第5章 利率风险和管理(下)
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4.72 93.45
CFt×DFt×t
2.36 93.45
98.17
95.81
95.81 D 0.976(年) 98.17
第24页
表5.8 票面利率为10%，到期收益率为12%的3年期息票债券的久期
t 1/2 1 3/2 2 5/2 CFt 5 5 5 5 5 DFt 0.9434 0.8900 0.8396 0.7921 0.7473 CFt×DFt 4.72 4.45 4.20 3.96 3.74 CFt×DFt×t 2.36 4.45 6.30 7.92 9.34
0
1/2年
1年
图5.1
1年期贷款应收到的现金流
第6页
现值分析
CF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元)
CF1=530 PV1 =560/（1+0.06）2 =471.70（元） PV1/2 + PV1 =1000(元) CF1/2 +CF1 =1090
第18页
【例三】假设投资者持有面值为100元的零息债券， 期限为5年，市场利率为10%。由于该债券不付息，在 整个债券期限中，只会在第5年底产生现金流，如表 5.4所示。
表5.4 期限为5年底零息债券的久期
t 5 CFt 100 DFt 0.6209 CFt×DFt 62.09 CFt×DFt×t 310.45
0.9259
0.8573 0.7938 0.7350
4.63
4.29 3.97 77.18 90.07
2.32
4.29 5.96 154.35 166.92
166.92 D 1.853(年) 90.07
对比表5.3和表5.6，可以得出这样的结论：在其他条件不变时，债券到期收 益率增加，则久期越小，即 D
定理三：统一公债的马考勒久期等于 1 1 r
定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久 期越短。 定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久 期一般也越长。（令我们感到意外的是，处于严重折 价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而越短）
定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益 率越低，久期越长。
对相对重要性而言，除了考虑折现率外？还应该考虑 哪些因素？ 信用风险，期限溢价等
第7页
久期
久期是利用现金流的相对现值作为权重的加权平均到 期期限。 久期与到期日期限之间的区别？ 在货币时间价值的基础上，久期测定了金融机构要收回 贷款初始投资所需要的时间。在久期内所收到的现金流 反映了对初始贷款投资的收回，而从久期未到到期日之 间所收到的现金流才是金融机构赚取的利润。到期日期 限=投资收回时间（久期）+利润时间
久 期 ‘
0
期限
久期的特征
1、证券的票面利率越高，它的久期越短；
2、证券的到期收益率越高，它的久期越短；
3、随着固定收益资产或负债到期期限的增加，久期 会以一个递减的速度增加。
第27页
久期的经济含义
复习：弹性的概念
久期的本质就是弹性。 数学推导。
C C CF ... (1 R ) (1 R) 2 (1 R) N dP C 2C N (C F ) d (1 R ) (1 R ) 2 (1 R )3 (1 R ) N 1 dP C 2C N (C F ) (1 R ) D P 1 2 N d (1 R ) (1 R ) (1 R ) (1 R) dP dP 1 D P dR d (1 R ) 1 R P
DL W1/2 1/ 2 W1 1
=0.5283×1/2+0.4717×1=0.7359(年) 尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅为0.7359年 ，这是因为有52.83%的现金流是在半年末的时候就收 到了，久期也就小于到期期限。
第10页
到期日期限缺口管理无法完全规避利率风险
一笔利率为12%的1000元1年期定期存款。 假设金融机构应在年底向存款人一次性支付本金1000元 和利息120元，即CF1=1120元。 ＰＶ1=1120/1.12=1000元，W1=PV1/PV1=1。 DD=W1×1=1×1=1年 到期日期限缺口为零，ML-MD=1-1=0。 但久期缺口仍然存在：DL-DD=0.7359-1=-0.2641。
第28页
修正久期
修正的久期
dP dR D ( ) P 1 R
D MD = 1+R dP MD dR P
第29页
久期、修正久期的经济含义：资产或负债对利率的敏 感程度。
第二节 运用久期模型进行免疫
第31页
久期和远期支付的免疫
