17-18-1高等数学B第二次考试试题及答案(2)

（A） t cos t sin t C ； （C） t(cost sin t) C ；
（B） t sin t cos t C ； （D） t sin t C ．
10、关于函数
y

x2
x3 2x 3
的渐近线，以下说法正确的是（
）.
（A）只有铅直渐近线；
（B）只有水平渐近线；
x x
x (x)
x 1
（C） lim sin 5x lim cos 5x 1 ；
x0 3x
x0 3
3
1
（D） lim ln x lim x 0
x 1 x
x
9、已知 ln f (t) cost ，则 t f (t) d t （ f (t)
）.
1)
，令
y

0
解得切线与
x
轴的交点
(
x02 2 x0
1
,
0)
，
三角形面积 S (x02 1)2 4 x0
(0 x0 1)
S
(x02
1)(3x02 4 x02
1)
，令
S

0
得唯一驻点
x0

3
,
3
（当 0 x0
3 时 S 0 ，当 3
3 3

x0
1时
S
（A） 1 ；
（B） 1 ； n!
（C） 1 ； n
（D） e ． n!
4、已知函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有连续的二阶导数，且 f (x0 ) 0 ， f (x0 ) 1 ，则（
（A）函数 f (x) 在 x x0 处取得极大值； （B）函数 f (x) 在 x x0 处取得极小值；
x
x
x
x
x
f (x) ex +C x
）.
（A） ex C ；
（B） ex C ；
7、下列等式中成立的是（ ）.
（C） ex C ；
（D） ex C ．
）. ）.
（A） d f (x) d x f (x) ；
（B） f (x) d x f (x) ；
（C） f (x) d x f (x) C ；
y ex x ex (1 x) ex ， 令 y 0 解得驻点为 x 1
y ex (1 x) ex ex (x 2) ， 令 y 0 解得 x 2
x
(,1)
1
(1, 2)
2
(2, )
y

0


y


0

y
增、凸
1 ex
四、解答下列各题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）
22、在抛物线 y 1 x2 (0 x 1) 上求一点 P 的坐标，使得该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面
积最小.
23、设当 x 0 时， f (x) 连续，求不定积分
xf
(
x)
(1 x2 ex
t
2t 2
1
d
t

t
2
2
1
d
t

ln
t t
1 1
C

ln
1 ex 1 C .· 1 ex 1
22、解：设 P 点坐标为 (x0 , y0 ) ，则 y0 1 x02 且 P 点处的切线方程
y y0 2x0 (x x0 )
令
x

0
解得切线与
x
轴的交点
(0,
x02

0
，所以函数在
x0

3 处取得极小值，） 3
由题知最小面积存在，所以唯一驻点（极小值点）即为最小值点，即 P 点坐标为 ( 3 , 2) 33
23、解：
xf
( x)
(1 x2 ex
x)
f
(x)
d
x

xf
(x) x2
f
(x)
ex
d
x

fBaidu Nhomakorabea(x) ex d x x
ex d( f (x)) f (x) ex d x f (x) ex + f (x) ex d x f (x) ex d x
（C）既有水平渐近线又有铅直渐近线； （D）既有斜渐近线又有铅直渐近线．
二、填空题(本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)
11、
x2 dx=
x 1
C ．
12、已知函数 f (x) (k 1)x3 3(k 1)x2 1，当 x 2 时， f (x) 是严格单调递增函数，则 k 的范围
（C） y x ；
（D） y x2 1．
2、函数 f (x) 在点 x x0 处连续并取得极值，则必有（
）.
（A） f (x0 ) 0 或 f (x0 ) 不存在；
（B） f (x0 ) 0 ；
（C） f (x0 ) 不存在；
（D） f (x0 ) 0 .
3、设 ex 的 n 阶麦克劳林公式为 ex a0 a1x a2 x2 an xn Rn (x) ，则 xn 的系数 an =（
x0
cot
x

1 x


lim
x0

cos sin
x x

1 x


lim
x0
x
cos x
x sin
sin x
x
lim x0
x cos x sin x x2
lim x sin x x0 2x
0
18、解： y x ex 的定义域 (, )
f
(
x)

ln(1

x)

1

1
1 x
2
因为 x 0 时 f (x) 0 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递增
所以 x 0 时， f (x) f (0) 0，即 (1 x)ln(1 x) arctan x
20、解：解法一
1
1 cos
x
d
x


1 2 cos2
8、以下利用洛必达法则求极限正确的是（
（D） f (x) d x f (x) d x ．
）.
（A） lim 2x lim (2x) lim 2 1； x2 2x 4 x2 (2x 4) x2 2
（B） lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x ，所以极限不存在；
x)
f
(
x)
d
x
.
2017-2018 学年 第 1 学期 第 2 次考试答案
课程名称 高等数学 B（1）
1-10 DABAA CCDAD
11、 x2 x ln x 1 ； 12、 k 1 ； 2
13、 arcsin x ； 3
14、 3 ； 15、1 ； 16、 2 ．
17、解：
lim
是．
13、 1 d x 9 x2
C ．
14、已知点 (1, 0) 是曲线 y x3 ax2 bx 1的拐点，则 b
．
15、 lim xsin x
．
x0
16、抛物线 y x2 4x 3 在顶点处的曲率 k =
．
三、解答下列各题（本题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）
2017-2018 学年 第 1 学期 第 2 次考试试题
课程名称 高等数学 B（1）
※ 注意：请务必将所有试题答案写到答题页对应位置。
一、选择题(本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1、在区间[1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是（ ）．
（A） y x ；
（B） y x3 ；
（C）函数 f (x) 在 x x0 处不能取得极值； （D）不能确定.
5、方程 x3 x 1 0 在 (0,1) 内（ ）.
（A）只有一个实根； （C）有三个互不相等的实根；
（B）有两个不相等的实根； （D）没有实根．
6、设 ex 是函数 f (x) 的一个原函数，则 f (x) d x =（
x
d
x


1 2
sec2
x 2
d
x

tan
x 2
C
2
解法二
令 tan x t 2
则
1 dx 1 cos x
12
1

1 1

t t
2 2
1
t2
dt

d t t C tan x C 2
21、解：令 1 ex t ,
1 d x
1 ex
1 t
极大值 e1 减、凸
2 e2
减、凹
单调增区间： (,1] ； 单调减区间：[1, )
函数在 x 1 处取得极大值 f (1) e1 ，
凸区间： (, 2]； 凹区间：[2, ) ，拐点 (2, 2 e2 ) .
19、证明：令 f (x) (1 x)ln(1 x) arctan x
17、求极限
lim
x0
cot
x

1 x

.
18、求函数 y x ex 单调区间、凹凸区间、极值以及拐点.
19、证明：当 x 0 时，不等式 (1 x) ln(1 x) arctan x .
20、计算不定积分
1 dx.
1 cos x
21、计算不定积分 1 d x .