微积分求极限的方法(2·完整版)
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
微积分中经典求极限方法
(II) g(x) M
(M 为正整数)
则： lim g(x) f (x) 0 x x0
例: 求
lim x sin 1
x0
x
解: 由
lim x 0 而
x0
故 原式 = lim x sin 1 0
x0
x
sin 1 1 x
3
8、利用无穷小量与无穷大量的关系。
出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
例 求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】因为 x 0时，ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 x2 2
,所以
lim
x0
x ln(1 x) 1 cos x
lim x0
xx 1 x2
2
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】 lim ( x 2 3 x 2 1) lim ( x 2 3 x 2 1)( x 2 3 x 2 1)
x
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x 2 3 x 2 1
例1
lim
x1
3x 1 2 x 1
解：原式= lim x1
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例:求极限
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
解: sin x 2 ~ x 2 , 1 cos x 2 ~ (x 2 )2 2
(x2 )2
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
=
2 x2x2
微积分计算极限
微积分计算极限以微积分计算极限为标题，下面将介绍一些关于微积分中极限的计算方法。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它可以帮助我们研究函数的性质以及解决各种数学问题。
我们来看一下什么是极限。
在数学中，当自变量趋于某个特定的值时，函数的值可能会趋于某个确定的值，这个确定的值就是极限。
用数学符号表示，如果当自变量x趋于a时，函数f(x)的值趋于L，我们可以写成：lim(x→a) f(x) = L在微积分中，我们主要研究函数在某个点的极限。
通过计算极限，我们可以了解函数在这个点附近的性质，比如函数的斜率、单调性、凹凸性等等。
那么，如何计算极限呢？下面我们介绍一些常用的计算方法。
1. 代入法：当函数在某个点a处有定义时，我们可以直接将a代入函数中计算得到极限的值。
这种方法适用于一些简单的函数，比如多项式函数、三角函数等。
2. 四则运算法则：对于两个函数之和、差、积、商的极限，可以通过对每个函数分别求极限，然后应用四则运算法则得到结果。
这个方法在计算复杂函数的极限时非常有用。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种非常重要的计算极限的方法。
当函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 且lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L 时，我们可以得到lim(x→a) g(x) = L。
这个方法在计算一些复杂函数的极限时非常有效。
4. 无穷小量与无穷大量：在一些特殊情况下，我们可以将函数表示成无穷小量和无穷大量的形式，然后通过对它们进行比较来计算极限。
比如当x趋于无穷大时，我们可以将函数表示成f(x)/g(x)的形式，然后根据g(x)的阶数来判断极限的值。
5. 泰勒展开：泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，我们可以通过泰勒展开来计算一些复杂函数的极限。
泰勒展开可以将一个函数表示成无穷个项的和，然后通过截断展开式来计算极限。
除了上述方法外，还有一些其他的计算极限的方法，比如洛必达法则、换元法等等。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
微积分中的函数极值求解方法
微积分中的函数极值求解方法函数极值是微积分中比较基本的一个概念，它经常被用来解决各种实际问题。
理解函数极值的求解方法对于深入掌握微积分知识非常重要。
本文主要介绍微积分中的函数极值求解方法。
一、定义和分类在一个区间内，如果函数在某一点的左侧和右侧函数值都比它小，则这个点就是函数的极大值点。
相反，如果函数在某一点的左侧和右侧函数值都比它大，则这个点就是函数的极小值点。
极值点既可以是局部的，也可以是全局的。
如果一个函数在整个定义域内都没有极值点，那么它就是无界的。
二、求解方法1. 寻找导数为零的点对于一个连续函数，函数极值发生的位置要么在它的端点处，要么在导数为零的点处。
因此，我们可以先求出它的导数，然后找到导数为零的点即可。
这一方法通常适用于函数的导数很容易求得的情况。
2. 利用一阶导数和二阶导数在某些情况下，函数的导数可能很难求得。
这时候，我们可以利用一阶导数和二阶导数的性质来判断函数极值点。
具体方法如下：（1）对于一个函数的极大值点，它的一阶导数在该点处为零，而且二阶导数小于零；（2）对于一个函数的极小值点，它的一阶导数在该点处为零，而且二阶导数大于零。
这个方法的优点是不需要求出具体的导数，只需要求出一阶导数和二阶导数的符号即可。
3. 利用离散化方法如果函数的解析形式十分复杂或无法解析，我们可以利用离散化方法逼近函数图形来求解函数极值点。
具体方法如下：（1）将区间离散成若干个点，然后求出这些点的函数值；（2）在这些点中，找到函数值最大和最小的点，即为函数的极大值点和极小值点。
这个方法的优点是非常直观易懂，但是精度取决于离散化的精度和采样点的数量。
三、案例分析下面通过两个实例来深入了解函数极值的求解方法。
例一：求解函数$f(x)=x^3-3x^2+1$的极值点。
函数的一阶导数为$f'(x)=3x^2-6x$，二阶导数为$f''(x)=6x-6$。
因此，我们可以得到：（1）解一阶导数方程$3x^2-6x=0$，得到导数为零的点$x=0$和$x=2$。
微积分求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：lim x→−2（3x 2−5x +2）=24 例二：lim x→0（1−2x−3）=53 类似这种你直接把x 趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
