【成才之路】高中数学 3-3 指数函数同步练习 北师大版必修1

3-3 指数函数 基 础 巩 固

一、选择题

1．若函数y ＝(1－a )x

在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)

[答案] B

[解析] ∵函数y ＝(1－a )x

在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0

2．函数y ＝2－

x

的图像是下图中的( )

[答案] B

[解析] ∵y ＝2－

x

＝(12

)x

，

∴函数y ＝(12)x

是减函数，且过点(0,1)，故选B.

3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－2x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)

[答案] C

[解析] 令u ＝x 2

－2x ＝(x －1)2

－1，

当x ≤1时，u ＝x 2

－2x 是减函数；当x ≥1时，u ＝x 2

－2x 是增函数，

而y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫23u

为减函数，

故当x ≤1时，y ＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫23x 2－2x 为增函数．

4．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

12

<2x ＋1

<4，x ∈Z

，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0}

[答案] B

[解析] 解法一：(排除法)M ∩N ⊆M ，故排除C 、D ；

x ＝1时，2x ＋1＝4则1∉N ，排除A.故选B.

解法二：∵12<2x ＋1

<4，∴－2

又∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0.

∴N ＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}．故选B.

5．(2011·湖北文)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x

，则

g (x )＝( )

A ．e x

－e －x

B.12(e x ＋e －x )

C.12(e －x －e x

) D.12

(e x －e －x ) [答案] D

[解析] 本题考查了函数的奇偶性，用－x 代x ，联立求g (x )．由f (x )＋g (x )＝e x

知

f (－x )＋

g (－x )＝e －x ，

而f (x )，g (x )分别为偶函数，奇函数， 则f (x )＝f (－x )，g (x )＝－g (－x )，

所以有⎩⎪⎨

⎪⎧

f x ＋

g x ＝e x

f x －

g x ＝e －x

解得g (x )＝12

(e x －e －x

)．

6．函数y ＝a x

在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 [答案] B

[解析] 当01，当x ＝0时，y min ＝a 0

＝1， 当x ＝1时，y max ＝a 1

＝a ，

又∵1＋a ＝3，∴a ＝2.故正确答案为B. 二、填空题 7．函数f (x )＝a

x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.

[答案] 9

[解析] ∵函数f (x )＝a x 2

＋2x －3

＋m (a >1)恒过点(1,10)，

∴10＝a 0

＋m ，∴m ＝9.

8．函数y ＝的定义域是__________，值域为__________．

[答案] [－1,2] [

2

4

，1] [解析] 由－x 2

＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2， 此时－x 2

＋x ＋2∈[0，94]

∴u ＝－x 2

＋x ＋2∈[0，32]，

∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u

∈[24，1]．

三、解答题

9．求下列函数的值域和单调区间． (1)y ＝(12)－x 2＋2x

；

(2)y ＝4x

－2

x ＋1

＋3，x ∈(－∞，1]．

[分析] 这两个小题均以指数函数形式出现但都是由两个函数复合而成． (1)中y ＝(12)u ，u ＝－x 2

＋2x ；

(2)中y ＝t 2

－2t ＋3，t ＝2x

.

先考虑其定义域，再求其值域．求单调区间可由复合函数的单调性来确定． [解析] (1)设u ＝－x 2

＋2x .

∵y ＝(12)u ，u ＝－x 2

＋2x 的定义域都是R ，

∴y ＝(12)－x 2＋2x

的定义域为R ，

∵u ＝－x 2

＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)u ≥(12

)1

， ∴函数的值域为[1

2

，＋∞)．

u ＝－(x －1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，

在[1，＋∞)上单调递减．