第三章 无机材料的热学性能
无机材料的热学性质
三、无机材料的热传导
[1] 相关概念
固体材料中，垂直于x轴方向的截面积为ΔS，沿x 轴方向的温度变化率为dT/dx，在Δt时间内沿x轴方 向传过的的热量为ΔQ，则有
Q dT St
dx
712.3 364.5 301.7
熔点(oC)
3500 1415 232
l(×10-6)
2.5 3.5 5.3
二、无机材料的热膨胀
[3]热膨胀与其它材料性质的关系
[A] 化 学 键 型 [B] 结合能、熔点
1、受热→晶格振动加剧→引 起体积膨胀(l )
2、热容是升高单位温度所需 要的能量
两者具有相似的规律
理想气体的导热公式为 1 Cvl
3
式中，Ｃ为气体容积热容，v为气体分子的平均速度，l为气体分子的平
均自由度。
参考气体热传导是气体分子（质点）碰撞的结果，可以建立 相应的声子碰撞的数学表达式。
对于晶体来说，Ｃ是声子的热容，v为声子的速度，l为声子
的平均自由度。 C在高温时，接近常数，在低温时它随T3变化；声速v 为一常
撞频率越高，则声子的平
均自由程越短，热导率越
小。
1 Cvl
3
三、无机材料的热传导
[2] 声子的热传导机理 (2) 声子散射机构—点缺陷的散射 散射强弱与点缺陷的大小和声子的波长相对大小有关。
[2] 声子的热传导机理 (1) 声子散射机构—声子的碰撞过程
q1 ，q2相当大时，Kn 0， 碰撞后，发生方向反转，从 而破坏了热流方向产生较大 的热阻。
三、无机材料的热传导
[2] 声子的热传导机理
无机材料的热学性能-第1讲
dV
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第三章 无机材料的热学性能
固体或液体：T↑，体积变化小，因此：
C P CV
高温时，固体或液体的Cp与Cv的差别较大！
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第三章 无机材料的热学性能
2、固体的经典热容理论
（1）元素的热容定律——杜隆一珀替定律
恒压下，元素的原子热容为： C
P
25 J /( k mol )
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第三章 无机材料的热学性能
3、简谐振动 简谐振动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正 比、方向总是指向平衡位置的回复力作用下的振动 ；或物体的运动参量（位移、速度、加速度）随时 间按正弦或余弦规律变化的振动。
X A co s( 2 t / T )
式中：X为位移；A为振幅，即 质点离开平衡位置时 (x=0) 的最 大位移绝对值；t为时间；T为 (2 简谐振动的周期； t / T ) 为简 谐振动的位相。
彩电等多种电路中广泛应用的大功率管，其底部 的有机绝缘片，为了散热而要求具有良好的热导性。
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第三章 无机材料的热学性能
3.1 热学性能的物理基础
1、热性能的物理本质
升华 热容 晶格热振动 热膨胀 熔化 热稳定性
热传 导
热性能的物理本质:晶格热振动
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第三章 无机材料的热学性能
h
0
2
1
E
低温区：
hv
0
1
kT
C
v
e
kT
2
1
h kT
0
h 0 3R kT
e
低温区域，CV值按指数规律随温度T而变化，而 不是从实验中得出的按T3变化的规律。 忽略了各格波的频率差别，其假设过于简化。
无机材料的热学性能
E=3i=N1E(i)=
3N
i=1
ħi exp( ħi/kBT) －1
用积分函数表示类加函数：
设()d 表示角频率在和+d之间的格波数,而且
m 0
()d
=3N
平均能量为：
－E=0 m
ħ exp( ħ/kBT) －1
()d
等容热容：
Cv=(dE/dT－)v=0 m
局限性：
不能说明高温下，不同温度下热容的微小 差别
不能说明低温下，热容随温度的降低而减 小，在接近绝对零度时，热容按T的三次 方趋近与零的试验结果
室温下一些固体的摩尔热容
实验表明：固体的热容量随 温度的降低而减小，当温度T 趋于零时，各种固体的热容 量也都趋于零。
热容的量子理论
分析具有N个原子的晶体： 每个原子的自由度为3，共有3N个频率，在温度Tk时，晶体的 平均 能量：
无机材料物理性能
第八讲
2019年10月13日
材料热性能研究的意义
在空间科学技术中的应用 在能源科学技术中的应用 在电子技术和计算机技术中的应用
引言
我们主要关心的热学性能是： 热容（改变温度水平所需的热量）； 热膨胀系数（温度变化1oC时体积或线尺寸的
相对变化）； 热导率（每单位温度梯度时通过物体所传导的
和其他材料结合使用时所发生的许多最常见的困难是起因于温度 所引起的尺寸变化
无机材料的晶格热振动
材料的各种热性能的物理本质， 均与晶格热振动有关
晶体点阵中的质点（原子、离子） 总是围着衡位置作微小振动，称为 晶格热振动
