变换和置换群
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f◦g=g◦f=g (恒等变换) 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆
元素。
a
5
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。 封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) =
证明要点：
任取jX, 不失一般性，令j=(i1 i2 … im )
由于(i1)i1, 必存在sY, 使得i1出现在s中。由轮换 的定义以及各轮换不相交，i2, i3,…, im也必在s中。 若存在其它某个元素u也在s中, 则u只能在m后面， 则(im)=s(im) =u，同时又有(im)= j(im)=i1, 矛盾。 所以j即s。这说明XY, 同理可知YX。
r =0，即是恒等置换。
若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次找 出i2, i3 …。
S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。
必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与是 一对一的矛盾。)
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
a
9
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交
令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
a
11
置换的轮换乘积形式的唯一性
如 果 置 换 可 以 表 示 为 1wenku.baidu.com…t 和 12…l, 令 X={1, 2, …, t}, Y={1, 2, …, l , }, 则X=Y
1 2
2 1
33
S3是最小的非交换群
注意：质数阶群一定是可交换群。
a
8
轮换与对换
定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
(i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij
j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当 k=2, 也称为对换。
注意：各对换是相交的，因此次序不可以交换。
证明要点：对k归纳。
k=2时显然成立。考虑 =(i1 i2 … ik ik+1 ), 只需证明 =(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )。 分4种情况证明：xA, (x)=(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )(x) (1) x{ i1, i2, …, ik-1} (2) x=ik (3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
a
6
置换及其表示
定义：有限集合S上的双射:SS称为S上 的n元置换
记法：
1(1)(22)...... (nn)
a
7
置换的例子
例子：集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记为S3 ：
e 11
2 2
33
11
2 3
23
12
2 3
13
13
2 2
13
13
2 1
23
变换群和置换群
离散数学 第15讲
a
1
上一讲内容的回顾
不变子群 商群 同态核 自然同态 群同态基本定理 同态基本定理的应用
a
2
变换群与置换群
变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
a
3
变换和变换群
定义：A是非空集合，f:AA称为A上的一个 变换。
a
14
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
a
令： 函数g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3, g(4)=4 函数h: h(1)=3, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=4 函数k: k(1)=4, k(2)=2, k(3)=3, k(4)=1
若 与 不相交，则 =
对任意xS, 分三种情况讨论：
x{i1, i2, …, ik};
x{j1, j2, …, js};
xS-({i1, i2, …, ik}{j1, j2, …, js})，
均有(x) = (x)
a
10
用轮换的乘积表示置换
任一n元置换均可表示成一组互不相交的轮换的乘积。 对在下S中发生变化的元素的个数r 进行归纳：
a
12
置换的轮换乘积形式
例子：15
2 2
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
84
=
(1 5 7) (4 8)
例子：12
2 3
3 5
4 8
5 1
6 4
7 6
78
=(1 2 3 5) (4 8 7 6)
a
13
用对换的乘积表示置换
k(k>1)阶轮换 =(i1 i2 … ik )可以表示为k-1个对换的乘积：(i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
经常讨论的是一一变换，即f是双射。 变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复
合运算。
集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群 称为变换群。
a
4
非空集合上所有的一一变换构成群
设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定
构成群。
封闭性：双射的复合仍是双射。 结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。 单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意 g:AA,
fc,d(ax+b) = acx+bc+d, 例如：f2,1(x)=2x+1, f1,2(x)=x+2, f1,2(f2,1(x))= 2x+3, 即f2,1◦f1,2 = f2,3 ) 结合律：变换的乘法即关系复合运算 单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此f1/a,-b/a是fa,b 的逆元素。(注意：a0)
元素。
a
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变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。 封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) =
证明要点：
任取jX, 不失一般性，令j=(i1 i2 … im )
由于(i1)i1, 必存在sY, 使得i1出现在s中。由轮换 的定义以及各轮换不相交，i2, i3,…, im也必在s中。 若存在其它某个元素u也在s中, 则u只能在m后面， 则(im)=s(im) =u，同时又有(im)= j(im)=i1, 矛盾。 所以j即s。这说明XY, 同理可知YX。
r =0，即是恒等置换。
若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次找 出i2, i3 …。
S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。
必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与是 一对一的矛盾。)
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
a
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不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换： =(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交
令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
a
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置换的轮换乘积形式的唯一性
如 果 置 换 可 以 表 示 为 1wenku.baidu.com…t 和 12…l, 令 X={1, 2, …, t}, Y={1, 2, …, l , }, 则X=Y
1 2
2 1
33
S3是最小的非交换群
注意：质数阶群一定是可交换群。
a
8
轮换与对换
定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
(i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij
j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当 k=2, 也称为对换。
注意：各对换是相交的，因此次序不可以交换。
证明要点：对k归纳。
k=2时显然成立。考虑 =(i1 i2 … ik ik+1 ), 只需证明 =(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )。 分4种情况证明：xA, (x)=(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )(x) (1) x{ i1, i2, …, ik-1} (2) x=ik (3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
a
6
置换及其表示
定义：有限集合S上的双射:SS称为S上 的n元置换
记法：
1(1)(22)...... (nn)
a
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置换的例子
例子：集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记为S3 ：
e 11
2 2
33
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2 3
23
12
2 3
13
13
2 2
13
13
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变换群和置换群
离散数学 第15讲
a
1
上一讲内容的回顾
不变子群 商群 同态核 自然同态 群同态基本定理 同态基本定理的应用
a
2
变换群与置换群
变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
a
3
变换和变换群
定义：A是非空集合，f:AA称为A上的一个 变换。
a
14
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
a
令： 函数g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3, g(4)=4 函数h: h(1)=3, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=4 函数k: k(1)=4, k(2)=2, k(3)=3, k(4)=1
若 与 不相交，则 =
对任意xS, 分三种情况讨论：
x{i1, i2, …, ik};
x{j1, j2, …, js};
xS-({i1, i2, …, ik}{j1, j2, …, js})，
均有(x) = (x)
a
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用轮换的乘积表示置换
任一n元置换均可表示成一组互不相交的轮换的乘积。 对在下S中发生变化的元素的个数r 进行归纳：
a
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置换的轮换乘积形式
例子：15
2 2
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
84
=
(1 5 7) (4 8)
例子：12
2 3
3 5
4 8
5 1
6 4
7 6
78
=(1 2 3 5) (4 8 7 6)
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用对换的乘积表示置换
k(k>1)阶轮换 =(i1 i2 … ik )可以表示为k-1个对换的乘积：(i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
经常讨论的是一一变换，即f是双射。 变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复
合运算。
集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群 称为变换群。
a
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非空集合上所有的一一变换构成群
设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定
构成群。
封闭性：双射的复合仍是双射。 结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。 单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意 g:AA,
fc,d(ax+b) = acx+bc+d, 例如：f2,1(x)=2x+1, f1,2(x)=x+2, f1,2(f2,1(x))= 2x+3, 即f2,1◦f1,2 = f2,3 ) 结合律：变换的乘法即关系复合运算 单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此f1/a,-b/a是fa,b 的逆元素。(注意：a0)