养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进行多种资 产的组合选择，以使他们在将来某个时期能够获得足 够的投资收益来向受益人或投保人支付退休金或保险 金的问题
第五章 利率风险和管理 （下）
第1页
主要内容
第一节 久期概述 第二节 运用久期模型进行免疫
第2页
复习
重定价缺口（敏感型资金缺口）管理
到期日期限缺口管理
第一节 久期概述
第4页
久期的概念 久期（duration）也称为持续期，是美国经 济学家Frederick Macaulay于1936年首先提出的。 与到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和 负债敏感度的方法。因为它不仅考虑了资产（或 负债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流 的情况。
第11页
久期的定义
久期的一般公式
D
CF DF t PV t
t 1 N t
N
N
D为久期（以年为单位）
CF DF
t 1 t
t 1 N
t
PV
t 1
t
CF 为证券在t期期末收到的现金流
N为证券的年限
DFt 为贴现因子，等于 1/ (1 R)t ，其中R为债券的年 收益率或者说是当前市场的利率水平
2 3
10 110
0.8573 0.7938
8.57 87.32 105.15
17.14 261.96 288.36
D
288.36 2.742(年) 105.15
第16页
【例2】假设投资者持有面值为100元，票面利率为 10%，期限为2年，每半年付一次息的息票债券。当前 市场利率为12%。
96.54
179.45
D
179.45 1.859(年) 96.54
第17页
零息债券的久期
零息债券是指以低于面值的价格发行的，在到期时按 照面值支付的债券。这些债券在发行日和到期日之间 不会产生现金流，即不会产生支付。假设每年利率为 复利，投资者愿意购买该债券的当前价格将会等于该 债券的现值。 F P (1 R) N R-要求的复利利率，N-期限年数，P-价格，F为票面 面值 由于证券的所有现金流只发生在到期日，所以DB=MB, 即零息债券的久期一定等于到期期限
N
t=1/2,1,3/2,…,N 注意：久期公式的分母是在该证券持有期内所有现金 流现值的和，而分子是每笔现金流的现值与收到该笔 现金流所需时间的乘积的和。
第13页
久期定理
定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到 期时间。 定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的 到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券 的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1 。
R
0
第23页
(三)久期与到期期限
在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础上缩 短一年和增加一年时债券的久期，如表5.7和表5.8所示。 表5.7票面利率为10%，到期收益率为12%的1年期息票债券的久期
t
1/2 1
CFt
5 105
DFt
0.9439 0.8900
CFt×DFt
D
310.45 5(年) 62.09
第19页
永久性公债的久期
永久性公债是指每年支付固定利息而永远不会到期的 债券，其到期期限（MC）为无穷大 虽然永久性公债是没有到期日的，但其久期（DC）是有 期限的。
数学推导
1 DC 1 R
第20页
债券票面利率、到期收益率、到期期限的变Leabharlann Baidu对久期的影响
（一）久期与票面利率
例2中，息票率为10%，期限为2年，每半年支付利息 一次，市场利率为12%，久期为1.859。
在其他情况不变的条件下，如果票面利率减少到8%， 债券的久期的计算如表5.5所示。
第21页
t 1/2 1 3/2
CFt
D 0 C
DFt 0.9434 0.8900 0.8396
3
105
0.7050
74.03
95.10
222.09
252.46
D
252.45 2.655(年) 95.10
通过对比表5.7、表5.3、表5.8我们可以知道，当固定收益的证券或资产的 D 2 到期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加： D 0, 2 0 M M
第25页
债券期限与久期的关系
第8页
例（续）
金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析 的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。 从现值的角度看，t=1/2年和t=1年的现金流的相对重要性如表5.1所示。 t=1/2年和t=1的现金流的重要性
时间（t）
T=1/2年
W1/2
权重（w）
息票债券的久期