格波——由于材料中质点间有着很强的相互作用力，
因此一个质点的振动会使邻近质点随之振动，因相邻质 点间的振动存在着一定的位相差，使晶格振动以弹性波 的形式在整个材料内传播。该弹性波是多频率振动的组
《无机材料物理性能》课后习题答案解析
课后习题《材料物理性能》第一章材料的力学性能1-1一圆杆的直径为2.5 mm 、长度为25cm 并受到4500N 的轴向拉力，若直径拉细至 2.4mm ，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。
解：由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。
1-5一陶瓷含体积百分比为95%的Al 2O 3 (E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其上限和下限弹性模量。
若该陶瓷含有5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。
解：令E 1=380GPa,E 2=84GPa,V 1=0.95,V 2=0.05。
则有当该陶瓷含有5%的气孔时，将P=0.05代入经验计算公式E=E 0(1-1.9P+0.9P 2)可得，其上、下限弹性模量分别变为331.3 GPa 和293.1 GPa 。
0816.04.25.2ln ln ln 22001====A A l l T ε真应变)(91710909.4450060MPa A F =⨯==-σ名义应力0851.0100=-=∆=A A l l ε名义应变)(99510524.445006MPa A F T =⨯==-σ真应力)(2.36505.08495.03802211GPa V E V E E H =⨯+⨯=+=上限弹性模量)(1.323)8405.038095.0()(112211GPa E V E V E L =+=+=--下限弹性模量1-11一圆柱形Al 2O 3晶体受轴向拉力F ，若其临界抗剪强度τf 为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。
解：1-6试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出t = 0,t = ∞ 和t = τ时的纵坐标表达式。
解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程：Voigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：).1()()(0)0()1)(()1()(10//0----==∞=-∞=-=e EEe e Et t t στεσεεεσεττ；；则有：其蠕变曲线方程为：./)0()(;0)();0()0((0)e (t)-t/e στσσσσσστ==∞==则有：：其应力松弛曲线方程为0123450.00.20.40.60.81.0σ(t )/σ(0)t/τ应力松弛曲线0123450.00.20.40.60.81.0ε(t )/ε(∞)t/τ应变蠕变曲线)(112)(1012.160cos /0015.060cos 1017.3)(1017.360cos 53cos 0015.060cos 0015.053cos 82332min 2MPa Pa N F F f =⨯=︒︒⨯⨯=⨯=︒⨯︒⨯=⇒︒⨯︒=πσπτπτ：此拉力下的法向应力为为：系统的剪切强度可表示由题意得图示方向滑移以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。
无机材料的热学性能-第2讲 (2)
高温
T高: 第三章 无机材料的热学性能 较多的振动模式 较大的振动振幅 较多的声子被激发 较多的声子数
声子浓度梯度（扩散）
T低: 较少的振动模式 较小的振动振幅 较少的声子被激发 较少的声子数
低温
温度平衡时：同样多的振动模式 同样多的振动振幅 同样多的声子数
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第三章 无机材料的热学性能
从晶格格波的声子理论可知：
T↑，声子碰撞几率↑， l ↓，热阻↑ ， λ↓
T ↓ ，声子碰撞几率↓ ， l ↑ ，热阻↓， λ ↑
平均自由程 l 最大可达晶粒尺寸——l上限 最小为为晶格间距—— l下限
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第三章 无机材料的热学性能
(3) T对λ的影响 T=0K，C=0, λ=0↓
1 C vl 3
T ↑ ， C∝T3， l是上限值， λ ∝T3，λ ↑
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第三章 无机材料的热学性能
