高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案

《高等数学》单元自测题答案

第八章 多元函数微分学

一．填空题

1.3ln 3xy y ；

2.50

3-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3

131

+； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++.

二．选择题

1.B ；

2.D ；

3. C ；

4.D ；

5.A ；

6.B ；

7. B ；

8.A .

三.解答题

1. 解 22222222222211)221(1y x y

x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=∂∂, 2

2222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=∂∂. 2. 解

22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=∂∂, 2222111y x x x x y y z +=+=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+⋅--=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+⋅-=∂∂, 2222

22222222)

()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+⋅++-=∂∂∂=∂∂∂. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(2

22-++=,有 2422''--=--=-=∂∂z x z x F F x z z

x . 4. 证明 r

x z y x x x r =++=∂∂22222, 3222211r x r x r r x r x r -=∂∂-=∂∂, 同理 32

2

21r y r y r -==∂∂, 32221r z r z r -=∂∂, 所以 r r r r r

z y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=∂∂+∂∂+∂∂.

5. 解 '22'1f x

y yf x z -=∂∂, )1(1)1(''22''212'22''12''11'12f x xf x

y f x f x xf y f y x z +--++=∂∂∂ =''223''11'22'11f x

y xyf f x f -+-. 6. 解 令⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=,

063,09632'2'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66''+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy ,

在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值;

在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;

在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值.

7. 解 设 14),,(222-++=z y x z y x F , 则

=n }2,2,2{},,{'''z y x F F F z y x =,

}6,4,2{)3,2,1(=n ,

切平面方程为

0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为

3

32211-=-=-z y x . 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy

V z =,水箱的表面积 )11(

2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-==-=,02,022'2'y V x S x V y S y x

得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 33304

22V V V V

z =⋅=.