【例1】假设投资者持有面值为100元，票面利率为 10%，期限为3年，每年付息一次的息票债券。该债券 的到期收益率（或目前的市场利率）为8%。 表5.2
t 1
票面利率为10%的3年期息票债券的久期
CFt 10 DFt 0.9259 CFt×DFt 9.26 CFt×DFt×t 9.26
D 0 C
第22页
(二)久期与到期收益率
在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到16%，债券的久期计 算如表5.6所示。
表5.6 票面利率为10%，到期收益率为16%的两年期息票债券的久期
t CFt DFt CFt×DFt CFt×DFt×t
1/2
1 3/2 2
5
5 5 105
第5页
例
银行发放一笔金额为1000元的1年期贷款。假设贷款 利率为12%，年初发放贷款，要求在6月底时偿还一半 本金，另外一半在年底时付清。利息每6个月支付一 次。
在6月底和年底银行从贷款中收到的现金流。
与付息债券之间的差异？ 哪一笔现金流更重要？如何体现这种相对重要性呢？
CF1/2=560 CF1=530
假设有一份5年期的保单，保险公司向客户承诺5年后 一次性支付一笔款项。为了简化，我们假设保险公司 应在5年期满后支付1496元作为退休保险的一次性返 还，它恰好等于用1000元投资于票面利率8%的按复利 计算的5年期债券。当然，保险公司实际支付的金额 可能会更大，但在这个例子中我们假设支付的总额不 会发生变化。
表5.3 票面利率为10%，到期收益率为12%的两年期息票债券 的久期
t 1/2 1 3/2 2 CFt 5 5 5 105 DFt 0.9434 0.8900 0.8396 0.7921 CFt×DFt 4.72 4.45 4.20 83.17 CFt×DFt×t 2.36 4.45 6.30 166.34
PV1/2 528.30 0.5283 52.83% PV1/2 PV1 1000
T=1年
W1
PV1 471.70 0.4717 47.17% PV1/2 PV1 1000
1.0
100%
第9页
例（续）
以W1/2和W1作为权数，来计算久期，或者说是计算贷款 的平均到期期限：
t
为从时期t=1到t=N的求和符号
t 1
N
PVt 是在t时期期末的现金流的现值，等于 CFt DFt
第12页
每年付2次利息
对每半年支付一次利息的债券来说，久期公式变为：
CFt t 2t t 1/ 2 (1 R / 2) D N CFt 2t t 1/ 2 (1 R / 2)
CFt×DFt 3.77 3.56 3.36
CFt×DFt×t 1.89 3.56 5.04
4 4 4
2
104
0.7921
82.38
93.07
164.764
175.25
D
175.25 1.883(年) 93.07
因此可得出这样的结论，在其他条件不变时，证券的票面利 率或承诺的利率越高，久期越小,用数学的表达式如下 经济直觉
CFt×DFt×t
2.36 93.45
98.17
95.81
95.81 D 0.976(年) 98.17
第24页
表5.8 票面利率为10%，到期收益率为12%的3年期息票债券的久期
t 1/2 1 3/2 2 5/2 CFt 5 5 5 5 5 DFt 0.9434 0.8900 0.8396 0.7921 0.7473 CFt×DFt 4.72 4.45 4.20 3.96 3.74 CFt×DFt×t 2.36 4.45 6.30 7.92 9.34
0
1/2年
1年
图5.1
1年期贷款应收到的现金流
第6页
现值分析
CF1/2=560 PV1/2=560/(1+0.06)=528.30(元)
CF1=530 PV1 =560/（1+0.06）2 =471.70（元） PV1/2 + PV1 =1000(元) CF1/2 +CF1 =1090
第18页
【例三】假设投资者持有面值为100元的零息债券， 期限为5年，市场利率为10%。由于该债券不付息，在 整个债券期限中，只会在第5年底产生现金流，如表 5.4所示。
表5.4 期限为5年底零息债券的久期
t 5 CFt 100 DFt 0.6209 CFt×DFt 62.09 CFt×DFt×t 310.45
0.9259
0.8573 0.7938 0.7350
4.63
4.29 3.97 77.18 90.07
2.32
4.29 5.96 154.35 166.92
166.92 D 1.853(年) 90.07
对比表5.3和表5.6，可以得出这样的结论：在其他条件不变时，债券到期收 益率增加，则久期越小，即 D
定理三：统一公债的马考勒久期等于 1 1 r
定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久 期越短。 定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久 期一般也越长。（令我们感到意外的是，处于严重折 价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而越短）