（2） 点缺陷的散射 散射强弱与点缺陷的大小和声子的波长相对大小有关。 点缺陷的大小是原子的大小 在低温时，为长波，波长比点缺陷大的多，散射的几 率 1/4 T4, 平均自由程与T4成反比； 在高温时，声子的波长和点缺陷大小相近似，点缺陷 引起的热阻与温度无关。平均自由程为一常数。 （3） 晶界散射 晶界散射和晶粒的直径d成反比，平均自由程与d成正 比。 （4）位错的散射 在位错附近有应力场存在，引起声子的散射，其散 射与T2成正比，平均自由程与T2成反比。
（1）声子的碰撞过程
两声子发生碰撞，形 成新声子的动量方向和 原来两个声子矢量和方 向相一致，热流方向不 被破坏，此时无多大的 热阻。
声子1 新声子
声子2
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第三章 无机材料的热学性能
无机材料的热学性能
材料物理性能典型教案吴其胜蔡安兰杨亚群材料工程学院2007年7月2 材料的热学性能（计划学时：6学时）要求：了解、掌握点阵振动和各项热性能的机理，影响各热性能的主要因素，熟练掌握陶瓷材料的热性质，加强理论与实际相联系。
重点：热振动理论，热膨胀，热传导，抗热震性。
难点：热传导、抗热震性。
本章思考题：1、何为“声频支振动”、“光频支振动”？2、关于晶态固体热容的经验定律（杜隆-珀替定律、柯普定律、德拜T3定律）？3、固体材料的热膨胀机理？4、解释部分多晶体或复合材料的热膨胀系数滞后现象。
5、固体热导率的普遍形式？声子平均自由程受哪些因素影响从而影响热导率？6、影响材料热导率的因素？7、晶体和非晶体的导热系数随温度变化规律有何差异？产生该差异的原因（画出λ-T 图）？8、写出R 、R/、R//的表达式及它们的含义。
9、写出两个抗热冲击损伤因子的表达式及它们的作用。
材料和制品往往应用于不同的温度环境中，在很多使用场合还对它们的热性能有着特定的要求。
热学性能也是材料重要的基本性质之一。
2.1 热学性能的物理基础材料的各种热性能均与晶格热振动有关。
晶格热振动：是指晶体点阵中的质点（原子或离子）总是围绕着平衡位置作微小振动。
晶格热振动是三维的，可以根据空间力系将其分解成三个方向的线性振动。
以x n 、x n +1、x n -1表示某个质点及其相邻质点在x 方向的位移，如果只考虑第n -1、第n +1个质点对它的作用，而略去更远的质点的影响，则根据牛顿第二定律，该质点的运动方程为()n n n n x x x dtx d m 21122-+=-+β （2-1） 式中：m —质点的质量；β—微观弹性模量，是和质点间作用力性质有关的常数。
质点间作用力愈大，β值愈大，相应的振动频率愈高。
对于每一个质点，β不同，即每个质点在热振动时都有一定的频率。
材料内有N 个质点，就有N 个频率的振动组合在一起。
式（2-1）称为简谐振动方程。
无机材料物理性能第3讲资料PPT课件
.
17
晶体的非
固体材料的热膨胀机理 线形振动
产生线膨胀的原因不是简谐振动，而是因为原子间的 受力是不均衡的。质点在平衡位置两侧，受力不对称：
r<r0时。斜率大，稍 r>r0时。斜率较小， 微增大一点位移，斥 引力随位移的增大要
力变很大
慢些
.
18
热膨胀性能与其它性能的关系
a)热膨胀和结合能、熔点的关系： 结合能高，α也高
C p3R2(5 J/mo K )l
但轻元素原子热容需改用以下值
化合物定律--柯普定律
C niCi
.
7
杜隆-珀替定律
成功之处：
高温下与试验结果基本符合
.
8
杜隆-珀替定律
局限性： ➢ 不能说明高温下，不同温度下热容的微小 差别 ➢ 不能说明低温下，热容随温度的降低而减 小，在接近绝对零度时，热容按T的三次 方趋近与零的试验结果
C
t＝
Q T
T
.
3
热容的分类
比热容
摩尔热容
平均热容（注意适用温度范围）C均＝T2－QT1
恒压热容
Cp＝Q Tp
H Tp
恒容热容
Cv＝Q Tv
E Tv
.
4
无机材料的热容
一般有 Cp > Cv， Cp测定 简单，Cv更有理论意义。
.
5
无机材料的热容
.
6
晶态固体热容的经验定律
元素热容定律--杜隆-珀替定律
如：MgO、 BeO、 Al2O3、 MgAl2O4、BeAl2O4都具有 相当大的膨胀系数。
固体结构疏松，内部空隙较多，当温度升高，原 子振幅加大，原子间距离增加时，部分的被结构内部 空隙所容纳，宏观膨胀就小。
第三章无机材料的热学性能PPT课件
Vi
WiV i
代入（4-28）式，整理得
iWiKi / i WiKi / i
.
（4-29）
35
1 V 2 (2 1 ) ( 4 K G 1 ( 1 3 K 3 2 K 2 4 ) [ G 4 1 V ) 2 2 G 1 ( ( K K 2 2 K K 1 1 ) ) ( 1 6 3 G K 1 1 2 K 2 1 2 G 4 G 1 K 1 K 2 ) 1 ]
几种陶瓷材料的. 热容-温度曲线
19
CaO+SiO2与CaSiO3的热容-温度曲线
.
20
虽然固体材料的摩尔热容不是结构敏感的，但是单位体积的热容却与气孔 率有关。多孔材料因为质量轻，所以热容小，因此提高轻质隔热砖的温度 所需要的热量远低于致密的耐火砖。
材料热容与温度关系应有实验来精确测定，经验公式：
对于圆柱体薄釉样品，有如下表达式：
釉1 E(T0T) (釉坯 )A A 坯
（4-33）
坯1 E(T0T) (坯釉)A A釉 坯 .