lim x→√3x 2−3x 4+x 2+1知识点1：当x 趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0lim x→2x 2−3x −2知识点2：当x 趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于∞方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x 是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似lim x→3x 2−9x−3=lim x→3（x +3）下面讲个例知识点3：x n −y n =(x-y)(x n−1+x n−2y +⋯+y n−1)例三：lim x→1x m −1x n −1=lim x→1x m−1+x m−2+⋯+1x n−1+x n−2+⋯+1=m n方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：lim x→∞√x 2+x −x =lim √x 2+x+x =12方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：lim √x+1−√x−1=lim x→0√x+1+√x−12=1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：lim √2x+1−3√x−2−√2知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x 趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：lim n→∞（n−1）2n−3=∞ （分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：limx→∞1000x 1+x 2=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：lim x→∞2x+36x−1 （分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数分母最高次数项系数）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：lim x→131−x 3-11−x知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
微积分求极限的方法(2·完整版)
专题一 求极限的办法【考点】求极限1、 近几年来的测验必定会涉及求极限的大标题,一般为2-3题12-18分阁下,而用极限的概念求极限的标题已不会消失.一般来说涉及到的办法重要涉及等价量代换.洛必达轨则和应用定积分的概念求极限,应用这些办法时要留意前提,如等价量代换是在几块式子乘积时才可应用,洛必达轨则是在0比0,无穷比无穷的情形下才可应用,应用极限的四则运算时要各部分极限消失时才可应用等.2、 极限收敛的几个准则：归结准则（接洽数列和函数）.夹逼准则（经常应用于数列的连加）.单调有界准则.子数列收敛定理（可用于评论辩论某数列极限不消失）3、 要留意除等价量代换和洛必达轨则之外其他帮助办法的应用,比方因式分化,分子有理化,变量代换等等.4、 两个重要极限0sin lim 1x xx→=101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,留意变形,如将第二个式子1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋势于0的函数()f x 以构造“1∞”的情势的典范求极限标题.5、 一些有助于解题的结论或留意事项须要留意总结,如： （1） 应用归结原则将数列极限转化为函数极限（2）函数在某点极限消失的充要前提是阁下极限消失且相等.有时可以应用这点进行解题,如111lim x x e-→因阁下极限不相等而在这点极限不消失.（当式子中消失绝对值和e 的无穷次方的构造时可以斟酌从这个角度动身）（3）碰到无穷项和式求极限时想三种办法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列乞降)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解.（4）假如f(x)/g(x)当x →x0时的极限消失,而当x →x0时g(x)→0,则当x →x0时f(x)也→0（5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *个中办法②③考到的可能性较大.6、 有关求极限时能不克不及直接代入数据的问题.7、 闭区间上持续函数的性质（最值定理.根的消失性定理.介值定理）8、 此部分标题属于根本题型的标题,须要尽量拿到大部分的分数.【例题精解·求极限的办法】办法一：直接经由过程化简,应用极限的四则运算进交运算.【例1】求极限 11lim 1m n x x x →--解 1212111(1)()lim lim 1(1)()m m m n n n x x x x x x x x x x ----→→--++=--++…1…1=mn注：此题经由过程洛必达轨则进行求解也异常便利.还可经由过程变量代换构造等价量.【例2】求极限limx →+∞解1lim lim 2x x →+∞==注：1.碰到“根号加减根号”根本上有两种办法——有理化和采纳倒变量的办法.2.一个最根本的多项式极限112112limn n nm m x na x a x ab x b x b --→+∞++++++……(系数均不为0)：①若n>m,则极限为正无穷; ②若n<m,则极限为0; ③若n=m,则极限为11a b .（本质为比较次数）要留意的是x 是趋势于正无穷,并且分子分母碰到根号时要以根号里x 的最高次的12次来盘算,的次数为1. 办法二：应用单调有界准则来证实极限消失并求极限【例3】设112u ≥-,11,2,...)n u n +==,证实lim n n u →∞消失并求之办法三：应用夹逼定理——实用于无穷项求极限时可放缩的情形. 【例4】求极限(1lim1...n n→∞++++解 因(1111=1...n n n n⋅<+++<⋅而lim1=n n →∞故由夹逼定理(1lim 1...n n→∞++++=1 办法四&办法五：等价量代换.洛必达轨则——不决式极限.（化加减为乘除！）