2_4n阶矩阵乘积的行列式
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.4
n阶矩阵乘积 n阶矩阵乘积 的行列式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
1
a11 L a1k M M a k 1 L a kk 引例 设 D = c L c1 k 11 M M c n1 L c nk
a11 L a1k
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
2 1 c d
1 2 1 2 2 1 2 1 21 1 2×2 1 = ( −1) = −3. 1 1 0 0 2 1 2 3 2 3 0 0
Page 7
定理5 矩阵乘积的行列式定理 矩阵乘积的行列式定理)设 都是n阶矩阵 定理5 (矩阵乘积的行列式定理 设A,B都是 阶矩阵， 都是 阶矩阵， 则
L a1n B1 L a2 n B2 = AB M M M L ann Bn
Page 10
A B =
A −E
0 B
=
0 −E
AB B
= ( −1)n×n − E AB
= ( −1)n×n+ n AB = AB
AAT = E , A < 0, 阶矩阵， 例2 设A是n阶矩阵，且 是 阶矩阵
故
O L pkk L c1 k M L c nk
0 q11 M O qn1 L q nn ,
D = p11 L pkk ⋅ q11 Lqnn = D1 D2 .
Page 4
引理 设
a11 a A = 21 M an1 c11 c 21 C= M cm 1
a12 a22 M an 2
c12 c22
L a1n b11 b L a2 n , B = 21 M M M L ann bm 1 L c1n L c2 n , 则 M M L cmn
b12 a22 M bm 2
L b1m L b2 m , M M L bmm
对 D2 作运算 ci + kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2 = M O q n1 L 0 = q11 Lqnn . pnk
Page 3
对 D 的前 k 行作运算 ri + kr j，再对后 n 列作运 算 c i + kc j , 把 D 化为下三角形行列式
p11 M pk 1 D= c11 M c n1
AB = A B
证明： 阶单位矩阵， 证明：设 A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , E 为n阶单位矩阵， 阶单位矩阵 B的行分块矩阵为 的行分块矩阵为
根据引理，有 根据引理，
B1 B= M Bn
A B = A −E 0 B LLLL (2.11)
Page 8
式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 对(2.11)式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 式右端的行列式进行如下的等值的行变换 将第n+1行的 ai 1 倍加到第 行, i = 1, 2,L , n 行的 倍加到第i行 将第 将第n+2行的 ai 2 倍加到第 行, i = 1,2,L , n 行的 倍加到第i行 将第 …… 将第n+n行的 ain 倍加到第 行, i = 1, 2,L , n 行的 倍加到第i行 将第 则(2.11)式右端行列式变成 式右端行列式变成
b11 L b1n
M , D1 = det(a ij ) = M M , D2 = det(bij ) = M bn1 L bnn a k 1 L a kk
证明
D = D1 D2 .
Page 2
证明
对 D1 作运算 ri + krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 设为 D1 = M O pk 1 L 0 = p11 L pkk ; pkk
111 135 2 1 123 99 1 2 , 求 A* . 例3 设 A = -1 2 0 0 1 0 0 -2
解:
A = ( −1)
*
2×2
2 1 −1 2 = 9. 1 2 −2 1
*
由于AA = A A = A E ,
A A = A E = A
证明：E + A = 0. 证明： 2 T T 证明： 证明： AA = E ⇒ A A = E ⇒ A = 1, 由假设可知 A = −1, 故
= AAT + A = A( AT + E ) = A AT + E E+A
=− A +E
T
(
)
T
= − A+ E .
Page 11
所以结论成立。 所以结论成立。
0 −E
C B
Page 9
n ∑ a1k Bk k =1 n ∑ a2 k Bk 其 中 ， C = k =1 M n ∑ ank Bk k =1 利用分块矩阵的乘法 a11 a12 a a22 21 C = M M an1 an 2
* 4
4
A = A = 729.
* 3
Page 12
M
cm 2
d=
A C
0 B
= A B.
Page 5
类似的可得： 类似的可得：
A D = A B, 0 B
F B 0 B A 0 A M = ( −1)mn A B ,
= ( −1)mn A B .