（4-34）
39
4.3 无机材料的热传导
4.3.1 固体材料热传导的宏观规律
当固体材料的一端的温度比另一端高时，热量就会从热端自动 传向冷端，这个现象称为热传导。
QdTSt
人们发现德拜理论在低温下还不能完全符合事实，显然是由于 晶体毕竟不是一个连续体。
实际上电子运动能量的变化对热容也会有贡献，只是在温度不 太低时，这部分的影响远小于晶格振动能量的影响，一般可以 忽略不计，只有在极低的温度下，才成为不可忽略的部分。
.
18
4.1.2.3 无机材料的热容 无机材料的热容与键的强度、材料的弹性模量、熔点等有关。 陶瓷材料的热容与材料结构的关系是不大的。 相变时由于热量的不连续变化，所以热容也出现了突变。
第三章 无机材料热学性能
热容在高于德拜 温度后，趋于一 个常熟（1273k)
3. 与结构的关系
1）结构紧密的晶体，膨胀系数较大。无定形的 玻璃，则往往有较小的膨胀系数。
2）温度变化时引发晶型转换，也会引起体积变 化。当温度从室温升高到1000℃以上时，氧化 锆晶体从室温的单斜晶型转变为四方晶型，发生 了4％的体积收缩。
2.不稳定传热规律： T 2T t Cp x2
物质种类
纯金属 金属合金 液态金属 非金属固体 非金属液体 绝热材料 气体
热导率（W/(m·K) 100～1400 50~500 30~300 0.05~50 0.5~5 0.05~1 0.005~0.5
固体材料热传导机理
气体热传导：质点间的直接碰撞来传递热能。 金属热传导：大量的自由电子运动来实现。晶格
E Cv ( T )V 3R 25J /(K mol)
热容的量子理论
要点：固体晶格振动的能量是量子化的，角频率为
ωi的谐振子的振动能量Ei为（略去零点能）：
Ei n i
利用玻尔兹曼统计理论，得到温度T时平均能量为：
Ei
i
ei kT 1
则具有N个原子且每个原子有3个自由度的1摩尔固体 的平均能量为：
E
3N i 1
i
ei kT 1
只要知道ω，就可求出Cv。
爱因斯坦模型
假设晶体的原子振动相互独立 3N个振动模频率 一样， 1 2 3N E
ωE为爱因斯坦频率，
E
E
kB
为爱因斯坦温度
比热容简化为：
CV
3NkB
(
E T
)2
exp(E / T ) exp(E / T 1)2
讨论上式：T E , CV 3NK
材料物理性能
腹有诗书气自华！无机材料物理性能 课件第三章材料的热学性能z第一节 材料的热容 z第二节 材料的热膨胀 z第三节 材料的热传导 z第四节 材料的热稳定性热学性能：包括热容（thermal content）， 热膨胀（thermal expansion），热传导（heat conductivity），热稳定性（thermal stability）等。
本章目的就是探讨热性能与材料宏观、微观本质 关系，为研究新材料、探索新工艺打下理论基础。
热性能的物理本质：晶格热振动（lattice heat vibration），根据牛顿第二定律，简谐振动方程 （simple harmonic vibration equation）为：式中：dx m ⋅ 2 = β ( x n +1 + x n −1 − 2 x n ) dt2β = 微观弹性模量（ micro-elastic- modulus ），m = 质点质量（mass）， x = 质点在x方向上位移（displacement）。
另外, ∑ i =1N(动能kinetic energy)i=热量 （quantity of heat）即：各质点热运动时动能总和就是该物 体的热量。
弹性波（格波）：包括振 动频率低的声频支和振动频率高的光 频支。
声频支可以看成是相邻原子具有相同的 振动方向。
由于两种原子的质量不同，振幅 也不同，所以两原子间会有相对运动。
光频支可以看成相邻原子振动方向相反， 形成一个范围很小，频率很高的振动。
如果振动着的质点中包含频率甚低的格 波，质点彼此之间的位相差不大，则格波类 似于弹性体中的应变波，称为 “ 声频支振动 ” 。
格波中频率甚高的振动波，质点彼此之间的 位相差很大，邻近质点的运动几乎相反时， 频率往往在红外光区，称为“光频支振动”。
如图3.1，其中声频支最大频率：γ max3 × 10 m / s 13 = = = 1 . 5 × 10 ( HZ ) −10 2a 2 × 10 m3υ第一节 材料的热容热容是物体温度升高1K所需要增加的能量。
材料物理性能(第三章-材料的热学性能).答案
1．温度（temperature）
a. 在温度不太高的范围内，主要是声子传导 。 b. 热容C在低温下与T3成正比，所以λ也近似与T3成正 比。
c. 声子平均自由程 l 随温度升
高而降低。实验表明，低温下l 值
的上限为晶粒的线度，高温下l 值
的下限为晶格间距。
d. 例如Al2O3在低温40k处，λ值
式中第一项为常数，第二项为零，则
式中， 则，
；
；如果只考虑上式的前两项，
即点阵能曲线是抛物线。原子间的引力为：
式中β是微观弹性系数，为线性简谐振动，平衡位置仍在
r0处，上式只适用于热容CV的分析。
但对于热膨胀问题，如果还只考虑前两项，就会
得出所有固体物质均无热膨胀。因此必须再考虑第三
项。此时点阵能曲线为三次抛物线，即固体的热振动 是非线性振动。用波尔兹曼统计法，可算出平均位移 （average displacement）。
