函数的极限(二)

函数的极限（二）一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念如同x →∞时的函数极限有x →+∞和x →-∞两种情况一样，函数()f x 在0x x →的趋向下，我们也需要研究函数的单侧极限的问题，讨论从0x 的右侧（0x x >）或左侧（0x x <）无限趋向0x 的过程中，函数()f x 的变化趋势。

例如考虑0x →0x +→。

如果x 是从0x 的右侧无限趋向于0x ，对应的函数值()f x 无限趋于常数A ，则称A 是0x x →时函数()f x 的右极限。

严格的描述这个极限过程的“εδ-”语言是：（即数学定义）设函数()f x 在0x 的右侧区间0(,)x b 内有定义，对于任意给定的0ε>，总存在正数δ，使得当x 在00x x δ<-<时，恒有下列不等式成立|()|f x A ε-<，则称A 是0x x →时函数()f x 的右极限，记作0lim ()x x f x A -→=。

同样，如果x 是从0x 的左侧无限趋向于0x ，对应的函数值()f x 无限趋于常数A ，则称A 是0x x →时函数()f x 的左极限，“εδ-”定义是： 设函数()f x 在0x 的左侧区间0(,)a x 内有定义，对于任意给定的0ε>，总存在正数δ，使得当x 在00x x δ<-<时，恒有下列不等式成立|()|f x A ε-<，则称A 是0x x →时函数()f x 的左极限，记作0lim ()x x f x A -→=。

例1.1 用定义证明： 1l i 0x -→=。

证：对于任给0ε>，欲使 |()0||0|f x ε-==<，即等于x <成立就可以了。

但本题1x -→，故对于任给0ε>（取1ε<），取δ=，当01x <-< 或 11x <时，恒有 |()|f x ε<。

这就证明了10x -→=。

从例1.1 的证明过程看，单侧极限的证明其实与一般极限的验证过程并无太大的区别，只是在选定自变量的邻域时，需要注意它的取值范围要满足条件00x x δ<-<或00x x δ<-<。

例1.2 教科书上第49页的例9还是值得仔细琢磨的。

它研究的是取整函数在端点0x n =处的左、右极限。

请看书上第10页的图1-10。

这个分段函数的解析式为 1,[1,)()[],[,1)n x n n f x x n x n n -∈-⎧==⎨∈+⎩， 0,1,2,n =±±它的特点是：()f x 在0x n =的左侧区间[1,)n n -内为常数1n -，右侧区间[,1)n n +内则为常数n 。

注意这两个区间都是半闭半开的。

函数在0x n =处的函数值为 ()f n n =，但是lim ()lim[]lim (1)1x nx nx nf x x n n ---→→→==-=-， lim ()lim[]lim x nx nx nf x x n n +++→→→===。

可见，此函数在整数点处的左、右极限不相等。

当函数()f x 在0x 处的左、右极限不相等时，我们不能说()f x 在0x x →的趋向下存在极限。

换言之，只有()f x 在0x 处的左、右极限相等时，才能说0lim ()x x f x A →=。

请看下列定理所描述的极限与左、右极限的关系：例1.3 0lim ()x x f x A →=的充要条件是 00lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==。

证：必要性。

设0lim ()x x f x A →=，则由极限定义，对任给的0ε>，存在0δ>，使当00||x x δ<-<时恒有 |()|f x A ε-<。

换言之，当x 的邻域取为0x x δδ-<-<，且0x x ≠。

因为邻域00x x δ<-< 和邻域 00x x δ<-<这两种情况是00||x x δ<-<的子区间，所以在这两个邻域中仍然恒有|()|f x A ε-<成立。

故在0lim ()x x f x A →=成立的情况下，必有+lim ()lim ()x x x x f x f x A -→→==。

充分性。

设+lim ()lim ()x x x x f x f x A -→→==成立。

故对任给的0ε>，分别有1200δδ>>，，使当010x x δ<-< 和 020x x δ<-<时，都有 |()|f x A ε-<。

取12min{,}δδδ=，那么在00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<自然也成立，即有 0lim ()x x f x A →=。

我之所以要把书上的证明另行重证，是因为有不止一位同学对书上的证明表示疑惑。

不知上述证明能否消除这些同学的疑惑？例1.3 讨论极限 02lim x x x→-。

解： 因为22=1x x x--，图像在0x =处是中断的，在原点的右端，函数趋向于-∞；而在原点的左端，函数趋向于+∞。

因此，+02lim x x x →-=-∞，02lim x x x -→-=+∞，它的左右极限不相等。

所以02lim x x x→-不存在。

二． 极限的四则运算极限的四则运算，是学习极限的基本功。

几类容易引起误解的情况，在课堂上已经分析过了。

大家做了一些练习，需要自己不断地归纳，小结。

要学会这个本事。

自己归纳出来的才属于自己。

我作为老师讲出来的，毕竟是我的体会。

所以，下面的内容与题目，最好不要当作小说来读，自己想一下或做一遍，再来看我写的。

这样的好习惯，需要一段时间来养成。

好吗？例2.1 下述运算过程是否正确：0000111lim sinlim limsin 0limsin 0x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=。