【例5】求极限tan 0lim tan x xx e e x x→--解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x-→→--==--【例6】求极限1121lim ()x x x x a a +→+∞-解 111111222(1)111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x xx x x x x x x x a ax aax a-++++→+∞→+∞→+∞--=⋅⋅-=【例7】求极限0x →解 原式=0x →=()022tan sin lim4sin 23x x xx x x →-+⋅⋅ =02tan (1cos )lim sin 423x x x x x x x x →-⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭=302132lim 416123x xx x →=⋅⋅⋅【例8】求极限01cos cos 2cos3lim 1cos x x x xx→--解：直接应用洛必达轨则和等价量代换可得01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--=000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x x x x x→→→++=000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3limlim lim sin sin sin x x x x x x x x x x x xx x x→→→++=000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3limlim limx x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3lim lim lim23x x x x x x x x x x x xx x x →→→++=1+4+9=14 【例9】求极限limlog ()a b x x x x →+∞+ 解： 由换底公式,=ln()lim ln a b x x x x →+∞+(∞∞)=lim a ba b x ax bx x x →+∞++=lim a ba bx ax bx x x →+∞++ 若a b ≥,则极限为a ;若a b <,则极限为b ,综上,极限为max{,}a b 办法六：幂指函数求极限——取对数再取指数.【例10】21lim sin n n n n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)∞解 2221011sin lim sin =lim sin lim n x t n x t t n x n x t +→∞→+∞→⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例11】1ln +lim arctan 2xx x π→∞⎛⎫-⎪⎝⎭0(0)解 +1ln arctan 2ln lim ()ln +lim arctan =2x x xx x x eππ→∞⎛⎫- ⎪∞⎝⎭∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【例12】求极限cot 1lim arc xx x e x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭❉留意x 是趋势正无穷,此时须要先剖析底数和指数分离趋势于若干,剖析底数易知底数趋势于正无穷.但是指数arccotx 这个函数不是很熟,可以经由过程图像先剖析cotx 再剖析arccotx 趋势于若干,最后得出结论是指数趋于0.故是一个“0∞”型,所以要用“先取对数再取指数”的办法.对于之后arccotx 的处理,若用罗比达对其求导则会发明再接下来比较难做,这里给出一个转化为熟习的,可等加量代换的式子的办法,办法较灵巧,须要对三角函数之间的转换有很深的熟习度. 解原式=1arccot ln lim x e x x x e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭→+∞=1lim arccot ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=11lim arctan ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=()ln 1ln lim x x e x x e→+∞--∞⎛⎫⎪∞⎝⎭=1lim1xx x e x e e→+∞--=e❉关于第三个等号阁下的变更：令cot y arc x =,则1cot tan x y y==,故1tan y x =,1arctan y x =,综上,1cot tan arc x arc x= 办法七：应用泰勒定理求极限——实用于直接洛必达不好算时斟酌的办法.【例13】求极限22202lim (cos )x x x x x e →+--解2441()28x x o x =+-+0x →，,23cos 1()02!x x o x x =-+→，2221()0x e x o x x =++→， 代入原式可得,原式=422420232222()4lim 1()1()2!x x x x o x x x o x x o x →+--++⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦=44044()4lim 3()2x x o x x o x →+-+=16- 办法八：经由过程定积分的概念来求极限 【例14】求22222lim (...)149n n n n nn n n n n→+∞++++++++解 因为此题无法直接对式子进行化简,也无法用夹逼定理,故想到用定积分的概念来求解,即原式=2222222221lim (...)149n n n n n n n n n n n→+∞++++++++ =222211111lim ...1231111n n n n n n n →+∞⎤⎡⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2111lim 1nn i n i n →+∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 此时由定积分的概念可将上面的和式算作被积函数21()1f x x =+在[0,1]上的定积分,故22222lim (...)149n n n n n n n n n n →+∞++++++++=12011dxx +⎰=4π 【例15】求极限1111limln1[(1)(2)...21]lim (!)=lim nn i inn n nn n n n n n e n n→+∞=→+∞→+∞∑--⋅=解1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim(!)