如图3.1，其中声频支最大频率：
第一节 材料的热容
热容是物体温度升高1K所需要增加的能量。
（J/K）
显然，质量不同热容不同，温度不同热容也不同。比
热容单位— 另外，平均热容 , 摩尔热容单位— ， 。
范围愈大，精
度愈差。 恒压热容
恒容热容
式中：Q＝热量，E＝内能，H＝热焓。由于恒压加 热物体除温度升高外，还要对外界做功，所以 根据热力学第二定律可以导出：
后晶格振动加剧而引起的容积膨胀，而晶格振动的激化就 是热运动能量的增大。升高单位温度时能量的增量也就是 热容的定义。所以热膨胀系数显然与热容密切相关并有着 相似的规律。见图3.8。
第三节 材料的热传导
一、固体材料热传导的宏观规律
当固体材料一端的温度比另一端高时，热量会从热 端自动地传向冷端，这个现象称为热传导。
材料物理性能(第三章-材料的热学性能)
热性能的物理本质：晶格热振动（lattice heat vibration），根据牛顿第二定律，简谐振动方程 （simple harmonic vibration equation）为：
式中： = 微观弹性模量（ micro-elastic- modulus ）， = 质点质量（mass）， = 质点在x方向上位移（displacement）。
表31某些无机材料的热容温度关系经验方程式系数c105温度范围氮化铝54778298900刚玉274330684729818008755149626682981100碳化硼229954010722981373氧化铍8454003172981200氧化铋2474800298800氮化硼bn1823622731173硅灰石casio26643606522981450氧化铬28532203742981800钾长石6383129017052981400氧化镁10181741482982100碳化硅8933093072981700石英1120820270298848石英14411942982000石英玻璃13383683452982000碳化钛11830803582981800金红石tio17970284352981800某一振动格波是以阶梯的形式占有能量两相邻能级相差一个声子在n能级上的振动几率服从波尔兹曼能量分布规律exp每一格波所具有的能量为该格波的平均能量
1. 声子和声子传导
根据量子理论、一个谐振子的能量是不连续的，能量 的变化不能取任意值，而只能是最小能量单元——量子 （quantum）的整数倍。一个量子所具有的能量为hv。晶 格振动的能量同样是量子化的。声频支格波（acoustic frequency）—弹性波—声波（acoustic wave）—声子。把 声频波的量子称为声子，其具有的能量为 hv=hω ，固体热 传导公式：
无机材料 热学课件
关于声子的几个特点：
1. 在声子与电子、中子的散射过程中，不仅能量改变，还有 动量改变，但声子系统的总动量不守恒，故声子的动量不 是真正的动量而是“准动量” 。 • 声子不能脱离晶体单独存在，声子只是晶格中原子集体运 动的激发单元，格波激发的量子，是为描写晶体中格波激 ^ 发状态而引入的假想粒子，模式为（j，q ）的声子具能量 ωi (q) 和准动量 q 。是一种准粒子。 2. 晶体中的大量声子可看成理想气体，与晶体中3nN种振动 模式对应的3nN种声子构成声子理想气体，具有理想气体 的一些性质。若晶格振动不作为简谐振动考虑，格波间不 再相互独立，则声子不再是理想气体。 3. 声子是玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计。声子可以产生 和湮灭，有相互作用时一个声子转变成两个、三个声子， 两个、三个声子也可以合并成一个声子 ，声子的数目不守 恒 。
E =∑
i =1
3N
e
ωi / kT
ωi
−1
or E = ∫
ωm
ω
e
ω / kT
0
−1
ρ (ω )dω
根据热容定义，只要知道ω，就可求出Cv。
德拜假设晶体是各向同性的连续介质，晶格 振动具有从0至ωD的频率分布，则可推出1 摩尔固体的热容为：
C V = 3 nkf D ( ΘD ) T ΘD T 3 ΘD /T x 4e x fD ( dx )=( ) ∫ x 2 0 T ( e − 1) ΘD
无机材料热性能
无机材料的热学性能
The Thermal Properties of Inorganic Materials
加热材料时发生的现象：
• 材料储存热量的能力 －热容 Heat capacity • 材料遇热时的尺寸变化 －热膨胀 Thermal expansion • 材料传导热量的能力 －热传导 Thermal conduction
《无机材料物理性能》课后习题答案.doc
解:&) 4.909x10 《材料物理馅能》第一章材料的力学性能1.1 一圆杆的直径为2.5 mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm ,且拉伸变形后圆杆的体积不变，求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。
