概率统计浙大版第五章大数定律与中心极限定理

Z
V
k 1
k
20 5
20 100 / 12

V 100 20 100 / 12
近似服从标准正态分布N(0,1),于是
P{V 105} P{ V 100 105 100 } 1 P{ V 100 0.387}
20 100 / 12 20 100 / 12 20 100 / 12 1 (0.387) 0.348 即有 P{V 105} 0.348
如果一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随 机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,则X 近似地服从正态分布. 这也正态分布广泛存在的原 因。 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随 机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量 仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线 所产生的误差X2;测量者心理和生理上的变化产生的 测量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而 且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生 的误差之和,即∑Xi，因此根据中心极限定理，我们 可以认为测量误差近似服从正态分布。
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n

X
k 1
n
k
n
D( X k )
k 1
n
的分布函数Fn(x),对于任意x,满足
limF ( x ) limP{Y
n n n
n
x}
1 2

x
e
t2 2
dt ( x )
中心极限定理阐明了这样一个道理：
定理(De Moivre-Laplace中心极限定理):设随机 变量Yn服从二项分布Yn ~B(n,p), (0<p<1),则对于 任意x,恒有 t2 x Yn np 1 P{ x} e 2 dt ( x ) lim np(1 p) 2 n 证明 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布 (P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的随机变量,则 Yn= X1+X2+…+Xn 由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,…,n),由此得
X 1000 0.6 Y 1000 0.6 0.4 近似服从标准正态分布N (0,1).
于是
X 2 P 5 1000
4 P 400 X 800 5
X 1000 0.6 800 1000 0.6 400 1000 0.6 P 1000 0.6 0.4 1000 0.6 0.4 1000 0.6 0.4 X 1000 0.6 P 12.91 12.91 1000 0.6 0.4
1 n 1 D( X n ) D( X k ) 2 n k 1 n
D( X
k 1
n
k
)
2
n
1 n 所以 P{| X k | } P{| X n E ( X n ) | } n k 1 D( X n ) 2 1 1 2 2 n
P(1100 80 2000 X 0)
P( X 44)
1 P( X 44)
1 P( X 1100 0.01 1100 0.01 0.99 44 1100 0.01 ) 1100 0.01 0.99 X 1100 0.01 10) 1 P( 1100 0.01 0.99
解: 设一箱味精净重为X, 箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,…,200)
则 且 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,
X Xi
i 1
200
由独立同分布的中心极限定理得: EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000,
X近似服从正态分布,且
第五章 大数定理与中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当 随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近 摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上阐明 并推广这一结果。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般 随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从 正态分布。 这两类定理在概率统计中具有重要地位。
E( X i ) p
同时
fn
X
i 1
n
i
故由辛钦大数定律
fn n
X
i 1
n
iHale Waihona Puke Baidu
n
p
P
例： 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布，
X 1 ~ U ( 1, 1). 则 （1）1 n X k，（2）1 n k 1
n 2 X k 分别依概率收敛吗？ k 1 n
§1 大数定理
• 定理（辛钦大数定律）:设{Xk}是相互独立同分布 的随机变量序列，且具有相同的数学期望µ，则对于 任意给定的ε>0,恒有
1 n lim P{| X k | } 1. n n k 1
下面仅在Xk方差有限的条件下证明本定理。
契比雪夫(Chebyshev)不等式
因为，E ( X 1 ) 0,
2 1 1 2
故 1 n
X
k 1
n
k n
P 0;
E ( X ) x 1 dx 1 , 1 2 3
故 1 n
X k 1 . 2 P 3 k 1
§2
中心极限定理
定理(林德贝尔格-勒维(Lindeberg-Levy)定理):设 {Xk}为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且 具有数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2 ,则随机变 量
所求为P(X>20500)= 1-P(X≤20500)
1 (
故
20500 20000 20000
)
1 ( 3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.
• 例:一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20), 它们相互独立且都在区间[0,10]上服从均匀分布,噪声 电压总和V=V1+V2+…+V20,求P{V>105}的近似值. • 解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心 20 极限定理知
解 设X表示一年内摩托车的丢失数，则X~B(n, p), 其中
n= 1100，p=0.01，
设Y表示保险公司一年的利润， Y=110080-2000X.
由中心极限定理可知：
X 1100 0.01 1100 0.01 0.99
近似服从标准正态分布N(0,1).
（1）
P (Y 0)
注意到
(1.28) 0.9,
于是
38000 1100 0.01 a 1.28 1100 0.01 0.99
a 2496
定义 设随机变量序列{Yn}，如果存在一个常数a，使得 对任意的 ε >0，有
lim P Yn a =1
n
p Yn a 则称Yn依概率收敛于a,记作
• 定理（辛钦大数定律）:设{Xk}是相互独立同分布 的随机变量序列，且具有相同的数学期望µ，则对于 任意给定的ε>0,恒有
例 现有一批良种率为0.6的种子，从其中任意抽出 1000粒，试问在这1000粒种子中，良种所占的比例在 2/5至4/5之间的概率是多少? 解 抽一粒种子看成是一次随机试验，因此抽1000粒 种子看作是1000重伯努利试验．若令X表示1000粒种子 中的良种数，则X服从n=1000, p=0.6的二项分布，故由 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理可知：
limP{
n
Yn np np(1 p )
x } limP {
n
X
i 1
n
i
np x}
1 2
np(1 p )

x
e
t2 2
dt
例.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为 100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重 大于20500克的概率?
12.91 12.91 2 12.91 1 1.
例: 某保险公司接纳了1100辆摩托车保险， 每辆摩托车每年付80元保险费。若摩托车 丢失, 则车主得赔偿2000元. 假设摩托车的 丢失率为0.01。 问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利 润不少于50000元的概率不小于90%，赔偿金 至多可设为多少？
1 (10) 0.
（2）设赔偿金为a元，则令
P{Y 50000} 0.9
P{Y>50000}=P{110080-aX>50000}
=P{X38000/a}0.9;
由中心极限定理,上式等价于
38000 1100 0.01 38000 P( X ) ( a ) 0.9 a 1100 0.01 0.99
如果依概率收敛，分别收敛于什么？
解：由辛钦大数定律， X 1 , , X n , , 相互独立同分布，E ( X 1 )存在,
2 X 12 , , X n , , 相互独立同分布，E ( X 12 )存在,
1 故， n
X k， 1 n k 1
n
2 X k 均依概率收敛。 k 1
n
设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 , 则对于任意正数ε,有
2 P | X | 2 或者
2 P X 1 2
辛钦大数定律的证明：
1 n 1 n 1 n X n X k , E( X n ) E( X k ) E( X k ) n k 1 n k 1 n k 1
1 n p X k . n k 1
伯努利大数定律: 设 fn 为n次独立重复试验中事件A 发生的次数，每次试验中事件A发生的概率为p，则
证明:设
fn p p. n
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
则X1,X2,…,Xn,…为独立同分布的随机变量序列，而且