初二数学轴对称典型例题

初二数学轴对称 典型例题 01

证明题

例1. 如图1所示，△ABC 是等边三角形，AE=BD ，EB 交DC 于P 点。求证：∠=BPC 60°。 分析：欲证∠=BPC 60°，可从两方面考虑，一方面在△BPC 中，可证∠+∠=PBC PCB 120°，另一方面可利用外角∠=∠+∠BPC D DBP 求解，由已知可得∆∆ABE BCD ≅，则可求出对应角相等，从而为证∠=BPC 60°提供了条件。

证明：∵△ABC 是等边三角形

∴∠=∠==BAC ABC AB BC 60°； ∴∠=∠=EAB DBC 120°

在△EAB 和△DBC 中 图 1 EA DB EAB DBC AB BC EAB DBC SAS EBA BCD

=∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪∴≅∴∠=∠∆∆()

∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠EBA DBP

DBP BCD

PBC BCP DBP PBC

即∠=∠+∠DBC PBC BCP

在△PBC 中，∠+∠+∠=BPC PBC BCP 180°

∴∠=-∠+∠=-∠=∠=BPC PBC BCP DBC BPC 1801806060°即°

()

例2. 如图2所示，已知：等边△ABC 中，D 为BC 上一点，△DEC 也是等边三角形，BE 延长线和AC 延长线交于点M ，AD 的延长线和CE 延长线交于点N ，求证：CM=CN 。

分析：欲证CM=CN ，只须证CM 与CN 所在的两个三角形全等，即∆∆ACN BCM ≅。 证明： ∆ABC 为等边三角形

E

A

B C

D P

∴=∠=∴=∴∠=∴∠=∴∠=∠=BC AC ACB DCE DC EC DCE ECM ACN BCM ，°为等边三角形°°

°606060120 ∆ 在△ACD 和△BCE 中

AC BC ACD BCE DC EC =∠=∠=⎧⎨⎪

⎩⎪

∴≅∴∠=∠∠=∠=∠=∠⎧⎨⎪

⎩

⎪∆∆∆∆ACD BCE SAS NAC MBC ACN BCM NAC CBM

AC BC

ACN BCM ()在和中

∴≅∴=∆∆ACN BCM ASA CM CN ()

例3. 如图3所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF 。求证：AC=BF 。 分析：欲证AC=BF ，只须证AC 、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC 、BF 的两个图形，需添加辅助法，遇到中线，通常倍长中线。 法一：延长AD 到H ，使得DH=AD ，连结BH ∵D 为BC 中点 ∴BD=DC 在△ADC 和△HDB 中

AD DH ADC BDH BD CD ADC HDB SAS AC BH H HAC EA EF =∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪∴≅∴=∠=∠=∆∆()，

∴∠=∠HAE AFE

又 ∠=∠∴∠=∠∴=∴=BFH AFE

BFH H BH BF BF AC

法二：延长FD 至H ，使得DH=FD ，连结HC 。

A

D C B

E

M N

A

E F

B D

C

A

∵D 为BC 中点 ∴BD=CD 在△BFD 和△CHD 中

FD HD

BDA CDH BD CD BFD CHD SAS H BFH CH BF AE FE

HAC AFE =∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪∴≅∴∠=∠==∴∠=∠∆∆（）

， 又 ∠=∠∴∠=∠∴=∴=AFE BFH

H HAC

CH CA BF AC

例4. 如图4所示，△ABC 中，∠=⊥ACB CD AB 90°，，垂足为D ，AE 是角平分线交CD 于F ，FM//AB 且交BC 于M ，则CE 与MB 的大小关系怎样？并证明你的结论

分析：这是一道结论探索型题目，首先，猜测CE=BM ，显然由图形的位置关系需将CE 、BM 分别放在两个三角形中，证明两个三角形全等。但构造含BM 的三角形与含CE 的三角形全等比较困难，需证明CM=BE ，可作EH AB H ⊥于，证明∆∆CFM EHB 与全等即可。 证明：作EH AB H ⊥于

AE CAB ACB EC EH CD AB CDB FM AB

CFM CDB B CFM EHB B B

平分，°，，°°，°

°，°

∠∠=∴=∠=∠⊥∴∠=∴∠=∠=∠=∠∴∠=∠=∠+∠=∠+∠=∴∠=∠9045909019023903902//

∠=∠+∠∠=∠+∠CEF B CFE 524，

∴∠=∠∴=∴=CFE CEF CF CE CF EH

在△CFM 和△EHB 中

⎪⎩⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠CF EH BHE MFC B 1 ∴≅∴=∴=∆∆CFM EHB AAS CM EB CE BM ()

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

A

H

C

E

F M

A D B

C

A D H B

一. 选择题

1. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）

A. 顶角的一半

B. 底角的一半

C. 90°减去顶角的一半

D. 90°减去底角的一半 2. 等腰三角形中的一个内角为50°，那么它的底角是（ ） A. 50°

B. 130°

C. 65°

D. 50°或65°

3. 如图5所示，BD 、CE 分别是不等边△ABC 的外角平分线，DE//BC 且过点A ，则图中能构成等腰三角形的个数共有（ ） A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

4. 如图6所示，AB=AC ，BD=CE ，AF BC ⊥。则图中全等的三角形共有（ ） A. 1对

B. 2对

C. 3对

D. 4对

图 5 图6 图 7 5. 如图7所示，在△ABC 中，∠=∠ABC ACB 2，BD 平分∠ABC 。AD//BC ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

6. 如图8所示，△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线相交于O 点，过O 作MN//BC 交AB 、AC 分别于M 、N 。若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN 的周长为（ ） A. 30 B. 36 C. 39

D. 42

二. 解答题 图 8

如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠A ，E 为BC 的中点，过E 作EF//AD 交AB 于G ，交CA 的延长线于F 。求证：BG=CF 。

D A

E B C

A D

E

B C

A

O

M N

B C