F 4500 、—= ---------------- =995( MPa)A 4.524x1()2真应变勺=In上=In色=In 7 = 0.0816 1° A 2.42名义应力a = — = —- =917 (MP。
) —o名义应变 ^ = - = —-1=0.0851/。
A山计算结果町知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。
1- 5 —陶瓷含体积百分比为95%的A12O3(E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa),试计算其上限和下限弹性模量。
若该陶瓷含有5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。
解：令Ei=380GPa,E2=84GPa,Vi=0.95,V2=0.05。
则有上限弹性模量=E}V{ +E2V2 = 380 X 0.95 +84 X 0.05 =365.2(GF Q)下限弹性模量曲=(4 +生尸=(性 + 些广=323.1(。
「。
)E] E2 380 84当该陶瓷含有5%的气孔时，将P=0. 05代入经验计算公式E=E o(l-1.9P+O. 9P2)可得，其上、下限弹性模量分别变为331.3 GPa和293. 1 GPa。
1-11 一圆柱形MO]晶体受轴向拉力F,若其临界抗剪强度弓为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。
解：由题意得图示方向滑移系统的剪切强度可表示为:Feos 53。
T = -------- ；— x cos 600.00152〃r f xO.00152^- 2nFmin = ---------------- = 3.17 x 103 (N)m,n cos 53° X cos 60°此拉力下的法向应力为：(7 =317xI0_xcos60° = L12xl08(P€/) = 112(A/P6Z) 0.00152^/cos 60°0.0 应变蠕变曲线 =25.62 〜28.64GF“ 1-6试分别画出应力松弛利应变蠕变与时间的关系示意图,并算出t 二0, t=g 和L 二T 时的纵 坐标表达式。
无机材料性能-热学性能
热学性能
热导率
２、固体材料的热传导微观机制
从晶格格波的声子理论可知： 从晶格格波的声子理论可知： 热传导过程是声子从高浓度区域到低浓度区的扩散过 如果声子不发生碰撞， 程。如果声子不发生碰撞，声子的扩散速度就是热量的传 播速度。 播速度。 但事实上，声子在扩散过程中肯定要发生碰撞。 但事实上，声子在扩散过程中肯定要发生碰撞。从而 产生热阻。 产生热阻。
1 λ = C vl 3
λ：热导率（导热系数） ：热导率（导热系数） 分子运动的平均速度 v :分子运动的平均速度 C:单位体积气体的热容 单位体积气体的热容 l : 分子运动的平均自由程
铜合金的热性能
材 料 纯铜 黄铜 锡青铜 铝青铜 硅青铜 锰青铜 白铜 组成 Cu Cu-Zn Cu-Sn Cu-Al Cu-Si Cu-Mn Cu-Ni 热膨胀系数 ×10-6/℃ 17.0 18.1-19.8 17.5-19.1 17.1-18.2 16.1-18.5 20.4 17 热导率 W/(m·K) 388-399 29-60 12-20 60-100 37-104 108
热学性能
高温T 高温 1 △S 低温T2 低温
热导率 定义： １、定义： 又称导热系数，反映物质的热传导 热传导能力。按傅里叶定 热传导 律，其定义为单位温度梯度（在1m长度内温度降低1K） 在单位时间内经单位导热面所传递的热量。
△S⊥x轴 ⊥ 轴
x
dQ dt
dT = −λA dx
热传导：当固体材料一端的温度比另一端高时， 热传导：当固体材料一端的温度比另一端高时，热量会从热端 自动地传向冷端，这个现象称为热传导。 自动地传向冷端，这个现象称为热传导。
缩 写 TG
EGD EGA
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（利用在相邻原子之间存在 非简谐力时，原子间的 作用力的曲线和势能曲线解释。）
（1） 用作用力的曲线解释
ro A1 A2
质点在平衡位置两侧受力 不对称，即合力曲线的斜 率不等。 当rro时，曲线的斜率较 大，斥力随位移增大的很 快，即位移距离X，所受 合力大。
斥力 合力 引力
距离 r
当r ro时，曲线的斜率 较小，吸引力随位移增大 的较慢，即位移X距离， 所受合力小。
热容：
Cv=3NkB(ħ/kBT) 2 exp( ħ/kBT) /(exp( ħ/kBT) －1)2 =3NkBfE (ħ/kBT) fE (ħ/kBT)------爱因斯坦热容函数
E= ħ/kB
（爱因斯坦温度）
Cv=3NkB(E /T) 2 exp(E /T) /(exp(E /T) －1)2
E值的选取规则：选取合适的值，使得在热容显著改变 的广大温度范围内，理论曲线和实验数据相当好的符合。
大多数固体， E的值在100～300k的范围以内。
6×4.18 5×4.18 4×4.18 3×4.18 2×4.18 1×4.18
· · · · · · · · ·
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
