初一数学竞赛讲义 9(数的整除性)

初一数学竞赛讲义 9(数的整除性）

数的整除性

数的整除性

定义1对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a 或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba

数的整除性的性质

性质1 若a∣b，b∣c，则a∣c

性质2若b∣a, n为整数，则b∣na

性质3 若a∣bc,且a与c互质，则a∣b

性质4若c∣a，c∣b，则c∣(a±b)

性质5若b∣a, c∣a, 且b与c 互质，则bc ∣a

例1在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个？

例2证明：形如abcabc的六位数一定被7、11、13

整除。

例3若N=278x是一个被17整除的四位数，求x .

例4已知5∣(x+9y)(x、y为整数)，求证：5∣（8x+7y）

例5若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）(x-b)(x-c)(x-d)-9=0.

求证：4∣（a+b+c+d）

例6已知自然数a、b、c满足[],a b=24，（b,c）=6,[],c a=36,求满足上述条件的数组（a,b,c）

练习;

1、求1000以内同时被3、4、5、6整除的正

整数的个数。

2、设五位数679

x y被72整除，求数字x与y.

3、已知7∣（x+8y-z）(其中x、y、z均为整

数)

求证：7∣（4x+25y+10z）

4、若a、b、c、d、e、f是互不相等的整数，

且整数x满足等式（x-a）(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)（x-f）+36=0.

求证：6∣（a+b+c+d+e+f）