不等式的证明一教案

不等式的证明(一）

教学目标

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；

（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；

（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；

（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；

（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习

惯．教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题选择适当的证明方法．

（1）不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．

（2）比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于，因此，证明，可转化为证明与之等价的．这种证法就是求差比较法．

由于当时，，因此，证明可以转化为证明与之等价的．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式时，一定要注意的前提条件．

③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”．

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．

变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少．

变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形

为一个常数与一个或几个数的平方和的形式．或者变形

为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等．总之．能够判断出差的符号是正或负即可．

④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——

判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较

法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明．（3）综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推

倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综

合法．

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式

出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式．

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

…．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）

④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条

件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证

之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在

分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键．

（4）分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的

充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不

等式成立，这种证明方法就是分析法．

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中

的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等

式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都

可逆”，并说出可逆的根据．

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式

出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

…．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）

④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不

易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”

条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等．

⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当

证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之

有效．

（5）关于分析法与综合法

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或

需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的

已知条件．即推理方向是：结论已知．

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的

逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐

步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充

分条件．

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步

推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要

条件．

④各有其优缺点：

从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论．从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．

也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．

⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合

法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，

通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，

所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

（二）教法建议

①选择例题和习题要注意层次性．

不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明

的．教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单

到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻

辑关系．教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易

程度的层次相当．

要坚持精讲精练的原则．通过一题多法和多变挖掘

各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生

沟通知识，有效地提高解题能力．

②在教学过程（）中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与．通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实

质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总

结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变

成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向

条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题．

③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证