为德拜热容函数
x= ħ/ kBT=/T
xm= ħm/ kBT=D/T
( = ħ/ kB)
m ------声频支最大的角频率；
D ------德拜特征温度。
m =(62N/V)1/3 (V------晶体的体积； ------平均声波速度）
（ 3）
讨论:
a: Cv 与T / D的关系曲线
C 影响D的因素
由 max = (2ks/m)1/2 知：原子越轻、原子间 的作用力越大， max越大， D越高。 物质
D(k)
金刚石 CaF2 2000 475
Cd 168
Pb 100
D 德拜理论的不足 因为在非常低的温度下，只有长波的的激发是主 要的，对于长波晶格是可以看作连续介质的。 德拜理论在温度越低的条件下，符合越好。
2. 振子在不同能级的分布服从波尔兹曼能量分布 规律 根据波尔兹曼能量分布规律，振子具有能量nħ的 exp(- nħ/kBT) 几率：
3. 在温度Tk时以频率振动振子的平均能量
－ E()=
nħ[exp(- nħ/kBT)]
n=0 n=0
exp(- nħ/kBT) T － E()
4.2 热膨胀
4.2.1 非简谐振动 1. 简谐近似 简谐近似：当原子离开其平衡位置发生位移时，它受 到的相邻原子作用力与该原子的位移成正比。
设在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是：U(a); 将U(a+ ）在平衡位置附近用泰勒级数展开如下：
产生相对位移后，两个原子间的互作用势能是：U(a+ ）
内能为所有格波的平均能量之和。
德拜根据假设，求出知，在温度大于 德拜温度时，最大频率的格波被激发出来。 德拜模型成功地解释了杜隆· 伯替定律，即热容与温度的关 系。但由于德拜模型是在一定的假设条件下建立的，因此仍 存在不足。
不足：把每个原子当作一个三维的独立简谐振子，绕 平衡点振动。忽略了各格波的频率差别，其假设过于 简化。
热容的量子理论适用的材料：原子晶体、部分简单的 离子晶体，如：Al,Ag,C,KCl,Al2O3. 较复杂的结构有 各种高频振动耦合，不适用。
三、无机材料的热容
影响热容的因素：
1. 温度对热容的影响
如果德拜模型在各种温度下都符合，则德拜温度 和温度无关。实际上，不是这样。
320 300 280 260
0
20
40
60
T(k)
80
100
120
NaCI的D和T的关系
2. 爱因斯坦模型 爱因斯坦模型：晶体中所有原子都以相同的频率振动。
晶体的平均能量：
－ E=3N
ħ exp( ħ/kBT) －1
()d =3N
平均能量为： ħ － m E= 0 exp( ħ/kBT) －1 等容热容：
()d
() exp ħ/ kBTd m － 2 Cv=(dE/dT)v=0 kB( ħ/ kBT) (exp( ħ/k T) －1)2 B
说明：用量子理论求热容时，关键是求角频率 的分布函数()。常用爱因斯坦模型和德拜模 型。
1. 德拜模型
（1）条件
晶格为连续介质；
晶体振动的长声学波------连续介质的弹性波； 在低温频率较低的格波对热容有重要贡献； 纵横弹性波的波速相等。
（2） 等容热容
－ Cv=(dE/dT) v=3NkBf(x) 3 xm exx4 dx 式中： f(x)= 0 x 2 3 (e -1) xm
2. 非简谐振动
在原子位移较小时， 高次项与2比较起来为一小量， 可把这些高次项看成微扰项。 谐振子相互间要发生作用------声子间将相互交换能量。 如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互 作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子，即 一种频率的声子要垠灭，另一种频率的声子会产生。
一个声子的存在引起周期性弹性应变，周期性弹性应 变通过非谐相互作用对晶体的弹性常数产生空间和时 间的调制，第二个声子感受到这种弹性常数的调制， 受到散射，产生第三个声子。
4.2.2 热膨胀
1. 热膨胀 热膨胀：温度改变 toC时，固体在一定方向上发生 相对长度的变化(L/Lo)或相对体积的变化( V/Vo)。
=
ħ exp( ħ /kBT) －1
4. 在温度Tk时的平均声子数
－ ()/ ħ = nav=E 1 exp( ħ/kBT) －1
说明：受热晶体的温度升高，实质上是晶体中热激 发出声子的数目增加。
5. 振子是以不同频率格波叠加起来的合波进行 运动 晶体中的振子（振动频率）不止是一种，而是一个 频谱。
高于德拜温度时，热容趋于常数，低于德拜温 度时，与(T / D)3成正比。
2. 键强、弹性模量、熔点的影响 德拜温度约为熔点的0.2—0.5倍。
3. 无机材料的热容对材料的结构不敏感 混合物与同组成单一化合物的热容基本相同。
4. 相变时，由于热量不连续变化，热容出现突变。
5. 高温下，化合物的摩尔热容等于构成该化合物的各 元素原子热容的总和(c=niCi) ni :化合物中i元素原子数； Ci:i元素的摩尔热容。
当 exp( ħm/kBT) －1<1时，平均声子数大于1， 能量最大的声子被激发出来。 因 有 ħm/ kB=D exp(D /T)<2
当T D 时，能量最大的声子被激发出来。即德 拜温度是最大能量声子被激发出来的温度.
