曲面积分的计算
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解:
I ( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) ydS
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
z 的上侧.
o x
0
y
3 d x d y d z
0
xd ydz ydzdx zdxd y
2 3 3 2 R 0 3 R 3
例2. 计算曲面积分
2 2 2 2 其中, r x 2 y 2 z 2 , : x y z R 取外侧 .
h
0 0 2 zdv 2 dxdy zdz a 2 h 2
D xy 0
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式:
P d y d z Q d z d x R d x d y P Q R d xd yd z x y z
例5. 已 知 向 量 A=x i+y j+z k,Σ 为 圆 柱 x +y 2 ≤a (0≤z≤h) 的全表面，求 A穿过曲面 Σ 而流向其外侧 的通量
解：
2 2 2
2
2
2
2
2
A d S x dydz y dzdx z dxdy
div Adv 2 ( x y z )dV
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
练习:
例1. 计算
x d y d z y d z d x z d x d y,
其中为半球面 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 利用 且取下侧 ,记半球域为 , 高斯公式有 原式 =
解:
1 3 3 d x d y d z R x2 y2 z 2 思考: 本题改为椭球面 2 2 2 1 时,应如何 a b c 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 y 2 z 2 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
例3.计算曲面积分 中是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
思 考 题
1) 二重积分是哪一类积分?
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 有关
对坐标的积分与 的侧
偏导数, 则
向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 P Q R div A x y z
机动
目录
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返回
结束
习题课（2）曲面积分的计算法
1. 基本方法
第一类( 对面积 ) 曲面积分 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
P Q R 0 x y z
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2. 通量与散度
设向量场 A ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续
解:
I ( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) ydS
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
z 的上侧.
o x
0
y
3 d x d y d z
0
xd ydz ydzdx zdxd y
2 3 3 2 R 0 3 R 3
例2. 计算曲面积分
2 2 2 2 其中, r x 2 y 2 z 2 , : x y z R 取外侧 .
h
0 0 2 zdv 2 dxdy zdz a 2 h 2
D xy 0
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式:
P d y d z Q d z d x R d x d y P Q R d xd yd z x y z
例5. 已 知 向 量 A=x i+y j+z k,Σ 为 圆 柱 x +y 2 ≤a (0≤z≤h) 的全表面，求 A穿过曲面 Σ 而流向其外侧 的通量
解：
2 2 2
2
2
2
2
2
A d S x dydz y dzdx z dxdy
div Adv 2 ( x y z )dV
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
练习:
例1. 计算
x d y d z y d z d x z d x d y,
其中为半球面 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 利用 且取下侧 ,记半球域为 , 高斯公式有 原式 =
解:
1 3 3 d x d y d z R x2 y2 z 2 思考: 本题改为椭球面 2 2 2 1 时,应如何 a b c 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 y 2 z 2 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
例3.计算曲面积分 中是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
思 考 题
1) 二重积分是哪一类积分?
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 有关
对坐标的积分与 的侧
偏导数, 则
向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
G 内任意点处的散度为 P Q R div A x y z
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习题课（2）曲面积分的计算法
1. 基本方法
第一类( 对面积 ) 曲面积分 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
P Q R 0 x y z
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2. 通量与散度
设向量场 A ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续