维数,基,坐标

引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
线性空间的“元”叫向量，因此把第三章“数组向量”的 线性相关性的相关结论移植到“线性空间的向量”上 来，就是线性空间中向量之间的线性关系。
k1, k2, , kr 使得
k11 k22 krr =0（线性空间的零元，零向量） 则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
若 k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
例2 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
续解：②
A


a11 a21
a12 a22

试写出A
2 0
6 -8
在此基下的坐标。
a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
a11
（E11，E1基2，E21，E22）
a12 a21 a22
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
解：
坐 标 基
坐 标 基
上述例子表明
注意：
① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
3. 确定有限维空间基，维数的充分条件
定理：若线性空间V中的向量组1,2 , ,n 满足 ⅰ） 1,2 , ,n 线性无关； ⅱ） V , 可经 1,2 , ,n 线性表出 ,
则V为n 维线性空间，1,2 , ,n 为V的一组基．
) n。
例1（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
另外
1 坐 标
基
试列出f ( x) 4x2 - 7x 5在此基下的坐标
例1（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
证明：前面已经证明了P[x]n是n维的，所以只需要证明
2. n维线性空间的基，坐标的定义
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1, 2 , , n ，称为 V 的一组基；
设 1,2, ,n 为线性空间 V 的一组基， V ,
若 a11 a22 an n , a1 ,a2 , ,an P

可由基“1，
解：设
坐 标
基
x1 x2 x3 x4 1

x1 x1 x1

x2 x2 x2

x3 x3 x3

x4 x4 x4

2 1 1
解之得，
x1

5 4 , x2

1 4
,
x3


1 4 , x4


1 4
∴ξ在基 1, 2,3, 4
下的坐标为
0
0 就是 Pmn 的一组基．
第j列
mn
A (aij ) Pmn , 有 A
aij Eij
i1 i1
n维向量空间P n的基，维数
例如 3 维几何空间R3＝{(x, y, z) x, y, z R}
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
故，V是n 维的，1,2, ,n 就是V的一组基．
例1（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
证明：①
零向量为零多项式
所以1，x，x 2， ，x n1线性无关。 ②
1
所以1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基，dim(
§6.3 维数 ·基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系的 基本定理与结论
1.线性组合，线性表示的定义 2.向量组等价的定义 3.线性相关，无关的定义 4.线性关系的几个常用结论
二、线性空间的维数、基与坐标
1.无限维空间，有限维空间 2.n维线性空间的基，坐标的定义 3.确定有限维空间基，维数的充分条件
k11 k22 krr
称 为 1,2, ,r的一个线性组合，或者称 可由 1,2, ,r 线性表示．
2. 向量组等价的定义
（1） （2）
等价的。
3. 向量组线性相关，无关的定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间，1,2, ,r (r 1)
是V中r个向量，若数域P中存在一组不全为零的数
4.线性关系的几个常用结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
（2）向量组 1,2 , ,r线性相关
1,2 , ,r至少中有一个向量可经其余向量线性表示
（3）若向量组1,2, ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2, , s 线性表出，则 r s ;
f (n1) (a) (x a)n1 (n 1)!
坐
基
标
( f (a), f (a), f (a)， , f (n1) (a))
2!
(n 1)!
例2 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
解：
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
(5 , 1 , 1 , 1) 44 4 4
例3 在线性空间 P4 中求向量 (1,2,1,1) 在基 1,2,3,4 下的坐标，其中
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,1,1,1), 4 (1,1,1,1)
解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
x1 x2 x3 x4 1

x1 x1 x1

x2 x2 x2

x3 x3 x3

x4 x4 x4

2 1 1
解之得，x1

5 4
∴ξ在基 1,2
, ,
x2
3

1 4 , x3


1 4
,
x4
,4下的坐标为 (
ห้องสมุดไป่ตู้
5,1 44
1 4 ,
，
2
，
”唯一表示
n
则数组 a1, a2, , an ，就称为 在基1, 2, , n
下的坐标，记为 (a1, a2, , an ).
有时也形式地记作 (1, 2 ,
基
a1
,

n
)

a2


an

坐标
注意：
向量 的坐标(a1, a2, , an ) 是被向量 和基1, 2, , n 唯一确定的．即向量 在基 1,2, ,n 下的坐标唯一的.
证明：∵ a1,a2 , ,an 线性无关，
∴V的维数至少为 n ．
任取V中 n＋1个向量 1, 2 , , n , n1 ，
由ⅱ)，向量组 1, 2 , , n , n1 可用向量组 a1,a2 , ,an 线性表示. 若1, 2 , , n , n1是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾． ∴V中任意n＋1个向量 1, 2, , n, n1 是线性相关的．
y x a有
y
y2
零向量为零多项式
y n-1
所以1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是P[x]n的一组基
例3（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
另外
展开为（x - a）的泰勒级数
f (a) 1 f (a)(x a)
数1就是它的一组基.
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b ab, k a ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里

1 0 0
V


f
(
A)


f
(
x)

R[

坐 标
∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
矩阵空间P mn的基，维数
一般地，数域P上的全体 m n 矩阵构成的线性空间
Pmn 为 m n 维的，
矩阵单位
0
0
Eij
01 0
第i行
i 1, 2, , m j 1, 2, , n
x],
A


0 0

0
0
2


,
1 i 3
2
1 解: 数1是R＋的零元素. ( x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k a ak alogax x. 即 x 可由 a 线性表出.
1.无限维空间，有限维空间的定义 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是 任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间，常记作 dimV＝ n . 若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
注：零空间的维数定义为0. dimV＝ 0 V＝{0}
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
下面证明它们是 P22的一组基。
①
aE11 bE12 cE21 dE22 022
该空间零向量为零矩阵022
即
a c
b d
0， 有 a b c d 0，
所以 E11, E12, E21, E22 是线性无关的．
． 1, 4
1) 4
．
例6 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基； 若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解： 复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的 一组基；
而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为 它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，
注：无关组可被表示，则无关组必是较小组
4.线性关系的几个常用结论
（4）若 1,2, ,r与 1, 2, , s 为两线性无
关的等价向量组，则 r s.
（5）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r , 线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r 线性表出，且表法是唯一的．
② 任意两组基向量是等价的． ③同一向量在不同基下的坐标不同
例3 在线性空间 P4 中求向量 (1,2,1,1) 在基 1,2,3,4 下的坐标，其中
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,1,1,1), 4 (1,1,1,1)
注意：这里“向量”是线性空间V中的向量， ”数”是数域P中的数， “零向量”是线性空间的“零元”（零向量）
注意：这里“向量”是线性空间V中的向量， ”数”是数域P中的数， “零向量”是线性空间的“零元”（零向量）
(1)
(2)
二、线性空间的维数、基与坐标
1.无限维空间，有限维空间 2.n维线性空间的基，坐标的定义 3.确定有限维空间基，维数的充分条件
一、线性空间中向量之间的线性关系 的基本定理与结论
1.线性组合，线性表示的定义 2.向量组等价的定义 3.线性相关，无关的定义 4.线性关系的几个常用结论
1.线性组合，线性表示的定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间，1,2, ,r (r 1) 是V中r个向量，k1, k2, , kr 是数域P中的数，若
线性无关
一般地，向量空间 Pn {(a1, a2, , an ) ai P,i 1, 2, , n} 为n维的，
1 (1,0, ,0),2 (0,1, ,0), ,n (0, ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
例如 3 维几何空间R3＝{(x, y, z) x, y, z R}