函数的单调性与极值81880
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6、 求导的方法——
定义法
公式法
练习： 1、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0， f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c
a=1, b=1, c=0
引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变
量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量
与函数值的增加量之间的关系
再根据解集写出单调递减区间
注、单调区间不 以“并集”出现。
引例：确定y=2x3-6x2+7的单调区间
函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
用导数法求解函数极值的步骤： (1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值.
表格法
练:(1)y=x2-7x+6 (3)y=x3-27x
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
导数的应用
函数单调性 函数的极值 函数的最值
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值
法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1,2） 2 （2,5） 5
y’ 0 _
0
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
导数的定义
复习
1 、 某点处导数的定义——
f `( x0
)
lim
Δ x0
f ( x0
Δx) Δx
f ( x0
)
2 、 某点处导数的几何意义——
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
3 、 导函数的定义——
f`(x) lim f(x Δx) f(x)
Δ x0
Δx
4、由定义求导数的步骤（三步法）
(1)求增量 Δy f(xΔx) f(x)
导数的应用一、判断单调性、求单调区间
例1、确定函数y=x2-2x+4的单调区间 例2、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间
用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
极大值与极小值统称为极值.
导数的应用二、求函数的极值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
(2)y=-2x2+5x (4)y=3x2-x3
注、极值点是导数值为0的点
导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在 整个定义域区间上，哪个值最大或最小的 问题，这就是我们通常所说的最值问题. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)算比值
Δy Δx
f ( x Δ x ) Δx
f(x)
(3)求极限 y lim Δy Δ x0Δx
5、 求导的公式与法则——
(C)/ 0
(xn )/ nxn1(n N * )
如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么
[f(x) g(x)]/ f/(x) g/(x)
[C f(x)]/ Cf/(x)
于是我们设想一下能否利用导数来 研究单调性呢？
结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，
如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
增函数
ห้องสมุดไป่ตู้y`<0
减函数
证明函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个最小值
表格法
注： 求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
定义法
公式法
练习： 1、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0， f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c
a=1, b=1, c=0
引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变
量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量
与函数值的增加量之间的关系
再根据解集写出单调递减区间
注、单调区间不 以“并集”出现。
引例：确定y=2x3-6x2+7的单调区间
函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
用导数法求解函数极值的步骤： (1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值.
表格法
练:(1)y=x2-7x+6 (3)y=x3-27x
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
导数的应用
函数单调性 函数的极值 函数的最值
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值
法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1,2） 2 （2,5） 5
y’ 0 _
0
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
导数的定义
复习
1 、 某点处导数的定义——
f `( x0
)
lim
Δ x0
f ( x0
Δx) Δx
f ( x0
)
2 、 某点处导数的几何意义——
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
3 、 导函数的定义——
f`(x) lim f(x Δx) f(x)
Δ x0
Δx
4、由定义求导数的步骤（三步法）
(1)求增量 Δy f(xΔx) f(x)
导数的应用一、判断单调性、求单调区间
例1、确定函数y=x2-2x+4的单调区间 例2、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间
用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
极大值与极小值统称为极值.
导数的应用二、求函数的极值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
(2)y=-2x2+5x (4)y=3x2-x3
注、极值点是导数值为0的点
导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在 整个定义域区间上，哪个值最大或最小的 问题，这就是我们通常所说的最值问题. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)算比值
Δy Δx
f ( x Δ x ) Δx
f(x)
(3)求极限 y lim Δy Δ x0Δx
5、 求导的公式与法则——
(C)/ 0
(xn )/ nxn1(n N * )
如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么
[f(x) g(x)]/ f/(x) g/(x)
[C f(x)]/ Cf/(x)
于是我们设想一下能否利用导数来 研究单调性呢？
结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，
如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
增函数
ห้องสมุดไป่ตู้y`<0
减函数
证明函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个最小值
表格法
注： 求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理