当T D 时， nav= kBT/ ħm
说明：
温度越低，只能激发出较低频声子，而且声子的 数目也随着减少，即长波（低频）的格波是主要 的。在T D 时， 声子的数目随温度成正比。
3. 影响热膨胀的因素 势能曲线的不对称程度越高，热膨胀越大，而不对称 程度随偏离简谐振动程度的增加而增加。 （1） 化学键型 离子键势能曲线的对称性比共键键的势能曲线差，所 以随着物质中离子键性的增加，膨胀系数也增加。另 一方面，化学键的键强越大，膨胀系数越小。
当T D, ，x很小，
有 ex -1x 得 ： Cv = 3NkB 当T D xm= ħm/ kBT=D/T ，xm 得： Cv ～ (T / D)3 以上两种情况和实验测试结果 相符合。
Cv
T / D
b
德拜温度
德拜温度------晶体具有的固定特征值。
nav=
1 exp( ħm/kBT) －1
计算大多数氧化物和硅酸盐化合物在573以上热容有较好的结果。
6. 多相复合材料的热容：c=gici
gi ：材料中第i种组成的重量%；
Ci：材料中第i组成的比热容。
根据热容选材： 材料升高一度，需吸收的热量不同，吸收热量小，热 损耗小，同一组成，质量不同热容也不同，质量轻， 热容小。对于隔热材料，需使用轻质隔热砖，便于炉 体迅速升温，同时降低热量损耗。
结果：经过一定的驰豫时间后，各种声子的分布达到 平衡，即热平衡。 例如：两个声子相互作用产生第三个声子。
一个频率为9.20GHz的纵声子束，和与之相平行的频 率为9.18GHz另一纵声子束在晶体中相互作用，产生 频率为9.20+ 9.18= 18.38GHz的第三个纵声子束。 声子相互作用的物理过程简述如下：
u(r)
U(a+ ）=U(a)+(dU/dr)a +1/2(d2U/dr2)a 2+· · ·
常数 r 0
当很小（振动很微弱）， 势能展开式中可只保留到2 项，则恢复力为 F =-dU/d=-(d2U/dr2)a
f(r) a rm r
结 论 晶格的原子振动可描述为一系列线性独立 的谐振子。 相应的振子之间不发生作用，因而不发生 能量交换。 在晶体中某种声子一旦被激发出来，它的 数目就一直保持不变，它既不能把能量传 递给其他频率的声子，也不能使自己处于 热平衡分布。
线膨胀系数：
=(1/Lo)· (L/ t)
体积膨胀系数： =(1/Vo)/(V/ t) t t1 t2
t
2. 热膨胀机理 热膨胀时，晶体中相邻原子之间的平衡距离也随温 度变化而变化。 按照简谐振动理论解释：温度变化只能改变振幅的 大小不能改变平衡点的位置。 用非简谐振动理论解释热膨胀机理。
距离r
如果质点在平衡点两侧受力 不对称越显著，温度增大， 膨胀就越大，晶胞参数越大。
（2） 用势能曲线解释 势能曲线不是严格对称抛 物线。
即势能随原子间距的减小， 比随原子间距的增加而增 加得更迅速。
距离r E3(T3) E2(T2) E1(T1)
由于原子的能量随温度的 增加而增加，结果： 振动原子具有相等势能的 两个极端位置间的平均位 置就漂移到比0K时（ro） 更大的值处。由此造成平 衡距离的增大。