=lim lim nnnn n n n n n n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞--⋅--⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【例16】2222221sin sin lim ln nn k k k n k k n n →+∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑ 【剖析】此题看似庞杂,其实细心不雅察可以发明本质仍为无穷项的和式求极限,故再次想到用定积分的概念求解.故我们须要找到定积分概念中和式极限的“1n”和“()i f ξ”.“1n”我们可以相似【例5】,本身把这一项构造出来,而()i f ξ这一项不合于我们以往做过的标题中()i f ξ经常取小区间的左端点1i n -或右端点in,而是取了中央一个点,但是无论若何,因为“取点的随意率性性”,只要能暗示成1(),(),()i i if f f n nξ-中的一种即可看作为0到1上()f x 的定积分. 解： 原式=1112ln 2x xdx xdx =-=-⎰⎰ 故原式=101ln 4x xdx =-⎰ 【一些焦点问题&问的许多的标题】1.求极限的时刻到底什么时刻可以直接代进去？ 【例子1】02cos limsin 2x xx →【例子2】01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--【例子3】limx →-【例子4】()2201lim ln 1x a a ax x x →⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,()0a ≠ 2.苏德矿版微积分P104 T107令sin x t =,化简方程()22210d y dyx x y dx dx---=【一些演习题,有点难度,可做可不做】 1.12lim ...2!3!(1)!n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭2.1u =1,2u =2,3n ≥,12n n n u u u --=+,求1limn nu →∞3.((()1111...1lim1n x x -→---答案： 1.1 2.03.1!n。
微积分 求极限的方法
求极限方法一:直接代入法例一:=24例二:=类似这种您直接把x趋近的值代入到函数里面,就可以直接得到函数的极限了。
知识点1:当x趋近值代入后,分子为0,分母不为0时,函数极限等于0知识点2:当x趋近值代入后,分子不为0,分母为0时,函数极限等于方法二:因式分解法(一般就是平方差,完全平方,十字相乘)普通的就就是分子分母约去相同的项,因为x就是趋近值,所以上下就是可以约去的,不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3:=(x-y)()例三:==方法三:分母有理化(用于分母有根式,分子无根式)例四:=方法四:分子有理化(用于分子有根式,分母无根式)例五:==1方法五:分子分母同时有理化(用于分子有根式,分母有根式)例六:知识点4:(使用这个知识点时,必须注意只能在x趋近于无穷时使用,且使用时只用瞧各项的最高次数,不用管其她)例七:=(分子的最高次就是两次,大于分母最高次一次,所以直接得出极限为无穷大)例八:=0 (分子的最高次就是一次,小于分母最高次两次,所以直接得出极限为零)例九:(分子的最高次就是一次,等于分母最高次一次,所以直接得出极限为)方法六:通分法(若函数为两个分数相加减时,通常先同分再做处理,一般情况下同分后都要进行因式分解,然后分子分母约去相同的多项式)例十:-知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时,新函数的极限仍为无穷小。
(有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍就是无穷小量)例十一:=0 函数左边用知识点4得出就是无穷小,右边3+cosx就是有界函数,所以新函数极限为无穷小,即0所有求极限的题中,代入x趋近值后,若出现或,都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分求极限的方法
微积分求极限的方法微积分中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
求极限的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法和技巧。
1.代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一、它的基本思想是，将极限中的自变量替换为一个特定的值，然后计算函数在这个特定值附近的取值情况。
例如，求$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$，我们可以将 $x$ 替换为$0$，然后计算 $\frac{\sin 0}{0}$，根据 $\sin 0=0$，所以这个极限等于 $1$。
2.夹逼准则：夹逼准则也是求极限常用的方法之一、它的基本思想是，如果一个函数在一些点附近有两个函数夹住，这两个函数的极限都存在且相等，那么这个点的极限也存在且等于这个共同的极限。
例如，求极限 $\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$，我们可以使用夹逼准则，上下界函数分别是$-x$ 和 $x$，两个函数的极限都是 $0$，所以根据夹逼准则，该极限也是 $0$。
3.分子有理化和分母有理化：有时候，如果极限的表达式中有无理数或者根式，可以尝试用有理数近似代替无理数，然后对分子和分母进行有理化。
例如，求极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$，我们可以对分子有理化，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$，然后化简得 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$，再代入$x=0$ 可以求得极限等于 $1$。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限中常用的一个重要方法。
它适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限。
