初中竞赛数学18.乘法公式(含答案)

18.乘法公式
知识纵横
乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,•将多项式乘法的一般法
则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、•又有实用性的具体结论，在复杂
的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应
用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：
1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;
2.根据待求式的特点,模仿套用公式;
3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;
4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.
例题求解
【例1】•(•1)•已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.
(江苏省竞赛题)
(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.
(2000年重庆市竞赛题)
思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,•由平方
和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.
解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则
222000
2
x y
x y
⎧-=±
⎨
-=
⎩
得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).
(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)
【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M
与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)
A.M>N
B.M<N
C.M=N
D.无法确定
思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.
解:选B
【例3】计算:
(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)
(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)
思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,•可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.
解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716
(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345
【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y
+的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)
(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.
甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;
乙商场:两次提价的百分率都是 2
a b + (a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•
则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)
思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,•须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.
解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12
,原式=13
(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,
(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•
所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩或1110
x y -=±⎧⎨-=⎩或1011x y -=⎧⎨-=±⎩,
解得11x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩ 或 12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩
,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为
(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2
a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(
2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.
【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:
(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.
思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.
解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,
故a•不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.
(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,
于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.
学力训练
一、 基础夯实
1.观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x 2-1;
(x -1)(x 2+x+1)=x 3-1;
(x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1.
根据前面的规律可得 (x -1)(x n +x n-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题)
2.已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b
+-=_____. (2001年杭州市中考题) 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;
(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;
(3) 2
221999199819991997199919992
+-=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,•请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式________.
(2003年太原市中考题) 5.已知a+1a =5,则=4221a a a
++=_____. (2003年菏泽市中考题)
6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为( ).
A.-15
B.-2
C.-6
D.6 (2003年扬州市中考题)
7.乘积(1-212)(1-2
13)……(1-211999)(1-212000)等于( ). A. 19992000 B. 20012000 C. 19994000 D. 20014000
(2002年重庆市竞赛题)
8.若x -y=2,x 2+y 2=4,则x 2002+y 2002的值是( ).
A.4
B.2002
C.2
D.4
9.若x 2-13x+1=0,则x 4+41x
的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.7
10.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是
(
).
A.a 2-b 2=(a+b)(a -b)
B.(a+b)2=a 2+2ab+b 2
C.(a -b)2=a 2-2ab+b
D.(a+2b)(a -b)=a 2+ab -2b 2 (2002年陕西省中考题)
11.(1)设x+2z=3y,试判断x 2-9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由.
(2)已知x 2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x -1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).
(2003年上海市中考题)
12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求
这个自然数.
13.观察:1·2·3·4+1=52
2·3·4·5+1=112
3·4·5·6+1=192
……
(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;
(2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示).
(2001年黄冈市竞赛题)
二、能力拓展
14.你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,•任意一个个位数为5
的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,
从中探索其规律,并归纳猜想出结论.
(1)通过计算,探索规律.
152=225可写成100×1×(1+1)+25;
252=625可写成100×2×(2+1)+25;
352=1225可写成100×3×(3+1)+25;
452=2025可写成100×4×(4+1)+•25;•
……
752=•5625•可成写__________;852=7225可写成__________.
(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________.
(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________. (福建省三明市中考题)
15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题)
16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.
17.1,2,3,•……,•98•共98•个自然数中,•能够表示成两整数的平方差的个数是________.
(全国初中数学联赛试题)
18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ).
A.4
B.0
C.2
D.-2
19.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解.
A.6
B.7
C.8
D.9
20.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ).
A.x≤y
B.x≥y
C.x<y
D.x>y (2003年太原市竞赛题)
21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-•ab-•bc-c a的值为
( ).
A.0
B.1
C.2
D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)
22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)
23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题)
24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)
三、综合创新
25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1•顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10•顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.
26.(1)请观察:
25=52
1225=352
112225=3352
11122225=33352
……
写出表示一般规律的等式,并加以证明.
(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.
任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?
答案
1.x n+1-1
2.-1
3
3.(1)4;(2)3897326;(3)
1
2
4.(a+b)2-4ab=(a-b)2
5.24
6.C
7.D 提示;逆用平方差公式,分解相约8.C 提示:由已知条件得xy=0
9.D 提示:x≠0,由条件得x+1
x
=13,x4+
4
1
x
=(x2+
2
1
x
)2-2=[(x+
1
x
)2-2]2-2 10.A
11.(1)定值为0 提示:由条件得x-3y=-2z,
原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0
(2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.
12.提示:设这个自然数为x,由题意得
2
2
45
44
x m x n ⎧-=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
②-①得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1
从而
89
1
n m
n m
+=
⎧
⎨
-=
⎩
,解得
45
44
n
m
=
⎧
⎨
=
⎩
(m,n都为自然数) 故 x=45-44=1981.
13.(1)对于自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略.
(2)由(1)得原式=(20002+3×2000+1)2=40060012
14.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25.
(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25
(3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=3980025
15.216.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy];(2)27.
17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1≤m<n≤98,m,n为整数),
因n+m与n-m•的奇偶性相同,故x是奇数或是4的倍数.
18.B提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=0
19.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)
20.B提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2≥0
21.D 提示:原式=1
2
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]
22. 718 提示:由a+b=1,a 2+b 2=2,得ab=-12
, 利用a n+1+b n+1=(a n +b n )(a+b)-ab(a n-1+b n-1)•可分别求得 a 3+b 3=
52,a 4+b 4=72,a 5+b 5=194 ,a 6+b 6=264. 23.48 提示:由a 2-a-1=0,得a -a -1=1,进而a 2+a -2=3,a 4+a -4=7, 所以a 8+7a -4=a 4(a 4+a -4)+7a -4-•1=7a -4+7a -4-1=7(a 4+a -4)-1=48.
24.提示:设2222x y a b x y a b
+=+⎧⎨+=+⎩, 则由①2-②得2xy=2ab ③ ②-③,得(x-y )2=(a -b)2,即│x-y │=│a-b │
则x-y=a-b 或x-y=b-a,分别与x+y=a+b 联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩
25.提示:由题意知:x i +y i =9(i=1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10 因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0
26.(1)提示:经观察,发现规律: (1)111n - 个 2225n 个=((1)3335n - 个
)2 ,实际上, ((1)3335n - 个)2=(3332n + 个)2=(13×9992n + 个
)2 =[13(10n -1)+2]2=(1053n +)2=2109n +1109
n ++259 =21019n -+11019n +-+2529+= 2111n 个+ (1)111n + 个
+3 = (1)111n - 个 2225n 个
(2)一般地,设m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,
则mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2
=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-•2abcd+a2d2
=(ac+bd)2+(bc-ad)2或(a c-bd)2+(bc+ad)2.。