圆锥曲线的弦长问题-PPT课件
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A1 C1 O B1 B F C A
方向3：几何关系. 垂直、平行、 共圆、共线……
焦点弦：坐标关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 、 C(x0, y0)作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1
三角形面积问题
x2 y2 7 .椭圆 1 ,过点 M ( 3 ,0 ) 的直线 l交椭圆于 A ,B ,求 4 3 AOB 面积 S 的最大值及此时直线 l的倾斜角 .
AB :xky 3
2 1 6 3 k 1 S 3 y y ....... 3 , 1 2 2 2 3 k 4
y2 4x
x2 4. 已知斜率为 1 的直线l过椭圆 y 2 1 的右焦点交椭圆于 A, B 4 两点, 求弦AB的长.(了解即可）
特殊的焦点弦：通径
2 5 . 过抛物线 y 4 x 的焦点作一条直线与抛 物线相交于 A ,B
两点 ,它们的横坐标之和等于 5 ,则这样的直线有多少 ？ 2条
2 (1) e Leabharlann Baidu2
( 2)[ 0, ] 2
( 3 ) PQ :y 2 ( x c )
x2 y 2 1 4 3 c 1 S 2 c y y c 20 3 , 1 2 50 25 2 5
补充问题探究：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图 方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
作业：
1 . 抛物线的顶点在原点 ,焦点 F 是圆 x2 y2 4 x30 的圆心 . ( 1 )求抛物线的方程 ;(答案： y2 8 x ) (2 ) 是否存在过点 F 的直线 l,l与抛物线及圆顺次交于 A ,B ,C ,D 四点 ,使 AB , BC , CD 成等差数列 ?若直线 l存在 ,求出方程 ;若 不存在 ,说明理由 .( 答案：不存在）
2 12 k 1 10 , 2 2 k
椭圆、双曲线焦点三角 形面积 : 抓住定义解题 ,常结合余弦定 .
圆锥曲线有关的三角形 面积表示方法： 1 (1)S AB d(弦长公式求 AB,点到直线距离求 d) 2 (2)利用共同的底边 , 拆分三角形为面积和 (或差 ),常化为 1 1 S 公共底边长 x1 x2 或 S 公共底边长 y1 y2 2 2 "联立方程 韦达定理 "是前提 ,最值问题常化为函数最 值 .
A1 C1 O B1 B F C A
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x x , y y p 1 2 1 2 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线， 垂足分别为A1、B1、C1. A1
直线与圆锥曲线
弦的问题
一般的弦长
直线l:y=kx+b,曲线C:F(x,y)=0. 直线l与曲线C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)，直线与二次曲线相交的弦长公式为 2 1 2 A B 1 kx x 或 A B 1 y y 1 2 1 2 k
x2 y2 1.过双曲线 1的右焦点F2 , 倾斜角为 60的直线 9 16 交双曲线于A, B两点, (1)求 AB ; (2)求AF1 B的周长.
2 2 2 . 设椭圆 3 x y 6 与一斜率为 3 的直线交于 A , B 两点 , 求
AOB 面积 S 的最大值 .
2 2 3 m ( 12 m ) 1 S AB d ....... 3 , 2 6
x2 y2 3.从椭圆2 2 1 (a b 0)上一点 M 向 x轴作垂线 , 恰好通 a b 过左焦点 F A及短轴端点 B的连线 AB// OM . 1,且它的长轴端点 (1 )求椭圆的离心率； (2)设 Q 是椭圆上任意一点 ,F ,求 F 的取值范围 ; 2是右焦点 1QF 2 (3)设 Q 是椭圆上一点 ,当 QF 时 ,延长 QF 2 AB 2与椭圆交于另 一点 P,若 F 的面积为 20 3,求此时椭圆的方程 . 1PQ
1 6 3 k 1 S AB d 2 ....... 3 , 2 3 k 4
2
8 . 已知抛物线 y2 x 与直线 l : yk(x 1 )相交于 A ,B 两点 .
( 1 )求证 :OA OB ;(2 ) 当 OAB 的面积等于 10 时 ,求 k 的值 .
1 1 2 2 2 2 1 2 2 S OA OB x y x y ( x x )( x x ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2
思考： 通径长 2p 1.为什么通径是抛物线最短的焦点弦？ 2.若过焦点的弦长为m，怎样判断这样的弦有多少条？ 3.你能把2的结论类比到椭圆、双曲线吗？ 2b2 通径长 a
2 2 6 . 过双曲线 2 x y 2 0 的右焦点作直线 l 与双曲线相交
于 A ,B 两点 ,若 AB 4 ,则这样的直线有多少条 ？ 3条
2.椭圆ax2 by2 1与直线x y 1 0交于A, B两点, AB 2 2， 2 AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 是 , 求a, b的值. 2
过焦点的弦长
1 . 弦长公式是通用的
2 .过 焦 点 的 弦 ， 还 用 可 焦 以 半 使
3.抛物线的顶点在原点 ,以x轴为对称轴 , 经过焦点且倾斜角为 135的直线 , 被抛物线所截得的弦长 为8, 求抛物线方程 .
方向3：几何关系. 垂直、平行、 共圆、共线……
焦点弦：坐标关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 、 C(x0, y0)作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1
三角形面积问题
x2 y2 7 .椭圆 1 ,过点 M ( 3 ,0 ) 的直线 l交椭圆于 A ,B ,求 4 3 AOB 面积 S 的最大值及此时直线 l的倾斜角 .