微积分求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：（）=24例二：（一）=类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点1:当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0知识点2 :当x趋近值代入后，分子不为0,分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似一= （）下面讲个例知识点3: =（x-y）（）方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：-^^=方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：_ = ------ =1方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：=一='Fo o 4癒;li JYl JS丽彳==丿％口―二伽鮫逆鱼拘御逹药炒妙闰^pXS（?j +3）ffi5 -h|i）诃仅」帧窃播3） =間2^^十爭屮4两+3_ 2反一3的曲沁赠向于卫局严8述尖如I? n<m* 加帕心+二僞戒丁慣加扪他，側节5晞&）& “阳知识点4 : （使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用, 且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七: （分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：——=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：——（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数）分母最高次数项系数方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十:知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例^一: —（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现■或一，都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分 2.3 极限的运算法则
小结：求极限基本类型3—同除以x的最高次幂
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有 a0 , 当 n m , b 0 m m 1 a0 x a1 x am lim 0, 当 n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m , 当 x 以自然数变化时也有同样的结论!
(1) lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
(2) lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B f ( x) lim f ( x) A (3) lim ( B 0) g ( x) lim g ( x) B
注意： (1)极限过程为 : x , 极限形式为 :" "型,
(2)分子、分母同时除以自变量的最高次幂， 然后再求极限.
(提高题)
(2 x 3) (3x 1) 例10. 求 lim 50 x (2 x 1)
30
20
Sol.
(2 x) (3x) 原式 lim 50 x ( 2 x)
《微积分(Calculus )》
第二章 极限和连续
§2.3 极限的运算法则
§2.3 极限的运算法则
一. 极限的四则运算
二. 计算函数极限举例
教学要求：
掌握极限四则运算法则，会用极限四则 运算法则计算基本类型的函数极限。
一. 极限的四则运算
定理1： 若 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B, 则
3.分子分母同除以最高次幂
极限过程为 : x , 极限形式为 :" "型,
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略微积分是数学中的一门重要学科，其中的函数极限是微积分中的一个重要概念。
函数极限涉及到函数在某一点或在无穷远处的变化趋势，对于理解函数的性质和计算导数、积分都有着至关重要的作用。
在微积分中，函数极限的求解有许多种常用的方法和策略，下面我们就来详细介绍一下。
一、代数法代数法是函数极限求解中最为基础的方法之一，也是最为直观的方法。
通过代数化简和变形，可以将一些复杂的函数极限问题化简成简单的极限求解问题。
代数法的基本思路是将被求极限的函数进行一系列的代数化简，将复杂的式子转化成易于求解的形式。
典型的代数法包括有理化简、分子有理函数和分式分解等。
通过这些方法，可以将原极限式子进行化简，在化简的过程中，我们可以利用一些常见的极限极限性质，如等价无穷小、夹逼定理等简化极限问题，从而达到求解极限的目的。
二、换元法换元法是函数极限求解中常用的方法之一，它主要是通过变量替换来将原极限问题转化成更简单的极限问题，进而求出原极限的值。
换元法的核心是找到适当的变量替换，将原极限问题化简成一个更容易处理的情况。
在使用换元法时，我们可以尝试使用一些常见的替换技巧，如三角函数替换、指数换元、对数换元等。
通过这些替换，可以将原极限问题转化成更加简单的形式，从而利用一些基本的极限性质求解。
在进行变量替换时，需要考虑到替换后的极限问题与原问题之间的联系，确保变换后的问题和原问题是等价的，这样才能保证求解的正确性。
三、洛必达法则洛必达法则是函数极限求解中比较常用的一种方法，它主要适用于求解不定型极限，如0/0、∞/∞等形式的极限。
根据洛必达法则，如果一个函数极限的分子和分母都趋于零或无穷大，并且两者的极限存在，那么可以利用导数的知识来求解原函数的极限。
在使用洛必达法则时，我们首先需要计算原函数的导数或导数的比值，然后再求出导数或导数的比值的极限，如果该极限存在，则可以得出原函数的极限。
需要注意的是，洛必达法则只适用于不定型极限，对于其他类型的极限并不适用，因此在使用洛必达法则时需要注意选择合适的条件。
四川微积分 极限的运算法则
2.5 极限的运算法则
微积分
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A ,
g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
微积分
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B) 0.