定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益 率越低，久期越长。
对相对重要性而言，除了考虑折现率外？还应该考虑 哪些因素？ 信用风险，期限溢价等
第7页
久期
久期是利用现金流的相对现值作为权重的加权平均到 期期限。 久期与到期日期限之间的区别？ 在货币时间价值的基础上，久期测定了金融机构要收回 贷款初始投资所需要的时间。在久期内所收到的现金流 反映了对初始贷款投资的收回，而从久期未到到期日之 间所收到的现金流才是金融机构赚取的利润。到期日期 限=投资收回时间（久期）+利润时间
久 期 ‘
0
期限
久期的特征
1、证券的票面利率越高，它的久期越短；
2、证券的到期收益率越高，它的久期越短；
3、随着固定收益资产或负债到期期限的增加，久期 会以一个递减的速度增加。
第27页
久期的经济含义
复习：弹性的概念
久期的本质就是弹性。 数学推导。
C C CF ... (1 R ) (1 R) 2 (1 R) N dP C 2C N (C F ) d (1 R ) (1 R ) 2 (1 R )3 (1 R ) N 1 dP C 2C N (C F ) (1 R ) D P 1 2 N d (1 R ) (1 R ) (1 R ) (1 R) dP dP 1 D P dR d (1 R ) 1 R P
DL W1/2 1/ 2 W1 1
=0.5283×1/2+0.4717×1=0.7359(年) 尽管贷款的期限是一年，但是它的久期仅为0.7359年 ，这是因为有52.83%的现金流是在半年末的时候就收 到了，久期也就小于到期期限。
第10页
到期日期限缺口管理无法完全规避利率风险
一笔利率为12%的1000元1年期定期存款。 假设金融机构应在年底向存款人一次性支付本金1000元 和利息120元，即CF1=1120元。 ＰＶ1=1120/1.12=1000元，W1=PV1/PV1=1。 DD=W1×1=1×1=1年 到期日期限缺口为零，ML-MD=1-1=0。 但久期缺口仍然存在：DL-DD=0.7359-1=-0.2641。
第28页
修正久期
修正的久期
dP dR D ( ) P 1 R
D MD = 1+R dP MD dR P
第29页
久期、修正久期的经济含义：资产或负债对利率的敏 感程度。
第二节 运用久期模型进行免疫
第31页
久期和远期支付的免疫
养老基金和人寿保险公司管理者面临如何进行多种资 产的组合选择，以使他们在将来某个时期能够获得足 够的投资收益来向受益人或投保人支付退休金或保险 金的问题
第五章 利率风险和管理 （下）
第1页
主要内容
第一节 久期概述 第二节 运用久期模型进行免疫
第2页
复习
重定价缺口（敏感型资金缺口）管理
到期日期限缺口管理
第一节 久期概述
第4页
久期的概念 久期（duration）也称为持续期，是美国经 济学家Frederick Macaulay于1936年首先提出的。 与到期期限比，久期是一种更准确地测定资产和 负债敏感度的方法。因为它不仅考虑了资产（或 负债）的到期期限问题，还考虑到了每笔现金流 的情况。
第11页
久期的定义
久期的一般公式
D
CF DF t PV t
t 1 N t
N
N
D为久期（以年为单位）
CF DF
t 1 t
t 1 N
t
PV
t 1
t
CF 为证券在t期期末收到的现金流
N为证券的年限
DFt 为贴现因子，等于 1/ (1 R)t ，其中R为债券的年 收益率或者说是当前市场的利率水平
2 3
10 110
0.8573 0.7938
8.57 87.32 105.15
17.14 261.96 288.36
D
288.36 2.742(年) 105.15
第16页
【例2】假设投资者持有面值为100元，票面利率为 10%，期限为2年，每半年付一次息的息票债券。当前 市场利率为12%。
96.54
179.45
D
179.45 1.859(年) 96.54
第17页
零息债券的久期
零息债券是指以低于面值的价格发行的，在到期时按 照面值支付的债券。这些债券在发行日和到期日之间 不会产生现金流，即不会产生支付。假设每年利率为 复利，投资者愿意购买该债券的当前价格将会等于该 债券的现值。 F P (1 R) N R-要求的复利利率，N-期限年数，P-价格，F为票面 面值 由于证券的所有现金流只发生在到期日，所以DB=MB, 即零息债券的久期一定等于到期期限
N
t=1/2,1,3/2,…,N 注意：久期公式的分母是在该证券持有期内所有现金 流现值的和，而分子是每笔现金流的现值与收到该笔 现金流所需时间的乘积的和。
第13页
久期定理
定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到 期时间。 定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的 到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券 的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1 。