AB :xky 3
2 1 6 3 k 1 S 3 y y ....... 3 , 1 2 2 2 3 k 4
y2 4x
x2 4. 已知斜率为 1 的直线l过椭圆 y 2 1 的右焦点交椭圆于 A, B 4 两点, 求弦AB的长.(了解即可）
特殊的焦点弦：通径
2 5 . 过抛物线 y 4 x 的焦点作一条直线与抛 物线相交于 A ,B
两点 ,它们的横坐标之和等于 5 ,则这样的直线有多少 ？ 2条
2 (1) e Leabharlann Baidu2
( 2)[ 0, ] 2
( 3 ) PQ :y 2 ( x c )
x2 y 2 1 4 3 c 1 S 2 c y y c 20 3 , 1 2 50 25 2 5
补充问题探究：抛物线焦点弦的性质
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹 角为θ的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准 线l的垂线，垂足分别为A1、B1、C1，如图 方向1：坐标关系. 若A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x0, y0)…… 方向2：长度关系. |AA1|、|AF|、 |AB|、|CC1|……
作业：
1 . 抛物线的顶点在原点 ,焦点 F 是圆 x2 y2 4 x30 的圆心 . ( 1 )求抛物线的方程 ;(答案： y2 8 x ) (2 ) 是否存在过点 F 的直线 l,l与抛物线及圆顺次交于 A ,B ,C ,D 四点 ,使 AB , BC , CD 成等差数列 ?若直线 l存在 ,求出方程 ;若 不存在 ,说明理由 .( 答案：不存在）
2 12 k 1 10 , 2 2 k
椭圆、双曲线焦点三角 形面积 : 抓住定义解题 ,常结合余弦定 .
圆锥曲线有关的三角形 面积表示方法： 1 (1)S AB d(弦长公式求 AB,点到直线距离求 d) 2 (2)利用共同的底边 , 拆分三角形为面积和 (或差 ),常化为 1 1 S 公共底边长 x1 x2 或 S 公共底边长 y1 y2 2 2 "联立方程 韦达定理 "是前提 ,最值问题常化为函数最 值 .
A1 C1 O B1 B F C A
•常规思路：设出直线方程，联 立方程，韦达定理……
•注意：讨论斜率不存在的情况
p 2 x x , y y p 1 2 1 2 4
2
焦点弦：长度关系研究
过抛物线 y2 = 2px 的焦点F，作与ox轴的正向夹角为θ 的弦AB，C为AB 中点，过A、B、C作准线l的垂线， 垂足分别为A1、B1、C1. A1
直线与圆锥曲线
弦的问题
一般的弦长
直线l:y=kx+b,曲线C:F(x,y)=0. 直线l与曲线C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)，直线与二次曲线相交的弦长公式为 2 1 2 A B 1 kx x 或 A B 1 y y 1 2 1 2 k
x2 y2 1.过双曲线 1的右焦点F2 , 倾斜角为 60的直线 9 16 交双曲线于A, B两点, (1)求 AB ; (2)求AF1 B的周长.
2 2 2 . 设椭圆 3 x y 6 与一斜率为 3 的直线交于 A , B 两点 , 求
AOB 面积 S 的最大值 .
2 2 3 m ( 12 m ) 1 S AB d ....... 3 , 2 6
x2 y2 3.从椭圆2 2 1 (a b 0)上一点 M 向 x轴作垂线 , 恰好通 a b 过左焦点 F A及短轴端点 B的连线 AB// OM . 1,且它的长轴端点 (1 )求椭圆的离心率； (2)设 Q 是椭圆上任意一点 ,F ,求 F 的取值范围 ; 2是右焦点 1QF 2 (3)设 Q 是椭圆上一点 ,当 QF 时 ,延长 QF 2 AB 2与椭圆交于另 一点 P,若 F 的面积为 20 3,求此时椭圆的方程 . 1PQ
1 6 3 k 1 S AB d 2 ....... 3 , 2 3 k 4
2
8 . 已知抛物线 y2 x 与直线 l : yk(x 1 )相交于 A ,B 两点 .
( 1 )求证 :OA OB ;(2 ) 当 OAB 的面积等于 10 时 ,求 k 的值 .
1 1 2 2 2 2 1 2 2 S OA OB x y x y ( x x )( x x ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2
思考： 通径长 2p 1.为什么通径是抛物线最短的焦点弦？ 2.若过焦点的弦长为m，怎样判断这样的弦有多少条？ 3.你能把2的结论类比到椭圆、双曲线吗？ 2b2 通径长 a
2 2 6 . 过双曲线 2 x y 2 0 的右焦点作直线 l 与双曲线相交
于 A ,B 两点 ,若 AB 4 ,则这样的直线有多少条 ？ 3条
2.椭圆ax2 by2 1与直线x y 1 0交于A, B两点, AB 2 2， 2 AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 是 , 求a, b的值. 2
过焦点的弦长
1 . 弦长公式是通用的
2 .过 焦 点 的 弦 ， 还 用 可 焦 以 半 使
3.抛物线的顶点在原点 ,以x轴为对称轴 , 经过焦点且倾斜角为 135的直线 , 被抛物线所截得的弦长 为8, 求抛物线方程 .