( 2)成立.
f ( x ) A A A B A B A 0. g ( x ) B B B B( B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x 0 时,
B , 2
1 1 B B B B B 2 2
微积分Biblioteka 1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
( 3)成立.
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
微积分 求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：=24例二：=类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3：=(x-y)()例三：==方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：=方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：==1方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：-知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分求极限
微积分求极限在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它用来描述函数在某一点附近的行为。
我们可以通过求极限来研究函数的连续性、导数和积分等性质。
我们来介绍一下极限的定义。
对于函数f(x)，当x趋近于某一点a 时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记为lim(x→a) f(x)=L。
求解极限的方法有很多，我们这里介绍一些常用的方法。
1. 代入法：当函数在某一点a处有定义时，我们可以直接将x=a代入函数中计算出函数值作为极限值。
2. 四则运算法则：对于两个函数的和、差、积和商，我们可以利用它们的极限性质进行计算。
具体而言，如果lim(x→a) f(x)=L，lim(x→a) g(x)=M，那么有以下性质：- lim(x→a) [f(x)+g(x)] = L+M- lim(x→a) [f(x)-g(x)] = L-M- lim(x→a) [f(x)g(x)] = LM- lim(x→a) [f(x)/g(x)] = L/M (M≠0)3. 夹逼定理：当函数f(x)、g(x)、h(x)在某一点a的附近有定义，并且满足f(x)≤g(x)≤h(x)时，如果lim(x→a) f(x)=lim(x→a) h(x)=L，那么lim(x→a) g(x)=L。
4. 分段函数的极限：对于分段函数，我们可以分别求解各个分段函数的极限，然后根据定义来确定整个函数的极限。
5. 无穷大与无穷小的极限：对于函数f(x)，当x趋近于无穷大或负无穷大时，我们可以通过观察函数的表达式来判断函数的极限性质。
例如，当x趋近于无穷大时，如果函数f(x)的表达式中包含x 的最高次幂项，且系数为正，则lim(x→∞) f(x)=+∞；如果系数为负，则lim(x→∞) f(x)=-∞。
通过以上几种方法，我们可以求解各种不同类型的极限。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限是微积分的重要内容之一，需要通过特定的方法来计算。
下面对常见的求极限方法进行总结。
1. 代入法：将极限中的变量直接代入函数中，求出函数在该点处的函数值，作为极限的近似值。
这种方法适用于简单的极限。
2. 分子有理化法：当极限的分子、分母含有根式时，可以通过有理化的方法，将根式分子分母有理化，然后进行化简，化简后求极限。
这种方法适用于分子分母含有根式的情况。
3. 夹逼法：当函数的极限不存在或难以直接求出时，可以通过构造一个上界函数和下界函数，使得它们的极限都存在且相等，且夹住函数的极限。
然后通过夹逼原理，求出该极限。
这种方法适用于极限存在且难以直接求出的情况。
4. L'Hopital法则：当极限为形式为“∞/∞”、“0/0”、“1^∞”、“0^0”等无穷型与无穷型的不定式时，可以通过求导的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于无穷型与无穷型的不定式。
5. 推广L'Hopital法则：当极限为形式为“∞*0”、“∞-∞”等不定型不定式时，可以通过引入参数，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于不定型不定式。
6. 换元法：当极限为特殊函数形式时，可以通过换元的方法，将其转化为可直接计算的形式。
比如将极限中的自变量换成1/自变量或sin(1/自变量)等函数形式。
这种方法适用于特殊函数形式的极限。
7. Taylor展开法：当极限为函数值在某点的展开式时，可以通过泰勒展开的方法，将其转化为可直接计算的形式。
这种方法适用于函数值在某点的展开式。
8. 综合运用：对于复杂的极限问题，可以综合运用以上方法，逐步化简。
先运用代入法、分子有理化法，再运用夹逼法、L'Hopital法则等，逐步逼近极限的值。
在实际应用中，根据题目的要求和已知条件，选择适合的方法来求解极限。
对于复杂的问题，可以采用逐步化简的方法，一步步逼近极限的值。
同时，对于无法通过常见方法求解的特殊问题，还可以借助数值计算的方法，利用计算机进行近似计算。
微积分中常用的函数极限计算方法及解析
微积分中常用的函数极限计算方法及解析
微积分中常用的函数极限计算是不可缺少的重要环节，它是研究求积无界积分的基础。
极限计算涉及到极限图像、极限非存在情况和极限的定义形式的处理，今天会给大家介绍极限计算的一些方法，包括极限兑现法、公式法和图形法。
首先，我们来讲解极限兑现法，极限兑现法包括一致极限法和极限等价法，它能够用来计算实际可以被兑换的情况下的一切极限，用辨别式来将表达式写作易于计算值，在通过一系列兑换运算之后，再将计算结果运算，最终求得极限值。
其次，使用公式法来计算极限，这种方法通常在对简单表达式进行极限计算时使用较多，通过一定的共同公式，用恰当的方式将极限图像拓展，使其极限显着，从而达到预期的极限值，并通过定义形式的处理来计算极限值。
最后，我们来看图形法，这种方式主要利用函数图形的相关规律，旨在求解某个函数在给定点处极限非存在情况，即某个函数在某处会近似产生折叠或有跳变等特性，从而找出与该点相关联的值，以完成极限的计算。
以上就是微积分中常用的极限函数计算的方法，可以从不同的角度、不同的方式构建函数中极限的研究，相信只要努力，每一个人将可以熟练的掌握极限计算的各种方法，学会选择它们其中的任何一种来解决实际问题。
微积分求极限地方法(2·完整版)
专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。
一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。
2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。
4、 两个重要极限0sin lim1x x x →= 101lim(1)lim(1)xx x x x e x→∞→+=+=，注意变形，如将第二个式子10lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
有时可以利用这点进行解题，如111lim x x e-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。