R
0
第23页
(三)久期与到期期限
在其他情况不变的条件下，我们分别计算债券到期期限在两年的基础上缩 短一年和增加一年时债券的久期，如表5.7和表5.8所示。 表5.7票面利率为10%，到期收益率为12%的1年期息票债券的久期
t
1/2 1
CFt
5 105
DFt
0.9439 0.8900
CFt×DFt
D
310.45 5(年) 62.09
第19页
永久性公债的久期
永久性公债是指每年支付固定利息而永远不会到期的 债券，其到期期限（MC）为无穷大 虽然永久性公债是没有到期日的，但其久期（DC）是有 期限的。
数学推导
1 DC 1 R
第20页
债券票面利率、到期收益率、到期期限的变Leabharlann Baidu对久期的影响
（一）久期与票面利率
例2中，息票率为10%，期限为2年，每半年支付利息 一次，市场利率为12%，久期为1.859。
在其他情况不变的条件下，如果票面利率减少到8%， 债券的久期的计算如表5.5所示。
第21页
t 1/2 1 3/2
CFt
D 0 C
DFt 0.9434 0.8900 0.8396
3
105
0.7050
74.03
95.10
222.09
252.46
D
252.45 2.655(年) 95.10
通过对比表5.7、表5.3、表5.8我们可以知道，当固定收益的证券或资产的 D 2 到期期限增加时，久期则以一个递减的速度增加： D 0, 2 0 M M
第25页
债券期限与久期的关系
第8页
例（续）
金融机构分别在半年末和一年末的时候收到了两笔现金流。久期分析 的是根据每一个时点上现金流现值的重要性来确定每笔现金流的权重。 从现值的角度看，t=1/2年和t=1年的现金流的相对重要性如表5.1所示。 t=1/2年和t=1的现金流的重要性
时间（t）
T=1/2年
W1/2
权重（w）
息票债券的久期
【例1】假设投资者持有面值为100元，票面利率为 10%，期限为3年，每年付息一次的息票债券。该债券 的到期收益率（或目前的市场利率）为8%。 表5.2
t 1
票面利率为10%的3年期息票债券的久期
CFt 10 DFt 0.9259 CFt×DFt 9.26 CFt×DFt×t 9.26
D 0 C
第22页
(二)久期与到期收益率
在其他情况不变的条件下，如果债券的到期收益率增加到16%，债券的久期计 算如表5.6所示。
表5.6 票面利率为10%，到期收益率为16%的两年期息票债券的久期
t CFt DFt CFt×DFt CFt×DFt×t
1/2
1 3/2 2
5
5 5 105
第5页
例
银行发放一笔金额为1000元的1年期贷款。假设贷款 利率为12%，年初发放贷款，要求在6月底时偿还一半 本金，另外一半在年底时付清。利息每6个月支付一 次。
在6月底和年底银行从贷款中收到的现金流。
与付息债券之间的差异？ 哪一笔现金流更重要？如何体现这种相对重要性呢？
CF1/2=560 CF1=530
假设有一份5年期的保单，保险公司向客户承诺5年后 一次性支付一笔款项。为了简化，我们假设保险公司 应在5年期满后支付1496元作为退休保险的一次性返 还，它恰好等于用1000元投资于票面利率8%的按复利 计算的5年期债券。当然，保险公司实际支付的金额 可能会更大，但在这个例子中我们假设支付的总额不 会发生变化。
表5.3 票面利率为10%，到期收益率为12%的两年期息票债券 的久期
t 1/2 1 3/2 2 CFt 5 5 5 105 DFt 0.9434 0.8900 0.8396 0.7921 CFt×DFt 4.72 4.45 4.20 83.17 CFt×DFt×t 2.36 4.45 6.30 166.34
PV1/2 528.30 0.5283 52.83% PV1/2 PV1 1000
T=1年
W1
PV1 471.70 0.4717 47.17% PV1/2 PV1 1000
1.0
100%
第9页
例（续）
以W1/2和W1作为权数，来计算久期，或者说是计算贷款 的平均到期期限：
t
为从时期t=1到t=N的求和符号
t 1
N
PVt 是在t时期期末的现金流的现值，等于 CFt DFt
第12页
每年付2次利息
对每半年支付一次利息的债券来说，久期公式变为：
CFt t 2t t 1/ 2 (1 R / 2) D N CFt 2t t 1/ 2 (1 R / 2)
CFt×DFt 3.77 3.56 3.36
CFt×DFt×t 1.89 3.56 5.04
4 4 4
2
104
0.7921
82.38
93.07
164.764
175.25
D
175.25 1.883(年) 93.07
因此可得出这样的结论，在其他条件不变时，证券的票面利 率或承诺的利率越高，久期越小,用数学的表达式如下 经济直觉