最后结果等于零是因为0乘任何数仍然为0。

解：解法不正确。

在运用两函数乘积的极限时，要求每一个函数的极限都存在，否则不能套用，这里01lim sinx x→极限不存在。

正确的方法是：因为对任何不等于0的x ，都有1|sin|1x ≤，因此在定义域（实数集）上，1sin x是一个有界函数；又0lim =0x x →，是一个无穷小量。

根据有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小量的结论，有 01l i m s i n 0x x x→=。

从表面上看，两种方法的结果一样，但解题的指导思想完全不同。

所以我们不要仅仅看答案是多少。

例2.2 若函数()f x 的极限存在，而函数()g x 的极限不存在，问()(),()()f x g x f x g x +的极限是否都存在？解：()()f x g x +的极限肯定不存在。

理由如下：假若()()f x g x +的极限存在，记()()()f x g x u x +=，则()u x 的极限存在。

根据()()()g x u x f x =-，则等式两边出现矛盾的情况：右边是两个有极限的函数之差，所以这个差函数仍然有极限。

而等式的左边则是一个没有极限的函数。

这是矛盾的。

所以假设不能成立，从而()()f x g x +的极限不存在。

大家看，反证法看似简单，缺常能解决大问题。

希望大家逐步学会这个方法。

其实，反证法不仅在数学里用，在社会生活里也能用得上。

再看第二问。

()()f x g x 的极限较为复杂，不能一概而论。

例如，在0x →时，1()s i n ,()f x g x x x ==，前者极限不存在，而后者有极限。

但1()()sin f x g x x x=的极限为0。

但不要立即下结论，说极限存在。

因为()()f x g x 的极限不存在的情况也很多。

数学上说一个命题成立，必须任何情况下都成立才行；说一个陈述不成立，只需一个反例就可以否决。

请大家举1-2个例子。

好吗？例2.3 若函数()f x 和()g x 的极限均不存在，问问()(),()()f x g x f x g x +的极限是否都存在？ 解：不能一概而论。

极限存在的例子：||||(),()x x f x g x x x==-。

可以证明，这两个函数在0x →时极限都不存在。

但 ()()0,(0)f x g x x +=≠，所以极限存在。

再看它们的积, ()()1f x g x =-，极限也存在。

极限不存在的例子有很多，留给大家自己找出了。

求多项式的极限是最容易的，只需求出它在0x x →时的函数值。

只是要提醒大家，不要把函数值与极限的概念混淆起来。

同样，求有理分式函数()()P x Q x 在0x x →时的极限也不太难，只要0()0Q x ≠就可以。

这里要用的公式在课堂上已经仔细推导过了，在此简略了。

不过，我们常要遇到∞∞或00，这样的情况，这时，就不能套极限运算公式了，需要做些变化或变换，改变∞∞或0的格式，使极限运算公式能运用。

例2.4 求 3232341lim322x x x x x →+∞-+-+。

解：这是∞∞型极限。

注意到分子与分母中x 的最高次是32，用32x 去分别除分子和分母，得原式13221322413lim322x xx xx→+∞-+=-+， 这样，在x →+∞时，分子趋向3，分母则趋向于—2，最后得原式32-。

由本例可以归纳出，求两个多项式的商在x →∞时的极限，当出现∞∞的情况时，用分子和分母中x 的最高次项去除分子和分母，使多项式的每一项不是常数就是无穷小量，从而可以运用极限运算法则。

若分母极限为0，则先算其倒数的极限。

例如下例例2.5 2221111lim lim 155x x x x x x x x x→∞→∞+-+-=++， 这样分母的极限为0。

但我们可以计算其倒数222155lim lim =011x x x x x x x x x→∞→∞++=+-+- 根据无穷大与无穷小的关系，得21lim 5x x x x →∞+-=∞+。

当遇到型的极限，也不能直接运用极限运算法则，需要作些变换。

例2.6 求 22232lim 252x x x x x →-+-+。

解：当2x →时，分子分母的极限均为0。

所以属于型极限问题，不能直接运用极限运算法则。

注意到2x =时的分子和分母的函数值都为0，这表明，2是它们的零点，或者说2都是分子、分母的根，所以它们都含有(2)x -的因子。

所以将分子，分母进行因式分解：2222232(1)(2)1lim lim lim252(21)(2)21x x x x x x x x x x x x x →→→-+---==-+---， 因为(2)x -在极限过程中非零，上下可以消去这个非零因子。