（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0（5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
微积分02极限
n
[证明]
0, 欲找自然数 N , 使 n N , 有
n
a 1 a 1
n
令 un a 1 0
n
n
un n N
a a (1 un ) 1 nun nun 0 un n a a a un n 取 N 1 n
这时又称{an }收敛于A. ( N 定义 )
[注意1]
极限是什麽？
n
极限是一个数
数列an 收敛 lim an A 表示一个数 .
lim an 不存在, 无意义 , 数列an 发散 .
n
[注意2]
lim a n A 的直观说法
n
[注意3] 数列极限定义是描述性的定义. 只能用于验证某数是不是其极限,不能用 于求极限. [注意4] 若 lim a n 0, 则数列a n 为无穷小量.
1时, a n 0 a n 1 恒成立；
1时, N [log a ] 0,当n N时, n log a
a 单减, 从而 a 0 a a
n n n log a
a 1时, lim a 不存在 n 对A R , 取 0 1 , 则不论多大的N , 存在 2 N n N log a ( A 1) N , 使得 a 1 N a AA N log a (1 A ) n a A a A A A 0 N a (1 A ) A 1 0
n
lim a
n
n
不存在.
类似可证：
市
lim log a n、 lim log a 1 不存在. n n n
(完整版)微积分公式大全
(完整版)微积分公式大全1. 极限极限是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点处的趋近情况。
常见的极限公式包括：- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在正无穷远处的极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的右侧极限为 $L$。
- $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$：函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的左侧极限为 $L$。
2. 导数导数用于描述函数在某一点处的斜率，常见的导数公式有：- $\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) +\frac{d}{dx}g(x)$：和的导数等于各个函数导数之和。
- $\frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：常数倍的函数导数等于常数与函数导数的乘积。
- $\frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}g(x) + g(x) \cdot \frac{d}{dx}f(x)$：乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
- $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$：复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
3. 积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
常见的积分公式有：- $\int f(x) dx$：函数 $f(x)$ 的不定积分。
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专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。
一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。
2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。
4、 两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x xx x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式子10lim(1)xx x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
有时可以利用这点进行解题，如111lim x x e-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。
（当式子中出现绝对值和e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0 （5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。
【例1】求极限 11lim 1m n x x x →--解 1212111(1)()lim lim 1(1)()m m m n n n x x x x x x x x x x ----→→--++=--++…1…1=mn注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。
还可通过变量代换构造等价量。
【例2】求极限lim x →+∞解1lim lim2x x →+∞==注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。
2、一个最基本的多项式极限112112lim n n nm m x na x a x ab x b x b --→+∞++++++……(系数均不为0)：①若n>m ，则极限为正无穷； ②若n<m ，则极限为0； ③若n=m ，则极限为11a b 。
（本质为比较次数） 要注意的是x 是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x 的最高次的12次来计算，如1。
方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限 【例3】设112u ≥-，11,2,...)n u n +==,证明lim n n u →∞存在并求之方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。
【例4】求极限(1lim 123...n n n n n n→∞++++解 因(1111=123...=n n n n n n n n n n n n n⋅<+++<⋅ 而 lim1=nn n n →∞故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n→∞++++=1方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。
