专题14 巧解二次函数与相似三角形综合题（含答案）

专题14 巧解二次函数与相似三角形综合题

【知识解读】

点在二次函数图象上的运动，既能改变图形中线段与角的数量关系，还能改变图形的形状与位置，从而生成特殊三角形，特殊四边形，相似三角形，二次函数与相似三角形的结合是数形结合的重要表现形式，是各地中考十分常见的压轴方式．根据相似三角形的性质确定动点的位置是主要题型，把相似三角形的性质与点的坐标有机结合，点在运动过程中对不同的对应关系而进行讨论，是解这类题的关键．

培优学案

【典例示范】

例1如图14－1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝DC ，BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正半轴上，点A ，D 的坐标分别为A （0，2），D （2，2），AB ＝22，连接A C ．

（1）求出直线AC 的函数解析式；

（2）求过点A ，C ，D 的抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上有一点P （m ，n ）（n ＜0），过点P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，连接BPC ，使以点C ，P ，M 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似，求出点P 的坐标．

【提示】（1）由A 的坐标可以求得QA 的长，而AB 长已知，根据勾股定理可以求出OB 的长，则B 点的坐标可以知道．根据等腰梯形的轴对称性可得C 点坐标，然后把A 、C 坐标代入可以求出一次函数的解析式；

（2）点A 、C 、D 的坐标都可以求得，根据待定系数法求值即可；

（3）因为B （－2，0），C 点坐标为（4，0），所以需要分m ＞4，m ＜－2两种情况，另外由于边的不确定性，在相似时也应该分情况讨论．所以通过相似求值后需要验证所求得的值是否符合实际情况．

值得注意的是：问题呈现形式“以点C ，P ，M 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似”与“Rt △CMP ∽Rt △AOC ”是有很大区别的，后者有严格的对应关系，而前者则没有明确对应关系，往往需要对不同的x

y

图141

C

D O

B

A

【解答】

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如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y=ax 2+bx （a >0）经过点A 和x 轴正半轴上的点AO=BO=2，∠AOB =120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 【提示】1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．

2．因为∠BOM =∠ABO =30°，因此点C 在点B 的右侧时，

恰好有∠ABC =∠AOM ．

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．

【解答】

例2 已知，经过点A （一4，4）的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点B （-3，0）及原点O ． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，平行于y 轴的直线交线段AO 于点Q ，交抛物线于点P ，当四边形AHPQ 为平行四边形时，求∠AOP 的度数；

y

x

M

B O

A

（3）如图2，若点C 在抛物线上，且∠CAO =∠BAO ，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G ，使得△GOP ∽△COA ？若存在，请求出所有满足条件的点G 坐标；若不存在，请说明理由．

【提示】对于（3），P （-2，-2），A （-4，4）隐含了什么关系？条件∠CAO =∠BAO 怎样运用？如何将△GOP ∽△COA 转化为相似三角形的基本图形？点G 的位置能否大致确定？这是解决问题的关键.应综合利用几何变换和相似关系求解．

方法一：翻折变换，将△AOC 沿x 轴翻折；

方法二：旋转变换，将△AOC 绕原点顺时针旋转90°．

特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y=x 的对称点也满足题意，即满足题意的P 点有两个，避免漏解．

通过几何变换，构造基本相似形，化一般为特殊，使得点G 得以定位，提高解题的境界． 【解答】

如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4经过点D （2，4），且与x 轴交于A （3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC 、CD 、BC ． （1）直接写出该抛物线的解析式；

图 1 图 2

C

A

B

O

y

x

x y

H Q

P

O

B

A

（2）如图2，点P 是所求抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l ，l 交x 轴于点E ，交直线AC 于点M ．设点P 的横坐标为m ．

①当0

②当-1

【提示】（1）将D （2，4）、A （3，0）代入y=ax 2+bx+4，得关于a 、b 的方程组，解方程组即可；（2）求出直线AC 的解析式为y=4

3

-

x+4，用m 的代数式表示出P 点、E 点、M 点的坐标，证△COB ∽△MEG 得OB GE OC ME =

,求出GE =13

-m +1，所以AG =OA -OG =3-（43m -1）=4

3-m +4，最后将各代数式代入S △GMC =S △CGA -S △MGA =

12OC ·AG -1

2

ME ·AG ，得S △GMC 关于m 的二次函数，配方求最值；（3）先得∠AME =∠PMC ，然后相似只需分两种情况讨论． 【解答】

例3 如图，抛物线y=-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ． （1）求线段DE 的长；

（2）设过点E 的直线与抛物线相交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），试判断|x 1-x 2|的值最小时，直线MN 与x 轴的位置关系，并说明理由．

图 1 图 2

O y

x

l P

M

E

G

D

C

B A y

x

O D

C

B A