2016年南京大学物理学院研究生入学量子力学试题

2016年南京大学物理学院入学考试

专业课程笔试试题

考试科目： 量子力学 考试时间：2.5小时

本试卷共计五大题

一、基本概念题

1)、简述量子态叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由；

2)、量子力学中力学量有哪些性质？为什么需要这些性质？

3)、试给出本征波函数的正交归一性并说明分立谱和连续谱的差别。

二、设一个质量为m 的粒子从x =-∞入射，进入如下势场： 0()()V x V x θ=，如果粒子能量E >V 0,试求：

1)、不同区间的波函数；

2)、入射波、反射波和透射波的粒子流密度；

3)、反射系数、透射系数以及透射系数与反射系数之和。

三、在一维坐标表象中，试求以下问题：

1)、()f x 为解析函数，ˆ()ˆ[,()]f p x f p i x

∂=∂ ； 2)、对于算子ˆ/ˆ()iap D p e -= (a 为常数)，求波函数ˆ()()D p

x x δ'-； 3)、若(),()0]ˆ[p

u x D =，推导出()u x 的显著特点。

四、设某个电子处于沿z 轴正方向的匀强磁场中，测量表明，在t =0时，

电子自旋沿x 轴正方向，用Ehrenfest 定理计算t > 0时，电子处于以下各态的概率：

(1)、2x S = 和-2

x S =

；

(2)、2y S = 和-2

y S = ； (3)、2z S = 和-2z S = 。

仅供模拟练习之用，不得用于商业用途

五、如图，一束自旋为1/2的粒子流通过Stern-Gerlach 装置A ，由于磁

量子数m s 不同，入射粒子流将会分成两束粒子流射出。挡住其中的一束，另一束再通过Stern-Gerlach 装置B ，其磁场方向与A 的磁场方向的夹角为α，粒子流离开B 装置后，又进一步形成了两束粒子流。以A 装置的磁场方向为坐标z 方向，水平向右为y 方向。在S z 表象中，试求：

(1)、空间任意方向(sin cos ,sin sin ,cos )n θϕθϕθ= 的自旋本征态；

(2)、从A 中射出的两束粒子流的自旋本征态；

(3)、从B 中射出的两束粒子流的自旋本征态以及它们的数目之比；

(4)、用2ˆy

y

S i i U e e σθθ--== 作用到A 中射出的两束粒子流的自旋本征态上的

结果，并说明算子ˆU

与Stern-Gerlach 装置B 的关系。

仅供模拟练习之用，不得用于商业用途