（化加减为乘除！）【例5】求极限tan 0lim tan x x x e e x x→--解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x-→→--==--【例6】求极限1121lim ()xx x x a a+→+∞-解 111111222(1)111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x x x x x x x x x x a ax aax a-++++→+∞→+∞→+∞--=⋅⋅-=21lim 1ln ln (1)x x a a x x →+∞⋅⋅⋅=+【例7】求极限x →解 原式=x →=()022tan sin lim4sin 23x x xx x x →-+⋅⋅ =02tan (1cos )lim sin 423x x x x x x x x →-⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭ =302132lim 416123x xx x →=⋅⋅⋅【例8】求极限01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--=000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x x x x x→→→++=000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3lim lim limsin sin sin x x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3lim lim limx x x x x x x x x x x xx x x→→→++= 000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x xx x x→→→++=1+4+9=14【例9】求极限lim log ()a b x x x x →+∞+解： 由换底公式，=ln()lim ln a b x x x x →+∞+(∞∞)=lim a b a b x ax bx x x →+∞++=lim a b a b x ax bx x x →+∞++ 若a b ≥，则极限为a ；若a b <，则极限为b ，综上，极限为max{,}a b方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。
【例10】21lim sin n n n n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)∞解222111sinlim sin=lim sin limn xtn x tt n xn x t+→∞→+∞→⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin1sinsinlim11t t tt t t tttt+-⋅⋅-→⎛⎫=+-⎪⎝⎭3200sin0cos11lim lim036t tt t tt te e e++→→--⎛⎫-⎪⎝⎭===【例11】1ln+lim arctan2xxxπ→∞⎛⎫-⎪⎝⎭(0)解+1ln arctan2ln lim()ln+lim arctan=2xxxxxx eππ→∞⎛⎫-⎪∞⎝⎭∞→∞⎛⎫-⎪⎝⎭2211()1()arctan0 21lim lim()10arctan2x xxxxxxxe eππ→+∞→+∞⋅-+--+-==221lim11xxxe e→+∞--+==【例12】求极限cot1limarc xxxex→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭❉注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。
但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。
故是一个“0∞”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。
对于之后arccotx 的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。
解 原式=1arccot ln lim x e x x x e⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭→+∞=1lim arccot ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=11lim arctan ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=()ln 1ln lim x x e x x e→+∞--∞⎛⎫⎪∞⎝⎭=1lim1xx x e x e e→+∞--=e❉关于第三个等号左右的变化：令cot y arc x =，则1cot tan x y y ==，故1tan y x =，1arctan y x=，综上，1cot tan arc x arc x=方法七：运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。
【例13】求极限22202lim (cos )x x x x x e →+--解2441()28x x o x =+-+0x →，,23cos 1()02!x x o x x =-+→，2221()0x e x o x x =++→， 代入原式可得，原式=422420232222()4lim 1()1()2!x x x x o x x x o x x o x →+--++⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦=44044()4lim 3()2x x o x x o x →+-+=16-方法八：通过定积分的概念来求极限 【例14】求22222lim (...)149n n n n nn n n n n →+∞++++++++ 解 由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即原式=2222222221lim (...)149n n n n n n n n n n n →+∞++++++++ =222211111lim ...1231111n n n n n n n →+∞⎤⎡⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2111lim1nn i n i n →+∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数21()1f x x=+在[0,1]上的定积分，故 22222lim (...)149n n n n n n n n n n →+∞++++++++=12011dxx +⎰=4π【例15】求极限1111limln1[(1)(2)...21]lim (!)=lim nn i inn n nn n n n n n e n n→+∞=→+∞→+∞∑--⋅=解 1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim (!)=lim lim nnnn n n n n n n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞--⋅--⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11231lim (...)nn n n n n n n n→+∞-=⋅⋅⋅11231limln(...)n n nn n n n n n e→+∞-⋅⋅⋅=11lim ln nn i i n n e→+∞=∑=1ln xdx e⎰=10(ln )|1x x x e e --== 【例16】2222221sin sin lim ln nn k k k n k k n n →+∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑ 【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。