伽罗华域

伽罗华域GF(2m)

伽罗华域GF(2m)就是有m个本原元素，并且加、减、乘、除法等四则运算在域内封闭。

下面首先给出伽罗华域中两个基本的概念：

(1) 不可约多项式：GF(2)上的m次多项式p(x)若不能被GF(2)上任意次数小于m 大于0的多项式整除，则称p(x)在GF(2)上是不可约的。

(2) 本原多项式：m次不可约多项式p(x)若满足能被p(x)整除的x n+1的最小正整数n为n=2m-1，则称p(x)为本原多项式。

GF(28)表示域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式p(x)生成。而GF(28)域中的本原多项式为1+x2+x3+x4+x8。

下面以构造GF(23)为例子说明域的构造。

多项式p(x)=1+x+x3是GF(23)上的一个本原多项式。设p(x)=1+x+x3=0，即x3=1+x，用这个关系式可以构造GF(23)。

例如：

表4-4给出了GF(23)中元素的三种表示法

表4-4由p(x)=1+x+x3生成GF(23)的元素的三种表示法

幂表示多项式表示向量表示

0 0 000

1 1 100

x x 010

x2x2001

x31+x 110

x4x+x2011

x51+x+x2111

x61+x2101

这样一来就建立了GF(23)域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方法可建立GF(28)域中的256个元素与8位二进制数之间的一一对应关系。在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行。幂表示对乘法运算比较方便，多项式表示对加法运算比较方便。现仍以GF(23)域中运算为例。将元素x i和x j相乘，只要简单的把它们的指数相加并且使用关系式x7=1。如，。用xi去除xj，只需简单的将xj和xi的乘法逆元x7-i相乘即可。例如，。将xi

和xj相加，采用表中的多项式表达式或向量表达式，采用位的异或。例如，。这些运算的结果仍然在GF(23)域中。