必修二数学平面与平面的位置关系
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⑴点C′到平面ABED的距离；
⑵二面角C′—AB—C的正切值；
⑶点C′到边AD的距离．
例4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC= ，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证，直线PB与AC垂直；
（3）求二面角A－PB－D的大小；
例5．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB.
2．范围：从二面角的棱上任意一点在两个半平面内,分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的叫做二面角的平面角.其取值范围是
3．作法:①定义法;②三垂线法;③垂面法.
4．求法：①作；②证；③求。
【基础训练】
1.若 ， ， ， 所成的二面角的为 ，则 所成角的大小
为。
2.有一山坡，倾斜角是 ，坡上有条小路和坡底线成 角，沿这条向上走 时，相对地面升高。
【典例精析】
例1． 点 是二面角 的棱 上一点, 在平面 内且与 成 的角, 与平面 成 的角,求二面角 的大小.
例2． 已知在三棱锥 中， ，且 ， ，求二面角 的平面角的正切值。
四、立体几何综合问题（选讲）
例1． 如图，长方体 中， ， ，点 为
的中点。
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
A. B.
C. D.
2.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图所示， ， ，
且 ， ， ，
则 。
【典例精析】
例1．【判定】设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角.
求证：平面PCB⊥平面ABC．
例2． 【判定】如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
其中假命题的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3 个D.4个
3．给出下列四个命题：
①平行于同一平面的两个平面平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③若一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
④若一个平面内的无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
其中为真命题是（ ）
A.①②③B.①③④C.①来自百度文库D.①④
(1)若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为450，
①求四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD；
②求二面角P－CD－B的大小.
(2)若E为PC中点，问平面EBD能否垂直于平面ABCD，并说明理由.
4．P为ΔABC所在平面外一点，平面 //平面ABC， 分别交线段PA、PB、PC于 、 、 ，若 ： ＝2：3，则 =。
【典例精析】
例1．【判定】如图所示几何体， , 分别是 的中点
证明：（1）平面 平面
（2）直线 平面
例2．【性质】如图.线段 与平行平面 , 交于 两点, 线段 与平面 , 交于 两点, 线段 与平面 , 交于 两点,若 △ 的面积为72,求△ 的面积。
符号表示： 。
【基础训练】
1．不同直线 和不同平面 ，给出下列命题
① 若 ② 若
③ 若 ④ 若
其中假命题有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
2．已知 、 为直线， 、 为不重合的平面，给出下列四个命题：① 、 ， // ， // ，则 // ；②若对于任一直线 ，均有 // ，则 // ；③若 ， ，则 不平行 ；④ ， ，则 不平行 。
专题四平面与平面的位置关系
一、两平面平行的判定与性质
【知识要点】
1.两平面的位置关系
(1)平行: 两个平面没有公共点
(2)相交: 两个平面有一条公共直线
2.两平面平行的判定与性质
(1)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表示： .
(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
（3）求证：直线 平面 。
例2． 如图，已知矩形ABCD中，AB=4a ，BC=3a ，沿对角线BD将Rt△ABD折起，使点A到A1点，且A1点在平面BCD上的射影刚好落在边CD上。
⑴求证：BC⊥A1D，
⑵求证：平面A1BC⊥平面A1BD，
⑶求二面角A1—BD—C的正弦值。
例3． 已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
例3． 【性质】已知平面 ， ， 两点分别在 内，直线 与 所成的角为 ，与 所成的角为 ，则过 两点分别作 的垂线交于D,C两点， 若 ，则求线段 长度。
3、二面角及它们的平面角.
【知识要点】
1．定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.
2、两平面垂直的判定与性质
【知识要点】
1.定义:如果两个平面所成的二面角的大小为 ,则称这两个平面垂直.
2.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两平面垂直.
符号表示： 。
3.性质定理: 如果两平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线,垂直于另一平面.
