⎩⎨⎧x <－40或x >30x <－50或x >40，由于x >0，从而可得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 答：经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。
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课时作业(一)
1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A
答案 D
2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C
3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A
4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B
b ，则∠B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
答案 B
解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B
b ，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.
5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π
3 B.π6 C.π3或23π
D.π6或56π
解析由3a＝2b sin A，得3sin A＝2sin B·sin A.
∴sin B＝
3
2.∴B＝
π
3或
2π
3.
6．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为() A．3∶1∶1 B．2∶1∶1
C.2∶1∶1
D.3∶1∶1
答案 D
解析由已知得A＝120°，B＝C＝30°，
根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶1∶1.
7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误
．．的是()
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，a＝b⇔sin2A＝sin2B
C．在△ABC中，a
sin A＝
b＋c sin B＋sin C
D．在△ABC中，正弦值较大的角所对的边也较大
答案 B
解析对于B项，当a＝b时，sin A＝sin B且cos A＝cos B，∴sin2A ＝sin2B，但是反过来若sin2A＝sin2B.2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B
或A＋B＝π
2.不一定a＝b，∴B选项错误．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c ＝3a，B＝30°，那么角C等于()
A．120°B．105°
C．90°D．75°
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
答案 π6
解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π
4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·sin π4
2＝12，所以A ＝π6或5π
6(舍去)．
10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.
答案 12
解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.
11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.
答案 2
解析
如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3
sin60°， 即
AC 22＝3
32
，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．
答案 π2
解析 由正弦定理，得a sin ∠A ＝b
sin ∠B .
从而
332
＝3sin ∠B ，即sin ∠B ＝12. ∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.
由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.
13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．
答案
3－1
14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 答案
10
2
15．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.
答案 0
解析 ∵a sin A ＝b
sin B ，∴a sin B ＝b sin A . 同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B . ∴原式＝0.
16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝102 b ＝5(6＋2) B ＝105°
17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．
答案
2
解析 由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形． 解析 由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝3
2.
因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°.
又因为b ＝a sin B
sin A ，所以b ＝3＋1或3－1.
综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题
19．下列判断中正确的是( )
A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解
B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解
C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解
D ．当a ＝3
22，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解 答案 D
20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋b R 的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)
答案 C。