源自文库
Page 6
例1
1 2 a 0 0 1 0 0 2
b 1 3 = 1 21 1 2 1 2 3 = −3,
n阶矩阵乘积 n阶矩阵乘积 的行列式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
1
a11 L a1k M M a k 1 L a kk 引例 设 D = c L c1 k 11 M M c n1 L c nk
a11 L a1k
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
2 1 c d
1 2 1 2 2 1 2 1 21 1 2×2 1 = ( −1) = −3. 1 1 0 0 2 1 2 3 2 3 0 0
Page 7
定理5 矩阵乘积的行列式定理 矩阵乘积的行列式定理)设 都是n阶矩阵 定理5 (矩阵乘积的行列式定理 设A,B都是 阶矩阵， 都是 阶矩阵， 则
L a1n B1 L a2 n B2 = AB M M M L ann Bn
Page 10
A B =
A −E
0 B
=
0 −E
AB B
= ( −1)n×n − E AB
= ( −1)n×n+ n AB = AB
AAT = E , A < 0, 阶矩阵， 例2 设A是n阶矩阵，且 是 阶矩阵
故
O L pkk L c1 k M L c nk
0 q11 M O qn1 L q nn ,
D = p11 L pkk ⋅ q11 Lqnn = D1 D2 .
Page 4
引理 设
a11 a A = 21 M an1 c11 c 21 C= M cm 1
a12 a22 M an 2
c12 c22
L a1n b11 b L a2 n , B = 21 M M M L ann bm 1 L c1n L c2 n , 则 M M L cmn
b12 a22 M bm 2
L b1m L b2 m , M M L bmm
对 D2 作运算 ci + kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2 = M O q n1 L 0 = q11 Lqnn . pnk
Page 3
对 D 的前 k 行作运算 ri + kr j，再对后 n 列作运 算 c i + kc j , 把 D 化为下三角形行列式
p11 M pk 1 D= c11 M c n1
AB = A B
证明： 阶单位矩阵， 证明：设 A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , E 为n阶单位矩阵， 阶单位矩阵 B的行分块矩阵为 的行分块矩阵为
根据引理，有 根据引理，
B1 B= M Bn
A B = A −E 0 B LLLL (2.11)
Page 8
式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 对(2.11)式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 式右端的行列式进行如下的等值的行变换 将第n+1行的 ai 1 倍加到第 行, i = 1, 2,L , n 行的 倍加到第i行 将第 将第n+2行的 ai 2 倍加到第 行, i = 1,2,L , n 行的 倍加到第i行 将第 …… 将第n+n行的 ain 倍加到第 行, i = 1, 2,L , n 行的 倍加到第i行 将第 则(2.11)式右端行列式变成 式右端行列式变成
b11 L b1n
M , D1 = det(a ij ) = M M , D2 = det(bij ) = M bn1 L bnn a k 1 L a kk
证明
D = D1 D2 .
Page 2
证明
对 D1 作运算 ri + krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 设为 D1 = M O pk 1 L 0 = p11 L pkk ; pkk
111 135 2 1 123 99 1 2 , 求 A* . 例3 设 A = -1 2 0 0 1 0 0 -2
解:
A = ( −1)
*
2×2
2 1 −1 2 = 9. 1 2 −2 1
*
由于AA = A A = A E ,
A A = A E = A
证明：E + A = 0. 证明： 2 T T 证明： 证明： AA = E ⇒ A A = E ⇒ A = 1, 由假设可知 A = −1, 故
= AAT + A = A( AT + E ) = A AT + E E+A
=− A +E
T
(
)
T
= − A+ E .
Page 11
所以结论成立。 所以结论成立。
0 −E
C B
Page 9
n ∑ a1k Bk k =1 n ∑ a2 k Bk 其 中 ， C = k =1 M n ∑ ank Bk k =1 利用分块矩阵的乘法 a11 a12 a a22 21 C = M M an1 an 2
* 4
4
A = A = 729.
* 3
Page 12
M
cm 2
d=
A C
0 B
= A B.
Page 5
类似的可得： 类似的可得：
A D = A B, 0 B
F B 0 B A 0 A M = ( −1)mn A B ,
= ( −1)mn A B .
源自文库
Page 6
例1
1 2 a 0 0 1 0 0 2
b 1 3 = 1 21 1 2 1 2 3 = −3,