符号表示： 。
【基础训练】
1.下列条件能得出 的是（ ）
⑵二面角C′—AB—C的正切值；
⑶点C′到边AD的距离．
例4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC= ，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证，直线PB与AC垂直；
（3）求二面角A－PB－D的大小；
例5．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB.
2．范围：从二面角的棱上任意一点在两个半平面内,分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的叫做二面角的平面角.其取值范围是
3．作法:①定义法;②三垂线法;③垂面法.
4．求法：①作；②证；③求。
【基础训练】
1.若 ， ， ， 所成的二面角的为 ，则 所成角的大小
为。
2.有一山坡，倾斜角是 ，坡上有条小路和坡底线成 角，沿这条向上走 时，相对地面升高。
【典例精析】
例1． 点 是二面角 的棱 上一点, 在平面 内且与 成 的角, 与平面 成 的角,求二面角 的大小.
例2． 已知在三棱锥 中， ，且 ， ，求二面角 的平面角的正切值。
四、立体几何综合问题（选讲）
例1． 如图，长方体 中， ， ，点 为
的中点。
（1）求证：直线 ∥平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
A. B.
C. D.
2.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图所示， ， ，
且 ， ， ，
则 。
【典例精析】
例1．【判定】设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角.
求证：平面PCB⊥平面ABC．
例2． 【判定】如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
其中假命题的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3 个D.4个
3．给出下列四个命题：
①平行于同一平面的两个平面平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③若一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
④若一个平面内的无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
其中为真命题是（ ）
A.①②③B.①③④C.①来自百度文库D.①④
(1)若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为450，
①求四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD；
②求二面角P－CD－B的大小.
(2)若E为PC中点，问平面EBD能否垂直于平面ABCD，并说明理由.
4．P为ΔABC所在平面外一点，平面 //平面ABC， 分别交线段PA、PB、PC于 、 、 ，若 ： ＝2：3，则 =。
【典例精析】
例1．【判定】如图所示几何体， , 分别是 的中点
证明：（1）平面 平面
（2）直线 平面
例2．【性质】如图.线段 与平行平面 , 交于 两点, 线段 与平面 , 交于 两点, 线段 与平面 , 交于 两点,若 △ 的面积为72,求△ 的面积。
符号表示： 。
【基础训练】
1．不同直线 和不同平面 ，给出下列命题
① 若 ② 若
③ 若 ④ 若
其中假命题有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
2．已知 、 为直线， 、 为不重合的平面，给出下列四个命题：① 、 ， // ， // ，则 // ；②若对于任一直线 ，均有 // ，则 // ；③若 ， ，则 不平行 ；④ ， ，则 不平行 。
专题四平面与平面的位置关系
一、两平面平行的判定与性质
【知识要点】
1.两平面的位置关系
(1)平行: 两个平面没有公共点
(2)相交: 两个平面有一条公共直线
2.两平面平行的判定与性质
(1)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表示： .
(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
（3）求证：直线 平面 。
例2． 如图，已知矩形ABCD中，AB=4a ，BC=3a ，沿对角线BD将Rt△ABD折起，使点A到A1点，且A1点在平面BCD上的射影刚好落在边CD上。
⑴求证：BC⊥A1D，
⑵求证：平面A1BC⊥平面A1BD，
⑶求二面角A1—BD—C的正弦值。
例3． 已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
例3． 【性质】已知平面 ， ， 两点分别在 内，直线 与 所成的角为 ，与 所成的角为 ，则过 两点分别作 的垂线交于D,C两点， 若 ，则求线段 长度。
3、二面角及它们的平面角.
【知识要点】
1．定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.
2、两平面垂直的判定与性质
【知识要点】
1.定义:如果两个平面所成的二面角的大小为 ,则称这两个平面垂直.
2.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两平面垂直.
符号表示： 。
3.性质定理: 如果两平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线,垂直于另一平面.
符号表示： 。
【基础训练】
1.下列条件能得出 的是（ ）